专题1.4 充分条件与必要条件 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.4 充分条件与必要条件（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件的四种关系及其判断、充要条件的证明、由条件关系求参数取值范围； ▲难点："小范围推出大范围"的准确运用、充分不必要与必要不充分两类易混、命题否定时不等号方向的改变、含参问题中""与""的分别求解． 目录 专题1.4 充分条件与必要条件（期中复习讲义） 1 知识点1 充分条件与必要条件 1 【题型1 命题的概念判断】 2 【题型2 命题的真假判断】 3 知识点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 4 【题型3 充分条件、必要条件、充要条件的判断】 5 【题型4 充分条件与必要条件的探究（四种关系）】 6 知识点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 7 【题型5 充要条件的证明】 8 知识点4 由条件关系求参数取值范围 9 【题型6 由条件关系求参数取值范围】 10 【题型7 命题否定与条件关系的综合】 11 考点1 充分条件与必要条件 知识点1 充分条件与必要条件 【重难点】★重点：命题的概念与四种形式，的充分必要条件关系（是的充分不必要条件、充要条件等），四种条件关系的判断依据； ▲难点："小范围推出大范围"这一核心判据，必要条件不能简单倒推、由"是的充分不必要条件"反推参数范围． 1．命题　用语言描述的判断叫做命题；命题可以写成"若，则"的形式，其中是充分条件，是必要条件． 2．四种关系　是的充分不必要条件、充要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件． 3．判断依据　由""成立（能推出）可得：是的充分条件，是的必要条件；小范围推出大范围． 【题型1 命题的概念判断】 【例1】下列语句中，是真命题的是（　　） A． B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．所有三角形都是等边三角形 【变式1-1】下列语句中，是假命题的是（　　） A． B． C．两组对角分别相等的四边形是矩形 D．若，则 【变式1-2】"若，则"中，""是"若，则"中的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】下列语句中，是真命题的是（　　） 若 ，则 对顶角相等 所有的实数都是正数 【题型2 命题的真假判断】 【例2】判断下列命题的真假，并说明理由：若，则． 【变式2-1】判断下列命题的真假：若，则． 【变式2-2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】设，，为实数，命题"若且，则"是真命题吗？若且，结论是否一定成立？ 考点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 知识点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 【重难点】★重点：命题真假的判断方法，四种条件关系（充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要）的区分； ▲难点：通过""与""是否都成立来定类型、含参问题中"使命题为真"的等价转化． 1．真假判断　判断""为真，只需看能否由推出；为假只需举出一个成立而不成立的例子． 2．四种关系　且：是的充分不必要条件；且：是的必要不充分条件；两者都成立为充要条件，都不成立为既不充分也不必要条件． 【题型3 充分条件、必要条件、充要条件的判断】 【例3】下列条件中，是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】"若，则"中，""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 充分条件与必要条件的探究（四种关系）】 【例4】已知：，：，试判断是的什么条件，并说明理由． 【变式4-1】已知：，：，试判断是的什么条件． 【变式4-2】已知：，：，试判断是的什么条件． 【变式4-3】已知：，：，试判断是的什么条件． 考点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 知识点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 【重难点】★重点：证明""的两种方法（由条件推结论、直接法），证明""需双向证明； ▲难点：从结论出发逆推的间接证法，证明过程中"由出发"的起点选择，充要条件证明中"必要性"方向容易漏证． 1．充分条件证明　证""：由出发，逐步推出；或由出发反推（逆否法）． 2．充要条件证明　证""需分别证明""与""两个方向． 3．书写规范　先写"充分性"（由推）与"必要性"（由推），再分别论证． 【题型5 充要条件的证明】 【例5】求证：． 【变式5-1】求证：或． 【变式5-2】求证：． 【变式5-3】求证：或． 考点4 由条件关系求参数取值范围 知识点4 由条件关系求参数取值范围 【重难点】★重点：把"是的充分条件"转化为""成立的参数范围，把"充要条件"转化为""； ▲难点：命题否定后不等号方向的改变、含绝对值与分式的不等式求解、充分不必要与必要不充分两种情形不能混淆． 1．转化思想　"求使是的充分条件的参数范围"等价于"求使恒成立的参数范围"． 2．否定处理　命题的否定中不等号方向改变，""的否定是"且"． 3．分类讨论　当参数出现在分母或根号内时须先确定其取值前提，再分类讨论． 【题型6 由条件关系求参数取值范围】 【例6】已知：，：，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式6-1】已知：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【变式6-2】已知：，：，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式6-3】已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【题型7 命题否定与条件关系的综合】 【例7】写出命题"若，则"的否定，并判断其真假． 【变式7-1】写出命题"存在，使"的否定，并判断其真假． 【变式7-2】已知：，：，写出""的否定，并说明""是否为真命题． 【变式7-3】已知：，：，则""的否定是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】★重点：命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件的四种关系及其判断、充要条件的证明、由条件关系求参数取值范围； ▲难点："小范围推出大范围"的准确运用、充分不必要与必要不充分两类易混、命题否定时不等号方向的改变、含参问题中""与""的分别求解． 目录 专题1.4 充分条件与必要条件（期中复习讲义） 1 知识点1 充分条件与必要条件 1 【题型1 命题的概念判断】 2 【题型2 命题的真假判断】 3 知识点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 4 【题型3 充分条件、必要条件、充要条件的判断】 5 【题型4 充分条件与必要条件的探究（四种关系）】 6 知识点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 7 【题型5 充要条件的证明】 8 知识点4 由条件关系求参数取值范围 9 【题型6 由条件关系求参数取值范围】 10 【题型7 命题否定与条件关系的综合】 11 考点1 充分条件与必要条件 知识点1 充分条件与必要条件 【重难点】★重点：命题的概念与四种形式，的充分必要条件关系（是的充分不必要条件、充要条件等），四种条件关系的判断依据； ▲难点："小范围推出大范围"这一核心判据，必要条件不能简单倒推、由"是的充分不必要条件"反推参数范围． 1．命题　用语言描述的判断叫做命题；命题可以写成"若，则"的形式，其中是充分条件，是必要条件． 2．四种关系　是的充分不必要条件、充要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件． 3．判断依据　由""成立（能推出）可得：是的充分条件，是的必要条件；小范围推出大范围． 【题型1 命题的概念判断】 【例1】下列语句中，是真命题的是（　　） A． B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．所有三角形都是等边三角形 【解析】判定依据：能判断真假的陈述句才是命题． A： 中 x 未确定，无法判断真假，不是命题 B：是平行线的性质，真命题，正确 C：取 ，，假命题 D：等腰三角形不是等边三角形，假命题 故选 B． 【变式1-1】下列语句中，是假命题的是（　　） A． B． C．两组对角分别相等的四边形是矩形 D．若，则 【解析】判定依据：先看能否判断真假，再判断真假． A： 真假不定，不是命题 B： 真假不定，不是命题 C：两组对角分别相等只推出平行四边形，不一定是矩形，假命题 D：，真命题 故选 C． 【变式1-2】"若，则"中，""是"若，则"中的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】判定依据： 且 时为充分不必要条件． A：，而 ，充分不必要，正确 B：必要不充分要求 ，不成立 C：充要条件要求双向推出，不满足 D： 已成立，不是既不充分也不必要 故选 A． 【变式1-3】下列语句中，是真命题的是（　　） 若 ，则 对顶角相等 所有的实数都是正数 【解析】判定依据：命题必须是能判断真假的陈述句． A： 中 x 未确定，不是命题 B：取 、， 但 ，假命题 C：对顶角相等是真命题，正确 D：负实数不是正数，假命题 故选 C． 【题型2 命题的真假判断】 【例2】判断下列命题的真假，并说明理由：若，则． 【解析】设：，：．∵时，即； ∵取时不成立但成立，即不成立；∴该命题是真命题． 【变式2-1】判断下列命题的真假：若，则． 【解析】设：，：．∵时或，故不成立（如）； ∴该命题是假命题． 【变式2-2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】判定依据：判断全称命题为假，只需举一个反例． A：取 、， 但 ，假命题 B：取 、， 但 ，假命题 C：，真命题 D：取 、， 但 ，假命题 故选 C． 【变式2-3】设，，为实数，命题"若且，则"是真命题吗？若且，结论是否一定成立？ 【解析】命题"若且，则"是真命题．理由：且， 由不等式的传递性得．而当 且时，与的大小不能确定，结论不一定成立．如取，，时 且，但，结论不成立． 考点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 知识点2 命题的真假判断与四种条件关系的探究 【重难点】★重点：命题真假的判断方法，四种条件关系（充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要）的区分； ▲难点：通过""与""是否都成立来定类型、含参问题中"使命题为真"的等价转化． 1．真假判断　判断""为真，只需看能否由推出；为假只需举出一个成立而不成立的例子． 2．四种关系　且：是的充分不必要条件；且：是的必要不充分条件；两者都成立为充要条件，都不成立为既不充分也不必要条件． 【题型3 充分条件、必要条件、充要条件的判断】 【例3】下列条件中，是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】判定依据：小范围推出大范围，大范围推不出小范围． A：，而 ，充分不必要，正确 B：必要不充分要求 ，不成立 C：充要条件要求双向推出，不满足 D： 已成立，不是既不充分也不必要 故选 A． 【变式3-1】"若，则"中，""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】判定依据： 时 ，反之不成立． A：，而 时 ，充分不必要，正确 B：必要不充分要求 ，取 即不成立 C：充要条件要求双向推出，不满足 D： 已成立，不是既不充分也不必要 故选 A． 【变式3-2】""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】判定依据： 必有 ，反之不成立． A：（如 ），不是充分条件 B：，而 ，必要不充分，正确 C：充要条件要求双向推出，不满足 D： 已成立，不是既不充分也不必要 故选 B． 【变式3-3】""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】判定依据： 时 ，而 时 x 可能为负． A：，而 时 ，充分不必要，正确 B：必要不充分要求 ，取 即不成立 C：充要条件要求双向推出，不满足 D： 已成立，不是既不充分也不必要 故选 A． 【题型4 充分条件与必要条件的探究（四种关系）】 【例4】已知：，：，试判断是的什么条件，并说明理由． 【解析】设：，：．∵时必有，即成立，是的充分条件； ∵取时成立而不成立，即不成立，不是的必要条件； ∴是的充分不必要条件． 【变式4-1】已知：，：，试判断是的什么条件． 【解析】设：，：．∵时，即成立，是的充分条件； ∵时可能为负数（如），即不成立，不是的必要条件； ∴是的充分不必要条件． 【变式4-2】已知：，：，试判断是的什么条件． 【解析】设：，：．由得或． ∵时必有，即成立，是的必要条件； ∵时成立而不成立，即不成立，不是的充分条件； ∴是的必要不充分条件． 【变式4-3】已知：，：，试判断是的什么条件． 【解析】设：，：．由得或． ∵取时成立而不成立，即不成立，不是的充分条件； ∵取时成立而不成立，即不成立，不是的必要条件； ∴是的既不充分也不必要条件． 考点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 知识点3 充分条件、必要条件、充要条件的证明 【重难点】★重点：证明""的两种方法（由条件推结论、直接法），证明""需双向证明； ▲难点：从结论出发逆推的间接证法，证明过程中"由出发"的起点选择，充要条件证明中"必要性"方向容易漏证． 1．充分条件证明　证""：由出发，逐步推出；或由出发反推（逆否法）． 2．充要条件证明　证""需分别证明""与""两个方向． 3．书写规范　先写"充分性"（由推）与"必要性"（由推），再分别论证． 【题型5 充要条件的证明】 【例5】求证：． 【解析】证明如下．充分性：设，则，且， ∴，即成立．必要性：设，即， ∴或，由与不能同时成立，∴，即成立．∴． 【变式5-1】求证：或． 【解析】证明如下．由，∴与同号，即或． 反向：时，，乘积为正；时两因式均为正，乘积为正． ∴两者等价． 【变式5-2】求证：． 【解析】证明如下．由得，即．反向：时， 故．∴两者等价． 【变式5-3】求证：或． 【解析】证明如下．由得或．反向：或时都有． ∴两者等价． 考点4 由条件关系求参数取值范围 知识点4 由条件关系求参数取值范围 【重难点】★重点：把"是的充分条件"转化为""成立的参数范围，把"充要条件"转化为""； ▲难点：命题否定后不等号方向的改变、含绝对值与分式的不等式求解、充分不必要与必要不充分两种情形不能混淆． 1．转化思想　"求使是的充分条件的参数范围"等价于"求使恒成立的参数范围"． 2．否定处理　命题的否定中不等号方向改变，""的否定是"且"． 3．分类讨论　当参数出现在分母或根号内时须先确定其取值前提，再分类讨论． 【题型6 由条件关系求参数取值范围】 【例6】已知：，：，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】设：，：．∵是的充分不必要条件， ∴成立且不成立．由得，即； 由不成立得，即．∴的取值范围是． 【变式6-1】已知：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】设：，：．∵是的必要不充分条件， ∴成立且不成立．由得，即； 由不成立得，即（当时取即得反例）． ∴的取值范围是． 【变式6-2】已知：，：，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】设：，：．∵是的充分不必要条件， ∴成立且不成立．由得对一切都有， 即．注意到． 当时，时且，故成立，充分性成立； 当时，取，则，不成立，充分性不成立． 又恒成立时必含的解（如的部分），故不成立自动满足． ∴的取值范围是． 【变式6-3】已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】设：，：．∵是的必要不充分条件， ∴成立且不成立．由得，即， 故； 由不成立，取时成立而不成立（当时），条件自动满足． ∴的取值范围是． 【题型7 命题否定与条件关系的综合】 【例7】写出命题"若，则"的否定，并判断其真假． 【解析】命题"若，则"的否定是"若，则"． 判断真假：取时成立，但成立； 取时成立，但，否定为假命题． 故原命题为真命题（时必有），其否定为假命题． 【变式7-1】写出命题"存在，使"的否定，并判断其真假． 【解析】命题"存在，使"的否定是"对任意，都有"． 判断真假：由判别式知方程无实数根，∴对一切都有， 故原命题是假命题，其否定是真命题． 【变式7-2】已知：，：，写出""的否定，并说明""是否为真命题． 【解析】命题""即"若，则"．其否定是"存在，使且"． 判断真假：原命题中时不总成立（如时）， ∴""不是真命题（是假命题），其否定是真命题． 【变式7-3】已知：，：，则""的否定是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【解析】判定依据：「若 ，则 」的否定是「 且非 」． A： 且 把 、 都否定，形式不对 B： 且 与原命题同真假，不是否定 C： 且 ，即「 且非 」，正确 D： 且 把条件也否定了，不是本命题的否定 故选 C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $