专题二 常用逻辑用语期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《真题淬炼·题型通关》

人教A版高一上期中专项复习 · 专题二 常用逻辑用语 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 由充要条件求参数范围 充分条件与必要条件 · 充要条件求参 2026湖南长沙一中期中 4 题 量词命题的真假判断 充分条件与必要条件 · 全称量词与存在量词 2025南京六校联考期中 4 题 由命题真假求参数 全称量词与存在量词 2025四川威远中学期中 4 题 充分与必要条件的判断 充分条件与必要条件 2026台州十校联盟期中 5 题 充要条件的判断与证明 充分条件与必要条件 2026南宁三中期中 1 题 命题的否定 命题的否定 · 充分条件与必要条件 2025东北育才中学期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 命题：能够判断真假的陈述句；疑问句、祈使句、不含变量范围的开语句不是命题，真值只有真、假两种。 （开语句如未给的范围时无法定真假，接入量词与范围后才成为可判定的命题。） 2. 充分条件与必要条件：若，则是的充分条件，同时是的必要条件；推出方向决定称呼，"被推出的一方"是必要条件。 3. 充分不必要条件：且；必要不充分条件：且；既不充分也不必要条件：两个方向都推不出。 4. 充要条件：，即与互推，也表述为"当且仅当"；"是的充要条件"要求与同时成立。 5. 充要条件证明题的陈述结构："是的充要条件"必须两面证：充分性、必要性，缺一不可。 6. 量词命题：全称量词命题""，存在量词命题""；范围是命题的组成部分，判断真假与写否定时都不得改动。 7. 命题的否定：对结论的全面否定，与必定一真一假；含量词时规则是"改量词、否结论、不变范围"。 8. 恒成立与能成立：为真⟺；为真⟺（"≤"型把最值方向与等号随之调整）。 9. "推出"的依据：不等式性质（同号相加、同号相乘）、函数单调性、基本不等式等都可作充分性依据；"推不出"只需举一个特例。 ▍二、法则与公式 1. 集合语言翻译：设，，则是的充分不必要⟺；充要⟺；必要不充分⟺；既不充分也不必要⟺互不包含。 2. 全称命题的否定是存在命题：即"使成立"。 3. 存在命题的否定是全称命题：即"都有成立"。 4. "若p则q"型的否定：条件不动、只否结论，即"存在使成立而的值"。 （如"若，则"的否定是"存在，"，不是"若，则"。） 5. 含"或、且、非"的否定（德摩根律）：等价于"且"；等价于"或"；即。 6. 结论否定的常用互化：与、与、与互为否定；"都是"的否定是"不都是"，"至少有一个"的否定是"一个也没有"。 7. 真值组合："与有且仅有一个为真"⟺一真一假；"至少一个为真"⟺为真；"全真"⟺为真。 8. 二次不等式恒成立：（）在上恒成立⟺且；二次系数含参必须先讨论系数为的情形。 9. 端点检验法则：由集合包含列端点不等式后，必须把端点值代回检验是否与"真包含/相等"相符，等号取舍决定参数能否取到。 ▍三、方法技巧 1. 充分与必要条件的判断四步：①化简两条件各自的最简解集；②在数轴上表示出两个集合；③判断包含关系（谁是谁的真子集）；④按"小范围推大范围"翻译结论，推不出的方向各举一个特例即可否定。 （例：是的真子集，则是的充分不必要条件。） 2. 充要条件的判断与证明三步：①分清题中"条件"与"结论"；②证充分性：由出发逐步推出；③证必要性：由出发逐步推出；每个方向单独成段，最后用"综上"收口，漏证任一方向即失分。 （范例：证明"函数为奇函数的充要条件是"，先由用定义验证奇函数，再由奇函数得。） 3. 由充要条件求参数四步：①把"充分/必要"翻译成集合真包含（必要不充分即）；②写出含参集合（区间端点用参数表示），二次型区间先讨论能否为空集；③对端点列不等式（组）；④逐个检验端点能否取等号，开闭决定参数取舍。 （例："是的必要不充分条件"即，比较、端点后检验等号。） 4. 量词命题真假判断两招：全称命题举一个反例即证假、须逐一验证才证真；存在命题举一个正例即证真、须全部落空才证假；拿不准时转化为其否定判断，两者真假必定相反。 （例：取时，一个反例即判全称命题为假。） 5. 由命题真假求参数三步：①分别求每个命题为真时参数的范围（恒成立取最值、能成立取最值、方程有解用判别式）；②按真值组合（一真一假、恰一真、全真）对所得范围取交、并；③"命题为假"直接取补集，或转化为"其否定为真"再求。 （例："真假"对应型的参数范围，其中、分别为、为真时参数的集合。） 6. 命题的否定三步：①换量词（∀改∃、∃改∀）；②否结论（不等号反向、等号变不等号、"是"改"不是"）；③范围原样保留；写完回代检查量词、结论、范围三处，并核对该命题与其否定是否一真一假。 （例：的否定是，范围不动。） ▍四、易错警示 1. 正确说法：时是的充分条件，可能是充分不必要，也可能是充要。 反例：与对应集合相等，是的充要条件；只按"真包含"口诀判断会漏掉充要。 2. 正确说法：是的充分不必要条件。 反例：满足但不满足，把"谁推谁"的方向颠倒会得出相反结论。 3. 正确说法：写命题的否定必须保留原变量范围。 反例：的否定是；把范围改成是错误的。 4. 正确说法：否定只改量词与结论的不等号方向，的否定是而非。 反例：的否定是；写成属于漏否定。 5. 正确说法："是的必要不充分条件"对应集合。 反例：把包含方向写反，求出的参数范围恰好相反，务必回到""逐字核对。 6. 正确说法：全称命题为假⟺其否定（存在命题）为真。 反例：由"任意，"为假，应令方程的；直接令方向恰好相反。 7. 正确说法：讨论含参集合的包含关系时不能遗漏空集。 反例：中当时，空集是任何集合的子集，漏讨论会丢解。 8. 正确说法：充要条件的证明必须两个方向都完整写出。 反例：只证"时函数是奇函数"就下充要结论，缺失"奇函数⟹"的必要性证明，会被扣分。 9. 正确说法：求"一个充分不必要条件"应选充要条件的真子集。 反例：或是的充要条件，其真子集才是充分不必要条件，误选等价条件即错。 10. 正确说法："的充要条件是"与"是的充要条件"同义，充要不分方向；但充分、必要必须分清方向。 反例：把"是的充分不必要条件"说成"必要不充分"，集合包含方向即被颠倒。 　由充要条件求参数范围 方法要领　先把各命题化简成集合（或区间），再将条件关系翻译为包含关系：充分条件⟺（小推大），必要不充分⟺反向真包含，充要⟺；借数轴比较端点，注意空集（如）特判与开闭端点的等号取舍。 【例】（2026湖南长沙一中期中 15）已知集合，，． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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6）已知，；，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026南师附中期中 3）设，则""的必要不充分条件是（　　） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026郑州一中期中 10）已知是实数，则下列命题是真命题的是（　　）（多选） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026重庆巴蜀中学期中 4）""是"一元二次方程有两个正实根"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　充要条件的判断与证明 方法要领　按「两面证」书写：充分性证 、必要性证 ，两个方向各自完整推理（每步写依据，如 、定义验证 ），最后用「综上」收口；先分清题中哪是条件哪是结论，方向写反即全错。 【例】（2026南宁三中期中 18）证明：函数为奇函数的充要条件是。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　命题的否定 方法要领　口诀「改量词、否结论、不变范围」： 与 互换， 改 、 改 、等号变不等号；「若p则q」型条件不动只否结论，写完回代检查量词、结论、范围三处，并核对原命题与其否定一真一假。 【例】（2025东北育才中学期中 2）已知命题，命题，则（　　） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2024学军中学紫金港期中 2）命题"，函数是奇函数"的否定是（　　） A．，函数是偶函数 B．，函数不是奇函数 C．，函数是偶函数 D．，函数不是奇函数 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025南京六校联考期中 2）命题的否定是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥肥东尚真中学期中 10）下列叙述正确的是（　　）（多选） A．""是""的充分不必要条件 B．命题""的否定是"" C．设，则"且"是""的必要不充分条件 D．命题""的否定是真命题 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026山东实验中学期中 2）""的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2025广东广州二中教育集团期中 2）"不等式在R上恒成立"的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026福建南安龙泉中学期中 6）若""是假命题，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026之江中学期中 3）命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026湖南长沙长郡中学期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．""是""的必要条件 B．""是""的充分条件 C．命题"若，则中至少有1个大于2"为真命题 D．集合中的元素个数为8 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2025广东湛江市崇文港城海东学校期中 9）下列说法正确的是（　　）（多选） A．命题的否定是 B．命题"，"的否定是"，" C．""是""的必要条件 D．""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025四川威远中学期中 12）命题""的否定是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2026杭师大附中期中 12）命题""的否定形式是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025福建厦门泉州五校期中 12）命题"，"的否定是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026湖南师大附中期中 16）已知命题，；命题，。 (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026沈阳五校协作体期中 18）已知二次函数，其中且。 (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，均为奇数，证明：方程无整数根。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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"推出"的依据：不等式性质（同号相加、同号相乘）、函数单调性、基本不等式等都可作充分性依据；"推不出"只需举一个特例。 ▍二、法则与公式 1. 集合语言翻译：设，，则是的充分不必要⟺；充要⟺；必要不充分⟺；既不充分也不必要⟺互不包含。 2. 全称命题的否定是存在命题：即"使成立"。 3. 存在命题的否定是全称命题：即"都有成立"。 4. "若p则q"型的否定：条件不动、只否结论，即"存在使成立而的值"。 （如"若，则"的否定是"存在，"，不是"若，则"。） 5. 含"或、且、非"的否定（德摩根律）：等价于"且"；等价于"或"；即。 6. 结论否定的常用互化：与、与、与互为否定；"都是"的否定是"不都是"，"至少有一个"的否定是"一个也没有"。 7. 真值组合："与有且仅有一个为真"⟺一真一假；"至少一个为真"⟺为真；"全真"⟺为真。 8. 二次不等式恒成立：（）在上恒成立⟺且；二次系数含参必须先讨论系数为的情形。 9. 端点检验法则：由集合包含列端点不等式后，必须把端点值代回检验是否与"真包含/相等"相符，等号取舍决定参数能否取到。 ▍三、方法技巧 1. 充分与必要条件的判断四步：①化简两条件各自的最简解集；②在数轴上表示出两个集合；③判断包含关系（谁是谁的真子集）；④按"小范围推大范围"翻译结论，推不出的方向各举一个特例即可否定。 （例：是的真子集，则是的充分不必要条件。） 2. 充要条件的判断与证明三步：①分清题中"条件"与"结论"；②证充分性：由出发逐步推出；③证必要性：由出发逐步推出；每个方向单独成段，最后用"综上"收口，漏证任一方向即失分。 （范例：证明"函数为奇函数的充要条件是"，先由用定义验证奇函数，再由奇函数得。） 3. 由充要条件求参数四步：①把"充分/必要"翻译成集合真包含（必要不充分即）；②写出含参集合（区间端点用参数表示），二次型区间先讨论能否为空集；③对端点列不等式（组）；④逐个检验端点能否取等号，开闭决定参数取舍。 （例："是的必要不充分条件"即，比较、端点后检验等号。） 4. 量词命题真假判断两招：全称命题举一个反例即证假、须逐一验证才证真；存在命题举一个正例即证真、须全部落空才证假；拿不准时转化为其否定判断，两者真假必定相反。 （例：取时，一个反例即判全称命题为假。） 5. 由命题真假求参数三步：①分别求每个命题为真时参数的范围（恒成立取最值、能成立取最值、方程有解用判别式）；②按真值组合（一真一假、恰一真、全真）对所得范围取交、并；③"命题为假"直接取补集，或转化为"其否定为真"再求。 （例："真假"对应型的参数范围，其中、分别为、为真时参数的集合。） 6. 命题的否定三步：①换量词（∀改∃、∃改∀）；②否结论（不等号反向、等号变不等号、"是"改"不是"）；③范围原样保留；写完回代检查量词、结论、范围三处，并核对该命题与其否定是否一真一假。 （例：的否定是，范围不动。） ▍四、易错警示 1. 正确说法：时是的充分条件，可能是充分不必要，也可能是充要。 反例：与对应集合相等，是的充要条件；只按"真包含"口诀判断会漏掉充要。 2. 正确说法：是的充分不必要条件。 反例：满足但不满足，把"谁推谁"的方向颠倒会得出相反结论。 3. 正确说法：写命题的否定必须保留原变量范围。 反例：的否定是；把范围改成是错误的。 4. 正确说法：否定只改量词与结论的不等号方向，的否定是而非。 反例：的否定是；写成属于漏否定。 5. 正确说法："是的必要不充分条件"对应集合。 反例：把包含方向写反，求出的参数范围恰好相反，务必回到""逐字核对。 6. 正确说法：全称命题为假⟺其否定（存在命题）为真。 反例：由"任意，"为假，应令方程的；直接令方向恰好相反。 7. 正确说法：讨论含参集合的包含关系时不能遗漏空集。 反例：中当时，空集是任何集合的子集，漏讨论会丢解。 8. 正确说法：充要条件的证明必须两个方向都完整写出。 反例：只证"时函数是奇函数"就下充要结论，缺失"奇函数⟹"的必要性证明，会被扣分。 9. 正确说法：求"一个充分不必要条件"应选充要条件的真子集。 反例：或是的充要条件，其真子集才是充分不必要条件，误选等价条件即错。 10. 正确说法："的充要条件是"与"是的充要条件"同义，充要不分方向；但充分、必要必须分清方向。 反例：把"是的充分不必要条件"说成"必要不充分"，集合包含方向即被颠倒。 　由充要条件求参数范围 方法要领　先把各命题化简成集合（或区间），再将条件关系翻译为包含关系：充分条件⟺（小推大），必要不充分⟺反向真包含，充要⟺；借数轴比较端点，注意空集（如）特判与开闭端点的等号取舍。 【例】（2026湖南长沙一中期中 15）已知集合，，． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)由必要不充分条件的定义得，解分式不等式化简，再借助开口向上的抛物线列不等式组求；(2)由得，按与的大小分类讨论求出，再比较端点。 【详解】解：(1)分式不等式可化为（分母不为零）， 等价于且，解得，故， 因为是的必要不充分条件，所以，且反过来推不出，即， 设，其图象是开口向上的抛物线，即抛物线取负值的范围， 要使，需（故允许取等号，故必须严格小于零）， 即，解得， 所以的取值范围是； (2)因为，由并集的定义得， 当时，，满足； 当时，由得， 要使，需且，解得； 当时，同理得， 要使，需且，解得； 综上，实数的取值范围为． 【练1】（2026大连二十四中期中 15）设集合，． (1)若，求； (2)若""是""的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)解绝对值不等式与二次不等式化简两集合，再按交集定义运算；(2)由充分不必要条件得，用配方法写出的区间，借助数轴比较端点。 【详解】解：(1)由得，解得，即， 当时，，即，解得， 所以； (2)因为""是""的充分不必要条件，所以， 由，解得，即， 由得，解得， 检验：需且同时成立，不可能，故上述均为真子集，符合题意， 所以实数的取值范围是． 【练2】（2025江阴成化中学期中 3）若""是""的必要不充分条件，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由必要不充分条件得，再由集合包含关系对端点讨论求参。 【详解】解：因为""是""的必要不充分条件， 所以，且推不出，即， 若，则两集合相等，""是""的充要条件，不合题意； 故需，即实数的取值范围为． 故选：A． 【练3】（2026广东深圳盟校期中 16）已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若""是""成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2) 【分析】(1)代入求出，再按补集、并集定义运算；(2)由充分不必要条件得，分与两种情况列式求解。 【详解】解：(1)当时，，则=或， 又，所以=或； (2)因为""是""成立的充分不必要条件，所以， 当时，，解得，空集是任何非空集合的真子集，符合题意； 当时，，即，由数轴比较端点得，解得， （两端开、两端闭，端点或时仍有，等号可取） 综上所述，实数的取值范围是． 　量词命题的真假判断 方法要领　先认量词定类型：含“所有、任意、每个”为全称量词命题，含“存在、有的、至少有一个”为存在量词命题；全称量词命题为真需说明恒成立（常用配方、分类讨论），为假只需举一个反例；存在量词命题为真只需找到一个满足条件的值。 【例】（2025南京六校联考期中 9）下列命题中为真命题的是（　　）（多选） A．对任意实数，均有 B．若，则 C．设，则""是""的必要不充分条件 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于，利用配方法说明恒成立即可判断；对于，，，都可以通过举反例来判断。 【详解】解：对于A，因为=恒成立， 所以对任意实数，均有，该全称量词命题为真命题，故A正确； 对于B，当，时，，但，故B不正确； 对于C，当，时，，所以充分性不成立； 当时，可知，所以必要性成立，故C正确； 对于D，当时，，而=， 此时，故D不正确． 故选：AC。 【练1】（2026台州十校联盟期中 3）下列命题是全称量词命题的是（　　） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的概念，看命题中量词是"所有、任给、每个"还是"存在、有的、至少有一个"即可判断。 【详解】解：因为"有一个"、"至少存在一个"、"有些"均为存在量词， 所以A、B、C都是存在量词命题，不合题意； "每个"是全称量词，所以D是全称量词命题． 故选：D。 【练2】（2026福建南安龙泉中学期中 9）下列说法中正确的有（　　）（多选） A．命题，的否定是"，" B．""是""的必要条件 C．命题""是真命题 D．""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件 【答案】AD 【分析】根据含存在量词的命题的否定改量词、否结论可判断A；利用不等式性质举反例可判断B；取可判断全称量词命题C的真假；由二次方程根的分布列式可判断D。 【详解】解：对于A，存在量词命题的否定是全称量词命题，需改量词、否结论， 所以命题的否定是""，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以""是""的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，当时，，不满足，所以该全称量词命题是假命题，故C错误； 对于D，若方程有一正一负根，则两根之积，且判别式， 即，必要性成立；反之当时，且两根之积，方程确有一正一负两根，充分性成立， 所以""是该方程有一正一负根的充要条件，故D正确． 故选：AD。 【练3】（2026东北育才高中期中 9）下列各命题中的假命题是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】判断全称量词命题为假只需找一个反例；判断存在量词命题为真只需找到一个满足条件的值；对B去绝对值分类讨论，对D结合是无理数判断。 【详解】解：对于A，取，则，不满足，所以A中的全称量词命题为假命题； 对于B，当时，；当时，； 综上所述，对任意都有，所以B中的全称量词命题为真命题； 对于C，取，则，满足条件，所以C中的存在量词命题为真命题； 对于D，若，则，而是无理数，不属于，所以D中的存在量词命题为假命题． 故选：AD。 　由命题真假求参数 方法要领　先分别求、为真时参数的范围：全称恒成立⟺，存在能成立⟺，二次型用判别式；再按真假组合翻译：假真＝p真范围的补集与q真范围取交集，至少一个为真取并集，仅一真需排除同真同假。 【例】（2025四川威远中学期中 18）命题：对任意，成立；命题：，成立． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)为真即二次不等式对任意实数恒成立，由开口方向与判别式列式求解；(2)先求为真时的范围（存在性问题转化为最大值），再按的真假组合分类，由"至少有一个为真"合并结果。 【详解】解：(1)对于命题：对任意，不等式恒成立， 因为抛物线开口向上，所以需判别式，解得， 所以当为真时，实数的取值范围是； (2)对于命题：存在，使得成立， 只需， 而，在上当时取得最大值， 由得，即为真时实数的取值范围是； 命题至少有一个为真，按真假组合分类讨论： 当为假、为真时，或，且，得或； 当为真、为假时，且，无解； 当为真、为真时，且，得； 综上，实数的取值范围是，即． 【练1】（2025辽宁大连经开区一中期中 5）若命题""为真命题，则实数可取的最小整数值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，存在性问题转化为不小于在上的最小值，配方求解。 【详解】解：由，即， 因为，当时取得最小值， 所以""为真命题等价于， 所以实数可取的最小整数值是． 故选：A。 【练2】（2026杭师大附中期中 6）已知命题；命题，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，由此写出为假时的范围；为真即不等式恒成立，分离参数后用基本不等式求的最小值，注意取等条件。 【详解】解：当时，，所以为真等价于， 因为为假命题，所以或； 对于：，因为，分离参数得在上恒成立， 又=，当且仅当时取等号， 所以，由为真命题得； 综上，实数的取值范围为． 故选：D。 【练3】（2025四川安岳中学期中 17）设命题：，；命题：，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)为真即二次方程无实根，由判别式小于零求解；(2)由为假得为真，转化为存在性问题求的范围，再与(1)的结果取交集。 【详解】解：(1)由，，得关于的方程无实根， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是； (2)由为假命题，得为真命题， 即存在，使， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 由(1)知，取交集得， 所以实数的取值范围是． 　充分与必要条件的判断 方法要领　先化简两条件得最简解集，设 、，比较包含关系下结论： 时 是 的充分不必要条件（小范围推大范围）， 为充要， 为必要不充分；推不出的方向各举一个特例即可否定。 【例】（2026台州十校联盟期中 5）""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法与不等式的基本性质，分别检验"⟹"与"⟹"两个方向是否成立，再按充分条件、必要条件的定义下结论。 【详解】解：由移项作差通分可得， 由已知且，若，则，所以，则，矛盾； 若，则且分母，从而，即成立， 综上所述，""是""的充要条件。 故选：C。 【练1】（2025重庆第二外国语学校期中 6）已知，；，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式性质检验是否成立，再举特例检验是否成立。 【详解】解：当，时，由不等式的同号相加、同号相乘性质得，，所以成立； 取，，满足，，但此时，不成立，所以， 故是的充分不必要条件。 故选：A。 【练2】（2026南师附中期中 3）设，则""的必要不充分条件是（　　） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【答案】C 【分析】先将等价变形为且，再对各选项逐一检验"能否推出"与"能否被推出"。 【详解】解：由得，即且， 对于A，若都为0，则，满足；但当时，不一定都为0，如，时， 所以"都为0"是""的充分不必要条件，A错误； 对于B，若都不为0，如，时，，不满足；而时也可能为0， 所以"都不为0"是""的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，由""即"且"能推出"中至多有一个是1"； 当"中至多有一个是1"时，如，，此时，不满足，即推不出， 因此"中至多有一个是1"是""的必要不充分条件，C正确； 对于D，"都不为1"就是""的等价条件，是充要条件，D错误。 故选：C。 【练3】（2026郑州一中期中 10）已知是实数，则下列命题是真命题的是（　　）（多选） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 【答案】AC 【分析】令取特殊值，得到与的推出关系，判断A、B的真假；根据不等式的可乘性，得到与的推出关系，判断C、D的真假。 【详解】解：若，，此时，但，，， 即由不能推出，所以不是的充分条件； 若，，此时，则可取，，此时， 即由不能推出，所以不是的必要条件， 综上，是的既不充分也不必要条件，故A是真命题，B是假命题； 若，则必有（若，则，不等式不成立）， 由不等式的可乘性，两边同除以正数得， 即由一定能推出，所以是的必要条件，故C是真命题； 若，当时，， 即由不能推出，所以不是的充分条件，故D是假命题， 综上，是的必要不充分条件。 故选：AC。 【练4】（2026重庆巴蜀中学期中 4）""是"一元二次方程有两个正实根"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，由判别式与韦达定理得出"有两个正实根"的等价条件，求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断得出结论。 【详解】解：设一元二次方程的两个正实根分别为，， 则需，且，， 由解得或， 又，故舍去，即方程有两个正实根⟺， 因为集合是集合的真子集， 由"小范围推大范围"可知，""是"一元二次方程有两个正实根"的必要不充分条件。 故选：B。 　充要条件的判断与证明 方法要领　按「两面证」书写：充分性证 、必要性证 ，两个方向各自完整推理（每步写依据，如 、定义验证 ），最后用「综上」收口；先分清题中哪是条件哪是结论，方向写反即全错。 【例】（2026南宁三中期中 18）证明：函数为奇函数的充要条件是。 【答案】证明见解析 【分析】按充要条件的定义分两个方向证明：充分性即由推出函数为奇函数，用奇函数的定义验证；必要性即由函数为奇函数推出，利用奇函数在处有定义得代入即得。 【详解】证明：充分性：当时，，易知的定义域为， 又，所以是奇函数，充分性成立； 必要性：当是奇函数时，易知的定义域为， 所以，即，则，必要性成立； 综上，函数为奇函数的充要条件是。 　命题的否定 方法要领　口诀「改量词、否结论、不变范围」： 与 互换， 改 、 改 、等号变不等号；「若p则q」型条件不动只否结论，写完回代检查量词、结论、范围三处，并核对原命题与其否定一真一假。 【例】（2025东北育才中学期中 2）已知命题，命题，则（　　） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【分析】全称命题举一个反例即可判假，存在命题举一个正例即可判真；再由原命题与其否定的真假必定相反确定、的真假。 【详解】解：对于命题，当时，，不成立，所以全称命题为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，成立，所以存在命题为真命题，则为假命题。 综上，和均为真命题。 故选：B。 【练1】（2024学军中学紫金港期中 2）命题"，函数是奇函数"的否定是（　　） A．，函数是偶函数 B．，函数不是奇函数 C．，函数是偶函数 D．，函数不是奇函数 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词（∃变∀）、否结论，变量范围不变。 【详解】解：命题"，函数是奇函数"为存在量词命题， 其否定是"，函数不是奇函数"。 故选：B。 【练2】（2025南京六校联考期中 2）命题的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：量词∀改∃，变量范围不变，结论改为。 【详解】解：由命题否定的概念可知， 命题的否定是。 故选：B。 【练3】（2026合肥肥东尚真中学期中 10）下列叙述正确的是（　　）（多选） A．""是""的充分不必要条件 B．命题""的否定是"" C．设，则"且"是""的必要不充分条件 D．命题""的否定是真命题 【答案】ABD 【分析】由充分条件、必要条件的概念判断A、C；由存在量词命题的否定形式判断B；由全称命题与其否定的真假关系判断D。 【详解】解：对于A，由及可得；反之，如，，满足但不成立， 所以""是""的充分不必要条件，A正确； 对于B，存在量词命题的否定是全称量词命题：量词∃改∀，结论改为，变量范围不变， 所以命题""的否定是""，B正确； 对于C，由且可得，充分性成立； 反之，当，时，成立，但不满足，必要性不成立， 所以"且"是""的充分不必要条件，C错误； 对于D，命题""是假命题（如时，不成立）， 而原命题与其否定必定一真一假，所以其否定是真命题，D正确。 故选：ABD。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026山东实验中学期中 2）""的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解分式不等式得出等价条件或，再找其真子集，由"小范围推大范围"确定充分不必要条件。 【详解】解：不等式，移项通分得， 等价于，解得或， 所以"或"是""的充要条件，A选项错误； 设，中含但不满足原不等式，且原不等式的解集也不是的子集，故是它的既不充分也不必要条件，B选项错误； 对应集合是解集的真子集，故是""的一个充分不必要条件，C选项正确； 同理是它的既不充分也不必要条件，D选项错误。 故选：C。 2．（6分）（2025广东广州二中教育集团期中 2）"不等式在R上恒成立"的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出"在R上恒成立"的充要条件，其真子集对应的选项即为充分不必要条件。 【详解】解：不等式在R上恒成立，即， 因为，但不能推出成立， 故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件。 故选：A。 3．（6分）（2026福建南安龙泉中学期中 6）若""是假命题，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】存在命题为假等价于其否定（全称命题）为真；分类讨论与，二次恒成立用开口方向与判别式刻画，注意端点取舍。 【详解】解：∵是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立，满足题意； 当时，对任意，恒成立，则需开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为（当时，存在使函数值为0，不合题意，故取不到）。 故选：B。 4．（6分）（2026之江中学期中 3）命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：∃改∀，结论改为，变量范围不变。 【详解】解：由存在量词命题的否定规则可得， 命题"，"的否定是"，"。 故选：D。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026湖南长沙长郡中学期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．""是""的必要条件 B．""是""的充分条件 C．命题"若，则中至少有1个大于2"为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，命题真假的推理（反证法）及集合的列举法逐一判断各选项。 【详解】解：选项A，当，时，满足，但无法得到，即"⟹"不成立，必要性不成立，所以A错误； 选项B，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以B正确； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足，中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，，且8的因数有， 当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，， 所以，共有8个元素，所以D正确。 故选：BCD。 6．（6分）（2025广东湛江市崇文港城海东学校期中 9）下列说法正确的是（　　）（多选） A．命题的否定是 B．命题"，"的否定是"，" C．""是""的必要条件 D．""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件 【答案】BD 【分析】根据全称命题的否定是存在命题、存在命题的否定是全称命题判断A、B；根据充分条件、必要条件的定义判断C、D。 【详解】解：对于A，命题""的否定是""，所以A错误； 对于B，命题""的否定是""，量词改变、结论否定、范围不变，所以B正确； 对于C，由不能推出（如，），反之由也不能推出（如，）， 所以""是""的既不充分也不必要条件，所以C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根，则需，解得， 反之当时，且两根之积，方程确有一正一负根， 所以""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件，所以D正确。 故选：BD。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025四川威远中学期中 12）命题""的否定是______。 【答案】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：∀改∃，结论改为，变量范围不变。 【详解】解：命题""的否定是""。 故答案为：。 8．（6分）（2026杭师大附中期中 12）命题""的否定形式是______。 【答案】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：∀改∃，结论改为，变量范围不变。 【详解】解：命题""的否定形式是""。 故答案为：。 9．（6分）（2025福建厦门泉州五校期中 12）命题"，"的否定是______。 【答案】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：∃改∀，结论改为，变量范围不变。 【详解】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得， 命题""的否定为""。 故答案为：。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026湖南师大附中期中 16）已知命题，；命题，。 (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)先求为真时的范围（注意对单独讨论），其补集即为假的范围；(2)换元把为真化为，再按"真假""假真"两类取交集后求并。 【详解】解：(1)若为真命题，则，恒成立， 当时，不等式变为，解集为，满足题意； 若，则需，解得， 所以为真命题时实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为。 (2)若命题为真，即，， 令，则当时，，不等式变为，即， 设，， 的图象开口向下，对称轴为直线，故在上单调递减， 存在性问题需有解，故只需，即命题为真时，实数的取值范围为， 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得， 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为。 11．（15分）（2026沈阳五校协作体期中 18）已知二次函数，其中且。 (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，均为奇数，证明：方程无整数根。 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】(1)按充要条件的定义分"必要性"与"充分性"两个方向分别证明，把"与轴正、负半轴各有一个交点"等价转化为"方程有一正根和一负根"，用韦达定理与判别式沟通的符号；(2)先用奇偶性分析锁定同奇偶、为奇数，再用反证法，假设有整数根，按的奇偶性分类推出矛盾。 【详解】证明：(1)曲线与轴正半轴和负半轴各有一个交点，等价于一元二次方程有一正根和一负根。 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得，即； 充分性：若成立，则一元二次方程的， 方程有两个不同的实根，且，即两根异号，方程有一正根和一负根， 即二次函数图象与轴正半轴和负半轴各有一个交点。 所以二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是。 (2)当时，为奇数； 当时，为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设方程有整数根，则， ①当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，即，与假设矛盾； ②当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，即，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数， 所以奇数加奇数加奇数仍为奇数，即，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根。 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $