第一章 集合期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《真题淬炼·题型通关》

人教A版高一上期中专项复习 · 第一册 集合 全国各地市期中真题精选 · 8 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 交集并集的直接运算 交集 · 并集 2025云南师大附中期中 4 题 由集合关系求参数（含空集讨论） 交集运算与空集讨论 · 集合间基本关系 · 交并补运算与子集含参 · 交集与子集含参 2025杭师大附中期中 5 题 韦恩图与容斥 集合容斥问题（韦恩图） · 交并补混合运算 · 集合容斥 2025泉州六中期中 4 题 集合新定义 集合新定义 2026南阳六校期中 4 题 集合概念与元素关系 集合相等与互异性 · 元素与集合关系 · 集合的表示 2026杭四中下沙期中 4 题 子集与真子集关系判断 集合间基本关系 · 元素与集合关系 2025封开南丰中学期中 4 题 子集与真子集个数计算 子集个数 · 集合间基本关系 2026郑州十校联考期中 4 题 交并补混合与补集 交并补混合运算 · 补集 2025广州育才中学期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性；互异性指同一集合中元素互不相同，求出参数后必须回代检验。 （无序性：；确定性：任一元素在给定集合中"属于"与"不属于"二者必居其一。） 2. 元素与集合的关系只有属于与不属于两种，符号只能用在元素与集合之间，如，。 3. 常用数集：自然数集（含）、正整数集或（不含）、整数集、有理数集、实数集；空集不含任何元素。 4. 集合的表示：自然语言法、列举法、描述法；描述法先看代表元——是函数的定义域，是函数的值域，是点集。 （列举法适用于元素个数有限且较少的集合，描述法适用于元素有公共特征的无限集。） 5. 子集：即中任意元素都是的元素；真子集：即且中存在元素不属于。 （集合相等：且，即两集合的元素完全相同。） 6. 交集、并集、补集：且，或，且；求补集必须先确认全集。 7. 韦恩图直观呈现两集合的包含关系与交、并、补的运算区域，用于读图题与容斥计数；数轴是区间型集合求交、并、补和比较端点的基本工具。 （读图题先把阴影区域翻译成运算式再计算；同一问题中韦恩图与数轴可互为验算工具。） 8. 集合新定义中的"新运算、新性质"本身是首要概念，须逐字翻译为"元素与集合的归属关系"或运算规则后再动笔。 ▍二、法则与公式 1. 元集合的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为。 （记忆：每个元素都有"选或不选"两种可能，故共个子集。） 2. 子集个数反推元素个数：恰有2个子集⟺恰有1个元素，恰有8个子集⟺恰有3个元素；一般把已知个数写成型解出。 3. 包含关系与运算的等价式：；；。 4. 交并恒等式：，，，，，。 5. 补集恒等式：，，。 6. 德摩根律：，。 （记忆："补交变并、补并变交"，可用韦恩图阴影验证。） 7. 容斥原理（元素个数）：。 （三集合：三者个数之和，减去两两交集个数之和，再加。） 8. 空集的性质：是任何集合的子集、任何非空集合的真子集；与同时成立。 （包含关系有传递性：且。） ▍三、方法技巧 1. （集合概念与元素关系）三步：①解方程或不等式，把集合化成列举形式；②让已知元素逐个等于集合中的候选元素，分类求参；③回代检验互异性，舍去使元素重复的解。 （如型先因式分解求根，再逐根回代检验。） 2. （子集与真子集关系判断）先化简再比较：两集合都化成列举或区间；递推数集（如）列举前若干项找规律；证包含取"任意元素"推理，否定包含举一个反例元素。 （判断：既要又要；含参集合相等时逐个候选值回代验证。） 3. （子集与真子集个数计算）四步：①化简集合并数清元素个数；②套、、；③双重限制（如）拆成"固定元素＋剩余元素中任选"，所求个数等于剩余元素集合的真子集个数；④已知个数反求时把个数写成型。 4. （交并补混合与补集）四步：①确认全集并用列举法写全（含）；②化简每个集合；③按"先括号内、先化简"的顺序分步运算，每步写依据；④区间型画数轴，交取公共、并取覆盖、补取其余，端点开闭逐一核对，善用德摩根律化简验算。 5. （交集并集的直接运算）先解不等式或方程把各集合化为最简（注意、等限制），再按定义取交、并；数轴上端点谁取得到就保留谁。 （结果端点与原集合逐一核对：原集合取得到的端点可保留，取不到的必须去掉。） 6. （由集合关系求参数（含空集讨论））三步走：①由、等转化为；②先判断能否为空集——形如看系数是否为0，形如看；③非空时数轴比较端点列不等式组，各情形结论取并，回代检验端点等号能否取到。 7. （韦恩图与容斥）三步：①把阴影或所求区域翻译成运算式（如）；②容斥问题把韦恩图分成互不相交的小块逐块计数；③各块之和等于总数，"只满足某一项"用总数逐步剔除。 8. （集合新定义）把定义逐字翻译为集合语言，按定义逐项构造、推理验证"属于"关系；肯定一个结论要写出完整推导（如由推出），否定一个结论只需一组具体反例。 9. 数轴操作规范：端点取得到画实心、取不到画空心；比较端点时先判断等号能否取到，再定不等号方向，禁止凭口诀跳步。 ▍四、易错警示 1. 求参不检验互异性。正确说法：解出参数后回代列出集合逐个核对。 （反例：中使集合出现两个，必须舍去，只保留。） 2. 忽略空集讨论。正确说法：（或）时先讨论。 （反例：，，由求时若不讨论（此时）就漏解。） 3. 端点开闭取错。正确说法：包含关系中按原集合端点的开闭决定等号取舍。 （反例：需，若取则而，不成立。） 4. 符号与混用。正确说法：元素与集合之间用，集合与集合之间用。 （反例：写错误，应为；写也错误，应为。） 5. 全集漏元素。正确说法：求补集前先用列举法写全全集。 （反例：，求补集时漏掉则结果错误。） 6. 描述法代表元看错。正确说法：先确认代表元是、还是点。 （反例：，而，两者不是同一集合。） 7. 德摩根律记混。正确说法："补交变并、补并变交"。 （反例：，写成两补集之并在且两集合均非空时不成立。） 8. 丢掉描述法中的限制条件。正确说法：化简与计数时保留、等限制。 （反例：共3个元素，漏掉限制会误当成无穷集。） 　交集并集的直接运算 方法要领　先把每个集合分别化简（定义域、不等式解集或列举化），再按定义取公共（交）或合并（并）；数轴上比较区间端点，注意开闭与 、 等附加限制。 【例】（2025云南师大附中期中 2）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026之江中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025重庆巴蜀中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025四川安岳中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　由集合关系求参数（含空集讨论） 方法要领　先把 、 翻译成子集关系；最高次系数含参或区间端点为 型时，必须先讨论 ，再在 时借助数轴比较端点列不等式组，解须与前提求交，最后勿忘检验端点等号。 【例】（2025杭师大附中期中 16）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026肥东尚真中学期中 1）已知集合，，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026绿城育华期中 9）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭高三校区期中 15）已知，集合，，． (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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5）"九章三号"量子计算机原型机、"可重复使用试验航天器"、新一代人工智能大模型"紫东太初3.0"是2025年我国三大前沿科技成果．某校高一（1）班共有名同学，每名同学至少关注其中一项科技成果，其中有人关注了"九章三号"，有人关注了"可重复使用试验航天器"，有人关注了"紫东太初3.0"，有人同时关注"九章三号"和"可重复使用试验航天器"，有人同时关注"九章三号"和"紫东太初3.0"，没有人同时关注这三大科技成果，则只关注了"紫东太初3.0"的人数为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025南京六校联考期中 10）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　集合新定义 方法要领　新定义题"照章办事"：逐字弄清新符号的含义与运算规则，先用题目给的具体集合小规模试验找规律，再按定义逐条验证或计数；涉及"所有非空子集的乘积（和）"时，用子集个数 控制上界，用具体构造（如素数集、等比集）达到最值。 【例】（2026南阳六校期中 13）设集合，，则中的元素个数为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 14）用表示非空集合中元素的个数，定义．若， ，且，则的所有可能取值构成集合，则______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025重庆一中期中 11）已知集合，，其中，，且满足，．若对于中的元素，在中至少存在两个不同元素，，，，使得，则称集合具有性质．下列选项正确的有（　　）（多选） A．若集合是由所有正奇数组成的集合，则集合具有性质 B．若集合是由所有正偶数组成的集合，则集合具有性质 C．若，，则集合具有性质 D．若，且为奇数，则集合具有性质和，但不具有性质 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025鞍山一中期中 19）对任意的非空数集，定义，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，若，规定． (1)若，，分别写出集合和； (2)若，其中是正整数，求中元素个数的最大值与最小值，并说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　集合概念与元素关系 方法要领　先把集合化成列举形式，再让已知元素逐个等于候选元素分类求参；解出的参数必须回代检验互异性，舍去使集合内元素重复的解。 【例】（2026杭四中下沙期中 2）已知，，若集合=，则的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026金坛一中期中 1）已知集合，若，则（　　） A．或 B．或 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026杭四中吴山期中 12）若，，则集合中所有元素之和为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026华坪一中期中 12）若集合，且，则实数______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　子集与真子集关系判断 方法要领　判断包含关系先化简两集合，能列举就列举；证用"任取都有"，否定包含只需举一个反例元素。 【例】（2025封开南丰中学期中 10）设，，下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026华坪一中期中 2）若，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长沙一中期中 9）已知集合，则下列说法正确的有（　　）（多选） A． B． C．中有3个元素 D．有8个真子集 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025南师大附属实验学校期中 13）已知集合，，若，则实数的值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　子集与真子集个数计算 方法要领　先化简并数清元素个数，再套、、；双重限制拆成"固定元素＋剩余元素中任选"，已知个数反求时把个数写成型。 【例】（2026郑州十校联考期中 12）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2024学军紫金港期中 1）已知集合满足，这样的集合有（　　）个 A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026金坛一中期中 4）已知全集，，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026郑州一中期中 14）已知集合，集合（其中，），且要么，要么，则符合条件的集合有________个。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　交并补混合与补集 方法要领　先确认全集并化简各集合，再按先括号后混合的顺序分步运算；区间型一定画数轴并核对端点开闭，善用德摩根律化简验算。 【例】（2025广州育才中学期中 9）已知集合，，则（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南安龙泉中学期中 1）设全集，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026奔牛高级中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025江阴成化中学期中 15）已知全集，，． (1)求，； (2)求． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025湛江崇文港城海东期中 15）已知集合，，． (1)求，； (2)求，； (3)若，求实数的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026长郡中学期中 1）已知集合，则与集合的关系为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026大连二十四中期中 3）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2025广州二中期中 1）已知全集 ，，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026龙陵一中期中 2）已知集合，，若，则（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025海门实验学校期中 9）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026雅礼中学期中 11）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称为一个"封闭集"，以下说法正确的是（　　）（多选） A．若为一个"封闭集"，则 B．若为一个"封闭集"，且，则 C．若，都是"封闭集"，则是"封闭集"的充要条件是或 D．若，都是"封闭集"，则是"封闭集"的充要条件是或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025鹤山纪元中学期中 12）已知集合，，则集合的真子集个数为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2026哈尔滨三中期中 13）已知集合，．若，使得，则实数的取值范围为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025泉州六中期中 14）设，，，是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026杭师大附中期中 15）设集合，． (1)当时，求与； (2)若，求实数的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026宁波六校联考期中 15）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 第一册 集合 全国各地市期中真题精选 · 8 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 交集并集的直接运算 交集 · 并集 2025云南师大附中期中 4 题 由集合关系求参数（含空集讨论） 交集运算与空集讨论 · 集合间基本关系 · 交并补运算与子集含参 · 交集与子集含参 2025杭师大附中期中 5 题 韦恩图与容斥 集合容斥问题（韦恩图） · 交并补混合运算 · 集合容斥 2025泉州六中期中 4 题 集合新定义 集合新定义 2026南阳六校期中 4 题 集合概念与元素关系 集合相等与互异性 · 元素与集合关系 · 集合的表示 2026杭四中下沙期中 4 题 子集与真子集关系判断 集合间基本关系 · 元素与集合关系 2025封开南丰中学期中 4 题 子集与真子集个数计算 子集个数 · 集合间基本关系 2026郑州十校联考期中 4 题 交并补混合与补集 交并补混合运算 · 补集 2025广州育才中学期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性；互异性指同一集合中元素互不相同，求出参数后必须回代检验。 （无序性：；确定性：任一元素在给定集合中"属于"与"不属于"二者必居其一。） 2. 元素与集合的关系只有属于与不属于两种，符号只能用在元素与集合之间，如，。 3. 常用数集：自然数集（含）、正整数集或（不含）、整数集、有理数集、实数集；空集不含任何元素。 4. 集合的表示：自然语言法、列举法、描述法；描述法先看代表元——是函数的定义域，是函数的值域，是点集。 （列举法适用于元素个数有限且较少的集合，描述法适用于元素有公共特征的无限集。） 5. 子集：即中任意元素都是的元素；真子集：即且中存在元素不属于。 （集合相等：且，即两集合的元素完全相同。） 6. 交集、并集、补集：且，或，且；求补集必须先确认全集。 7. 韦恩图直观呈现两集合的包含关系与交、并、补的运算区域，用于读图题与容斥计数；数轴是区间型集合求交、并、补和比较端点的基本工具。 （读图题先把阴影区域翻译成运算式再计算；同一问题中韦恩图与数轴可互为验算工具。） 8. 集合新定义中的"新运算、新性质"本身是首要概念，须逐字翻译为"元素与集合的归属关系"或运算规则后再动笔。 ▍二、法则与公式 1. 元集合的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为。 （记忆：每个元素都有"选或不选"两种可能，故共个子集。） 2. 子集个数反推元素个数：恰有2个子集⟺恰有1个元素，恰有8个子集⟺恰有3个元素；一般把已知个数写成型解出。 3. 包含关系与运算的等价式：；；。 4. 交并恒等式：，，，，，。 5. 补集恒等式：，，。 6. 德摩根律：，。 （记忆："补交变并、补并变交"，可用韦恩图阴影验证。） 7. 容斥原理（元素个数）：。 （三集合：三者个数之和，减去两两交集个数之和，再加。） 8. 空集的性质：是任何集合的子集、任何非空集合的真子集；与同时成立。 （包含关系有传递性：且。） ▍三、方法技巧 1. （集合概念与元素关系）三步：①解方程或不等式，把集合化成列举形式；②让已知元素逐个等于集合中的候选元素，分类求参；③回代检验互异性，舍去使元素重复的解。 （如型先因式分解求根，再逐根回代检验。） 2. （子集与真子集关系判断）先化简再比较：两集合都化成列举或区间；递推数集（如）列举前若干项找规律；证包含取"任意元素"推理，否定包含举一个反例元素。 （判断：既要又要；含参集合相等时逐个候选值回代验证。） 3. （子集与真子集个数计算）四步：①化简集合并数清元素个数；②套、、；③双重限制（如）拆成"固定元素＋剩余元素中任选"，所求个数等于剩余元素集合的真子集个数；④已知个数反求时把个数写成型。 4. （交并补混合与补集）四步：①确认全集并用列举法写全（含）；②化简每个集合；③按"先括号内、先化简"的顺序分步运算，每步写依据；④区间型画数轴，交取公共、并取覆盖、补取其余，端点开闭逐一核对，善用德摩根律化简验算。 5. （交集并集的直接运算）先解不等式或方程把各集合化为最简（注意、等限制），再按定义取交、并；数轴上端点谁取得到就保留谁。 （结果端点与原集合逐一核对：原集合取得到的端点可保留，取不到的必须去掉。） 6. （由集合关系求参数（含空集讨论））三步走：①由、等转化为；②先判断能否为空集——形如看系数是否为0，形如看；③非空时数轴比较端点列不等式组，各情形结论取并，回代检验端点等号能否取到。 7. （韦恩图与容斥）三步：①把阴影或所求区域翻译成运算式（如）；②容斥问题把韦恩图分成互不相交的小块逐块计数；③各块之和等于总数，"只满足某一项"用总数逐步剔除。 8. （集合新定义）把定义逐字翻译为集合语言，按定义逐项构造、推理验证"属于"关系；肯定一个结论要写出完整推导（如由推出），否定一个结论只需一组具体反例。 9. 数轴操作规范：端点取得到画实心、取不到画空心；比较端点时先判断等号能否取到，再定不等号方向，禁止凭口诀跳步。 ▍四、易错警示 1. 求参不检验互异性。正确说法：解出参数后回代列出集合逐个核对。 （反例：中使集合出现两个，必须舍去，只保留。） 2. 忽略空集讨论。正确说法：（或）时先讨论。 （反例：，，由求时若不讨论（此时）就漏解。） 3. 端点开闭取错。正确说法：包含关系中按原集合端点的开闭决定等号取舍。 （反例：需，若取则而，不成立。） 4. 符号与混用。正确说法：元素与集合之间用，集合与集合之间用。 （反例：写错误，应为；写也错误，应为。） 5. 全集漏元素。正确说法：求补集前先用列举法写全全集。 （反例：，求补集时漏掉则结果错误。） 6. 描述法代表元看错。正确说法：先确认代表元是、还是点。 （反例：，而，两者不是同一集合。） 7. 德摩根律记混。正确说法："补交变并、补并变交"。 （反例：，写成两补集之并在且两集合均非空时不成立。） 8. 丢掉描述法中的限制条件。正确说法：化简与计数时保留、等限制。 （反例：共3个元素，漏掉限制会误当成无穷集。） 　交集并集的直接运算 方法要领　先把每个集合分别化简（定义域、不等式解集或列举化），再按定义取公共（交）或合并（并）；数轴上比较区间端点，注意开闭与 、 等附加限制。 【例】（2025云南师大附中期中 2）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】集合是函数的定义域，先由根式有意义求出，再按交集定义运算，注意端点的开闭。 【详解】解：要使与同时有意义，需且， 解得，故， 又，由交集定义，两集合的公共部分为， 所以， 故选：B。 【练1】（2026之江中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用列举法写出（注意附加条件），再由交集定义找出两集合的公共元素。 【详解】解：因为且，所以， 又，其中既属于又属于的元素只有，， 注意但，不能选D， 所以， 故选：A。 【练2】（2025重庆巴蜀中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解绝对值不等式化简集合，再与列举集求交集；注意是实数区间，其内元素未必都是整数。 【详解】解：由得，解得， 即， 又，其中落在区间内的元素只有和， 所以， 故选：D。 【练3】（2025四川安岳中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式化简，再由并集定义把两集合的元素合并；借助数轴可发现，并集即为较大的集合。 【详解】解：解不等式，即，解得， 故， 由且，在数轴上区间整段落在的内部，所以， 由并集的定义，， 故选：C。 　由集合关系求参数（含空集讨论） 方法要领　先把 、 翻译成子集关系；最高次系数含参或区间端点为 型时，必须先讨论 ，再在 时借助数轴比较端点列不等式组，解须与前提求交，最后勿忘检验端点等号。 【例】（2025杭师大附中期中 16）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或 【分析】(1)代入化简，按交、并集的定义运算；(2)的端点与大小不确定，必须先讨论，再在时借助数轴比较端点列不等式。 【详解】解：(1)当时，，又， 所以，． (2)因为，即与没有公共元素。 若，则，解得，此时中没有元素，成立，符合题意； 若，则，即，此时， 借助数轴，需整体落在的左侧或右侧： 当在左侧时，需，解得，与矛盾，此情况无解； 当在右侧时，需，解得，满足，符合题意． 综上所述，实数的取值范围是或． 【练1】（2026肥东尚真中学期中 1）已知集合，，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程的最高次系数可能为，故必须先讨论的情形，再讨论为单元素集时其元素是否属于，勿漏空集。 【详解】解：由，得只能是，或． 若，则方程无解，此时； 若，则是方程的解，代入得，解得； 若，则是方程的解，代入得，解得． 经检验，，，时均有成立， 所以的所有可能取值构成的集合为， 故选：A。 【练2】（2026绿城育华期中 9）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由得；方程的最高次系数含参，分（此时）与（为单元素集）两类讨论。 【详解】解：由及交集的定义得中的元素都在中，即． 当时，方程即，无解，此时，空集是任何集合的子集，符合题意； 当时，由方程解得，即， 由得或， 解得或，经检验均使成立． 综上所述，的可能取值为，，， 故选：ABD。 【练3】（2026杭高三校区期中 15）已知，集合，，． (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或 【分析】(1)代入化简，求出后按交、并定义运算；(2)的端点与大小不确定，由先讨论，再在时借助数轴比较端点列不等式组。 【详解】解：(1)当时，，又， 则或， 所以，． (2)由，分两类讨论： 若，则，解得，空集是任何集合的子集，符合题意； 若，则，即，此时， 由，借助数轴比较端点得且， 解得且，即． 综上所述，的取值范围为或． 【练4】（2024学军紫金港期中 18）设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)或 【分析】(1)由知，代入求出后必须检验交集合是否恰为；(2)由得，按为空集、单元素集、双元素集三类讨论，空集对应。 【详解】解：(1)解方程得． 因为，所以， 代入中方程得，即， 分解得，解得或， 检验：当时，，即，，符合； 当时，，即，，符合． 所以或． (2)因为，由并集的定义得，即的元素只能取自． ①若，则方程无实数根， 故，即， 分解得，解得或； ②若是单元素集，则，解得或， 当时，，符合； 当时，，而，不符合，舍去； ③若是含两个元素的集合，则必有， 由根与系数的关系得且， 由得，此时，矛盾，无解，舍去． 综上所述，实数的取值范围为或． 　韦恩图与容斥 方法要领　韦恩图题先由图读出阴影（或所求区域）对应的交、并、补表达式再运算；容斥题画三圆韦恩图，由最内层（三项都满足）向外逐层推算各互斥区域人数后相加，或用 公式，注意减两两交集后要补加三重交集。 【例】（2025泉州六中期中 4）某班班主任对全班女生进行了关于唱歌、跳舞、书法兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有人喜欢唱歌，人喜欢跳舞，人喜欢书法；同时喜欢唱歌和跳舞的有人，同时喜欢唱歌和书法的有人，同时喜欢跳舞和书法的有人，三种都喜欢的有人，则该班女生人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设喜欢唱歌、跳舞、书法的同学分别构成集合，，，画出三个圆的韦恩图，由最内层（三种都喜欢）的人向外逐层推算七个互不重叠区域的人数，再相加。 【详解】解：设喜欢唱歌、跳舞、书法的同学分别构成集合，，， 则，，， ，，，． 作出韦恩图，由内向外推算各区域人数： 只同时喜欢唱歌和跳舞的有人，只同时喜欢唱歌和书法的有人，只同时喜欢跳舞和书法的有人； 只喜欢唱歌的有人，只喜欢跳舞的有人，只喜欢书法的有人． 七个区域互不重叠，每个人恰被计数一次，相加得该班女生人数为 （人）， 故选：A。 【练1】（2025重庆一中期中 1）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦恩图读出阴影部分为"属于且不属于"的元素集合，即，先求补集再求交集。 【详解】解：由韦恩图可知，阴影部分中的元素满足且， 即阴影部分表示， 因为，全集， 所以表示除，，，以外的所有实数， 而中的，，应排除；，，应保留， 所以阴影部分表示的集合为， 故选：A。 【练2】（2026山东实验中学期中 5）"九章三号"量子计算机原型机、"可重复使用试验航天器"、新一代人工智能大模型"紫东太初3.0"是2025年我国三大前沿科技成果．某校高一（1）班共有名同学，每名同学至少关注其中一项科技成果，其中有人关注了"九章三号"，有人关注了"可重复使用试验航天器"，有人关注了"紫东太初3.0"，有人同时关注"九章三号"和"可重复使用试验航天器"，有人同时关注"九章三号"和"紫东太初3.0"，没有人同时关注这三大科技成果，则只关注了"紫东太初3.0"的人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关注三项成果的同学分别构成集合，，，画出韦恩图，由容斥原理先求出，再从中扣除与其他集合相交的人数即得。 【详解】解：设关注"九章三号"、"可重复使用试验航天器"、"紫东太初3.0"的同学分别构成集合，，， 则，，， ，，，． 由容斥原理， ， 代入得， 解得， 所以只关注了"紫东太初3.0"的人数为 （人） （三种都关注的人数为，不需要再补加）， 故选：C。 【练3】（2025南京六校联考期中 10）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由韦恩图读出阴影部分表示"属于且不属于"的元素集合，即去掉公共部分，据此逐项判断各选项所表示的范围是否与阴影一致。 【详解】解：由图可知，阴影部分中的元素满足且，即且， 所以阴影部分可表示为，A正确； 在内部看，阴影部分是中除去与的公共部分后剩下的元素组成的集合， 所以阴影部分也可表示为，C正确； 对于B，表示全集中除去的所有元素，还包含中不属于的元素及之外的元素，范围比阴影部分大，B错误； 对于D，表示在中除去公共部分，还包含中不属于的元素，同样比阴影部分大，D错误． 故选：AC。 　集合新定义 方法要领　新定义题"照章办事"：逐字弄清新符号的含义与运算规则，先用题目给的具体集合小规模试验找规律，再按定义逐条验证或计数；涉及"所有非空子集的乘积（和）"时，用子集个数 控制上界，用具体构造（如素数集、等比集）达到最值。 【例】（2026南阳六校期中 13）设集合，，则中的元素个数为______。 【答案】197 【分析】有个元素；设，其在上严格递增，故中元素互不相同，也有个；再确定的元素个数，由容斥思想求解。 【详解】解：，共个元素． 设，当增大时，与都增大，故在上严格递增， 所以中个元素互不相同，． 逐一计算：，，，均不超过； 而，且递增，故时， 所以，共个元素， 由容斥思想得， 故答案为：197。 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 14）用表示非空集合中元素的个数，定义．若， ，且，则的所有可能取值构成集合，则______。 【答案】5 【分析】，由得或；将方程左边分解为，按的两种情形讨论方程互异实数根的个数，注意不同因式的根可能重合，求出所有后计数。 【详解】解：方程的判别式，有两个不相等的实数根，故， 由，得或． 方程 即． 情形一：，则方程只能有一个实数根， 此时须（否则会给出非零根），且二次因式无实数根， 即且，得； 情形二：，则方程恰有个互异的实数根． 当时，二次因式即无实数根，方程只有根，不符合； 当时，与是两个不同的实数根， 若恰是二次因式的根，代入得，即，得， 此时二次因式的另一根与，互不相同，方程恰有个实数根，符合； 若不是二次因式的根，则二次因式须有两个相等的实数根，即，得， 此时方程的根为，与重根，三者互不相同，符合． 综上所述，的可能取值为，，，共个，即， 故答案为：5。 【练2】（2025重庆一中期中 11）已知集合，，其中，，且满足，．若对于中的元素，在中至少存在两个不同元素，，，，使得，则称集合具有性质．下列选项正确的有（　　）（多选） A．若集合是由所有正奇数组成的集合，则集合具有性质 B．若集合是由所有正偶数组成的集合，则集合具有性质 C．若，，则集合具有性质 D．若，且为奇数，则集合具有性质和，但不具有性质 【答案】ACD 【分析】紧扣定义：需在中找到至少两个不同元素，使其和恰为中的。A、B取特殊集合直接验证；C、D利用且，知小于的正整数都属于，据此把，拆成中两不同元素之和，再由奇偶性排除，定位所属的集合。 【详解】解：对于A，为正奇数集时，为正偶数集，且，，，所以具有性质，A正确； 对于B，为正偶数集时，中任意两个不同元素之和至少为，取更多元素时和更大，故中不存在若干不同元素之和等于，B错误； 对于C，因为，是中最小的元素，所以都不属于， 又，故它们都属于， 由知，故与是中两个不同元素，且， 所以具有性质，C正确； 对于D，同C可知且，故具有性质； 再证具有性质： 若，由知，且，故具有性质； 若，则若属于，将与是中第二小的元素矛盾，故它们都属于，且，故具有性质； 最后定位：因为，都是奇数，所以为偶数； 若，则为偶数，矛盾，故； 若，由是的最小元素得，从而； 若，由得，故，由是中第二小的元素得，从而． 综上，且，所以集合不具有性质，D正确． 故选：ACD。 【练3】（2025鞍山一中期中 19）对任意的非空数集，定义，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，若，规定． (1)若，，分别写出集合和； (2)若，其中是正整数，求中元素个数的最大值与最小值，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)最大值为，最小值为，理由见详解． 【分析】(1)按定义写出每个非空子集对应的乘积，相同的乘积只算一个元素；(2)的元素个数不超过的非空子集个数，取全素数集可使各乘积互不相同达到最大值；最小值利用严格递增链给出下界，再用具体集合验证。 【详解】解：(1)的单元素子集对应乘积，，；双元素子集对应 ，，；三元素子集对应， 以上个值互不相同，所以． 对，按子集所含元素个数分类计算乘积： 单元素：，，，； 双元素：，，，，，； 三元素：，，，； 四元素：． 合并相同的值，得 ． (2)最大值：的非空子集共个，每个非空子集对应中的一个元素，故中元素个数不超过； 取（全为素数），由素数分解的唯一性，的不同非空子集的元素乘积也互不相同（乘积的素因数分解恰好还原出该子集）， 所以此时恰有个元素，最大值为． 最小值：不妨设，由正整数性质知，， 考察下列个子集的乘积： ，，，，（单元素子集）； ，，（双元素子集）； ，（三元素子集）； （四元素子集）． 由得，且相邻两式中后者比前者多乘一个大于的因数，故有 ， 这个值互不相同且都属于，故中元素个数至少为； 当时，即， 任一非空子集的乘积为，其中指数为所选各数的指数之和，易验证可取遍（如，其余各值也可逐个凑出）， 故，恰有个元素， 所以最小值为． 综上所述，中元素个数的最大值为，最小值为． 　集合概念与元素关系 方法要领　先把集合化成列举形式，再让已知元素逐个等于候选元素分类求参；解出的参数必须回代检验互异性，舍去使集合内元素重复的解。 【例】（2026杭四中下沙期中 2）已知，，若集合=，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两集合相等则元素完全相同，结合互异性求出，，代入即可得结果；注意与对的限制。 【详解】解：因为=，由相等的集合元素完全相同，可知， 又已占一元素，且时无意义，故必有， 即=，比较未对上的元素得， 由互异性知（否则左集合中与重复），解得， 代入，检验：=，符合题意， 所以， 故选：B。 【练1】（2026金坛一中期中 1）已知集合，若，则（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，求出后注意用集合中元素的互异性检验。 【详解】解：因为，，由元素与集合的关系，等于集合中某个元素的值， 当时，则，此时，集合中出现两个，与互异性矛盾，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，三个元素互不相同，符合题意， 综上所述，． 故选：C。 【练2】（2026杭四中吴山期中 12）若，，则集合中所有元素之和为______。 【答案】13 【分析】集合的代表元是，将逐一取遍中的元素算出对应的，再由互异性确定集合。 【详解】解：当时，；当时，；当时，， 由互异性，相同的值只算一个元素，故， 因此集合中所有元素之和为． 故答案为：13。 【练3】（2026华坪一中期中 12）若集合，且，则实数______。 【答案】或 【分析】分，，三种情况讨论，求出后用互异性检验。 【详解】解：由，则等于集合中某一个元素的值，分三种情况讨论： ①当时，解得，此时，三个元素互不相同，符合题意； ②当时，解得，此时，即集合中出现两个，与互异性矛盾，舍去； ③当时，解得或，其中即情形②，已舍去， 当时，，三个元素互不相同，符合题意． 综上，实数的值为或． 故答案为：或。 　子集与真子集关系判断 方法要领　判断包含关系先化简两集合，能列举就列举；证用"任取都有"，否定包含只需举一个反例元素。 【例】（2025封开南丰中学期中 10）设，，下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对配方得，将两集合用列举法表示，比较元素后逐一判断各选项。 【详解】解：，其中依次为，即， ，当时，依次取， 所以，由互异性得， 即集合比集合多一个元素，而正整数，故A错误；，故B错误； 中的元素都是的元素且但，所以，故C正确； 由（并集运算与包含关系的等价性）得，故D正确． 故选：CD。 【练1】（2026华坪一中期中 2）若，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程化简集合，再根据子集、集合相等与元素归属逐一判断各选项。 【详解】解：由得，解得或，所以， 对于A，是以空集为元素的集合，而，所以不是的子集，故A错误； 对于B，中有两个元素与，而只有一个元素，故，故B错误； 对于C，，由子集的定义，中的元素都必须属于，故，故C错误； 对于D，，所以成立，故D正确． 故选：D。 【练2】（2026长沙一中期中 9）已知集合，则下列说法正确的有（　　）（多选） A． B． C．中有3个元素 D．有8个真子集 【答案】ABC 【分析】先解不等式（注意限制条件）用列举法写出，再逐一判断元素归属、交集、元素个数与真子集个数。 【详解】解：由得，又，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，==，故B正确； 对于C，中有3个元素，故C正确； 对于D，为3元集合，其真子集个数为个，不是8个（8是子集个数），故D错误． 故选：ABC。 【练3】（2025南师大附属实验学校期中 13）已知集合，，若，则实数的值为______。 【答案】2 【分析】由知两集合元素完全相同，则，分类求出候选后逐一回代检验集合相等与互异性。 【详解】解：因为，由集合相等的定义，中的元素必是的元素，即， 由得或，即或或， 当时，，，成立，符合题意； 当时，，，两集合元素不同，，舍去； 当时，，，，舍去； 综上，实数的值为2． 故答案为：2。 　子集与真子集个数计算 方法要领　先化简并数清元素个数，再套、、；双重限制拆成"固定元素＋剩余元素中任选"，已知个数反求时把个数写成型。 【例】（2026郑州十校联考期中 12）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为______。 【答案】 【分析】解集有且仅有两个子集等价于解集中恰有1个元素，即方程有两个相等的实数根，用判别式求。 【详解】解：∵一个集合有且仅有两个子集时，该集合恰含1个元素， ∴方程必须有两个相等的实数根，使解集恰为一个元素， 又系数有意义要求，故方程确为一元二次方程， 于是判别式， 展开得，即， 两边同乘（）得，即， 解得，即， 检验：当时，，方程有两个相等实根，解集恰含1个元素，恰有个子集，符合题意． 故答案为：。 【练1】（2024学军紫金港期中 1）已知集合满足，这样的集合有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得；由真子集得不能全部属于，故集合的个数等于集合的真子集个数。 【详解】解：由及子集、真子集的定义得，且不全部是的元素， 令，则，所以集合的个数等于集合的个数， 即集合的真子集个数，为个， 故选：B。 【练2】（2026金坛一中期中 4）已知全集，，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法写全全集（注意自然数集含），求出与其补集，数清元素个数后套真子集个数公式。 【详解】解：全集=， 因为的元素既在中又在中，所以， 由补集的定义，，共4个元素， 由真子集个数公式，其真子集个数为个， 故选：B。 【练3】（2026郑州一中期中 14）已知集合，集合（其中，），且要么，要么，则符合条件的集合有________个。 【答案】211 【分析】由互异性知，故只能或；由无序性知，只需计数""的情形，按中元素的个数分类讨论。 【详解】解：由集合元素的互异性可知（若，则集合中两元素相同，不合定义）， 因此只能是或； 由集合的无序性可知，两种情况一一对应，只需求解"，"的情形即可， 按集合中元素的个数进行分类讨论（记为符合条件的集合的个数）： ①若，此时是集合的非空子集，则； ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为（），此时集合必须真包含，其可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此； ③若包含集合中的任意两个元素，计数原理与情形②相同，； ④若包含集合中的任意三个元素，同理； ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时，因此． 综上，． 故答案为：211。 　交并补混合与补集 方法要领　先确认全集并化简各集合，再按先括号后混合的顺序分步运算；区间型一定画数轴并核对端点开闭，善用德摩根律化简验算。 【例】（2025广州育才中学期中 9）已知集合，，则（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据函数有意义的条件求出集合（定义域），由值域求出集合，再按选项分别计算交、并、补并判断。 【详解】解：由函数有意义可得，即，故， 由，可得， 因，故A项错误，B项正确； 因，故C项正确； 又，得，故D项正确． 故选：BCD。 【练1】（2026南安龙泉中学期中 1）设全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法写出全集（注意自然数集含），求出并集后再求补集。 【详解】解：因为=，又，， 所以，则由补集定义得． 故选：B。 【练2】（2026奔牛高级中学期中 1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按整数除以的余数将整数集分为三类，判断覆盖了哪些类，再由补集的意义确定剩下的类。 【详解】解：集合表示被除余数为的整数所构成的集合， 集合表示被除余数为的整数构成的集合， 则表示被除余数为或的整数构成的集合， 则它在整数集中的补集是恰好被整除的整数集，即． 故选：A。 【练3】（2025江阴成化中学期中 15）已知全集，，． (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，；(2)= 【分析】(1)先用列举法写出、，再按并集、补集的定义运算；(2)分别求出、后求交集，并用德摩根律验算。 【详解】解：(1)由且得， 解方程得或，所以， 由并集的定义，； 因为，全集中除去以外的元素构成， 所以． (2)由补集的定义，，， 由交集的定义，=； 验算：由德摩根律=， 而，故，与所得结果一致． 【练4】（2025湛江崇文港城海东期中 15）已知集合，，． (1)求，； (2)求，； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)=，=；(3) 【分析】(1)(2)为区间型集合的交、并、补运算，借助数轴标出各区间，端点开闭逐一核对；(3)由得，再比较端点。 【详解】解：(1)在数轴上标出与，公共部分为，合并覆盖部分为， 所以，． (2)由(1)知，全集为，其在中的补集为， 即=； 由得（端点，故补集中取不到）， 所以=． (3)由并集与包含关系的等价式， 又是射线形集合，恒非空，无需讨论空集，直接比较左端点： 要求的左端点不在的左端点的左侧，即， 解得，所以实数的取值范围为． 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026长郡中学期中 1）已知集合，则与集合的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程化简集合，再根据元素与集合的关系用或判断，注意符号""只能用于集合与集合之间。 【详解】解：， 因为元素与集合的关系只有属于和不属于两种，且是集合中的元素，所以， 而符号""表示集合与集合之间的关系，是元素，故C、D写法错误． 故选：A。 2．（6分）（2026大连二十四中期中 3）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法表示集合、，比较元素后判断包含关系。 【详解】解：依题意，， ， 比仅多一个元素，其余元素完全相同，所以，A、C错误； 又中不含，等自然数，故，D错误． 故选：B。 3．（6分）（2025广州二中期中 1）已知全集 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由绝对值不等式化简 、由一元二次不等式化简 ，再由补集的定义写出 。 【详解】解：∵， ∴； 又 ， ∴， 由补集的定义得 ， 故选：D。 4．（6分）（2026龙陵一中期中 2）已知集合，，若，则（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】解方程得；由得，对（即）与分类讨论。 【详解】解：方程解得或，所以， 由，根据交集的定义得， 当时，方程无解，，空集是任何集合的子集，满足题意； 当时，，由得或，解得或， 综上，或或． 故选：D。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025海门实验学校期中 9）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用交、并、补运算与包含关系的等价式（如，），结合韦恩图对选项逐一双向判断。 【详解】解：选项A中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，A正确； 选项B中，由，得的是，推不出，故B错误； 选项C中，若，则；反过来，若，任取，则，此时若，由得，矛盾，故，即，所以，故互为充要条件，C正确； 选项D中，若，两边取补集得，即中无以外的元素，故；反过来，若，由C知，则，故互为充要条件，D正确． 故选：ACD。 6．（6分）（2026雅礼中学期中 11）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称为一个"封闭集"，以下说法正确的是（　　）（多选） A．若为一个"封闭集"，则 B．若为一个"封闭集"，且，则 C．若，都是"封闭集"，则是"封闭集"的充要条件是或 D．若，都是"封闭集"，则是"封闭集"的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对A、B由"封闭集"的两条性质直接逐步推导；对C举反例；对D先证充分性，再用反证法证必要性。 【详解】解：对于A，因为为一个"封闭集"，由性质（2）知若，则，那么由性质（1）得，A正确； 对于B，因为为一个"封闭集"，，由性质（2）得，再由性质（1）得，B正确； 对于C，不妨取"封闭集"，， 则，且，，故也是"封闭集"，但显然或不成立，C错误； 对于D，充分性：若或，则或，故是"封闭集"； 必要性：若是"封闭集"，假设或不成立，则存在且，且，此时， 因为是"封闭集"，所以，且， 分两类讨论：若，由及性质（2）得，再由性质（1）得，这与矛盾； 若，则，由及性质（2）得，再由性质（1）得，这与矛盾， 故假设不成立，必要性成立，D正确． 故选：ABD。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025鹤山纪元中学期中 12）已知集合，，则集合的真子集个数为______。 【答案】7 【分析】先化简并求出交集，再由元集合的真子集个数为计算。 【详解】解：因为集合，， 所以，共个元素，所以的真子集个数为． 故答案为：7。 8．（6分）（2026哈尔滨三中期中 13）已知集合，．若，使得，则实数的取值范围为______。 【答案】 【分析】量词条件说明中的每一个元素都是的元素，即，转化为包含关系后借助数轴列不等式，注意端点开闭对等号的限制。 【详解】解：因为，，使得，说明中的每一个元素都在集合中，所以， 由数轴比较端点：的左端点取不到，故允许；的右端点取得到，而的右端点取不到，故需， 于是得且，解得且， 所以实数的取值范围是． 故答案为：。 9．（6分）（2025泉州六中期中 14）设，，，是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______。 【答案】8 【分析】任取3个数求和共有4种结果，将4个和相加得；由集合元素的互异性判断哪个和出现重复，进而求出四个数。 【详解】解：从4个数中选3个数求和共有4种取法，即，，，， 将这4个式子相加得，一定是3的倍数， 因为所得结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个和只能取，，中的值，且4个和3种值必有重复， 注意到是3的倍数，而四个数的和也是3的倍数，故四个和为（重复的是27）， 则，得， 又，，，所以这4个数分别为， 所以最小的数为． 故答案为：8。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026杭师大附中期中 15）设集合，． (1)当时，求与； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)先解不等式化简集合，代入求出，按交集、并集的定义运算；(2)由得，分和两种情况，借助数轴列出不等式组求解。 【详解】解：(1)由得，即， 当时，集合， 由交集、并集的定义可得，． (2)由，根据交集的定义得， 当时，则，解得，此时成立； 当时，则，即，由数轴上区间端点比较得且，解得， 综上，实数的取值范围为． 11．（15分）（2026宁波六校联考期中 15）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)由得，分与两种情况讨论；(2)充分不必要条件等价于，列出不等式组并注意两端点不能同时取等。 【详解】解：(1)因为，由并集的定义得， 当时，则，解得，此时成立； 当时，则，借助数轴得且，解得， 综上所述，实数的取值范围为． (2)因为是的充分不必要条件，所以， 由数轴可得且，且两处端点不能同时取等号，解得， 所以实数的取值范围为． 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $