专题2.2 基本不等式 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：基本不等式的内容与使用条件、和定积最大与积定和最小的最值定理、基本不等式的常用变形与恒成立问题； ▲难点："一正二定三相等"三个条件的逐条验证、"1"的代换法中的变量范围、含参最值问题中取等号条件是否可取的讨论． 目录 专题2.2 基本不等式（期中复习讲义） 1 知识点1 基本不等式 1 【题型1 对基本不等式的理解】 2 【题型2 利用基本不等式比较大小】 3 知识点2 最值定理 4 【题型3 利用基本不等式求最值】 5 【题型4 "1"的代换与实际应用中的最值】 6 知识点3 基本不等式的变式与拓展 7 【题型5 利用基本不等式证明不等式】 8 【题型6 基本不等式恒成立问题】 9 【题型7 基本不等式的综合应用】 10 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 【重难点】★重点：基本不等式的内容与使用条件（，），等号成立的条件； ▲难点：使用基本不等式前必须验证"一正二定三相等"三个条件，、为负数或零时不能使用． 1．内容　若，，则，当且仅当时取等号． 2．使用条件　"一正"：两个数均为正数；"二定"：两数的和或积为定值；"三相等"：取等号时两数相等． 3．常用变形　；（）． 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】下列命题中，真命题是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】若，，且，则的最大值是______，此时______． 【变式1-2】已知，，则的最小值是______． 【变式1-3】若，，则中等号成立的条件是______． 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】比较下列各组数的大小：(1)与（）；(2)与（）． 【变式2-1】比较与的大小（，）． 【变式2-2】已知，，均为正数，且，试比较与的大小． 【变式2-3】已知，比较与的大小，并指出取等号的值． 考点2 最值定理 知识点2 最值定理 【重难点】★重点：和为定值求积的最大值、积为定值求和的最小值，"1"的代换法； ▲难点："一正二定"条件的验证，型代换后新变量的取值范围，含参最值问题中取等号条件是否可取． 1．和定积最大　若（），，，则，当时取等号． 2．积定和最小　若（），，，则，当时取等号． 3．"1"的代换　当时，把写成的形式，把与的和（或积）凑成定值． 【题型3 利用基本不等式求最值】 【例3】已知，求的最小值，并指出取到最小值时的值． 【变式3-1】已知，求的最小值． 【变式3-2】已知，求的最小值． 【变式3-3】已知，求的最小值． 【题型4 "1"的代换与实际应用中的最值】 【例4】某厂生产产品件、产品件（，），两种产品必须配套生产，即．产品每件利润元，产品每件利润元，求总利润的最大值． 【变式4-1】某矩形面积为，设其长为，宽为，求其周长的最小值． 【变式4-2】已知，求的最小值． 【变式4-3】某班名学生，身高（单位：cm）均在以上，现要从中选出名身高不低于的学生参加比赛，若共有名（）学生的身高不低于，则的最小值是______． 考点3 基本不等式的变式与拓展 知识点3 基本不等式的变式与拓展 【重难点】★重点：基本不等式的常用变形（，），基本不等式恒成立问题； ▲难点：多次使用基本不等式时的连乘等号同时成立条件，含参恒成立问题转化为判别式与最值的联合求解． 1．常用变形　（）；（）；． 2．恒成立转化　"对任意不等式恒成立"等价于"左边与右边的差的最小值"；用基本不等式求最小值时须验证等号能否取到． 3．连用规则　多次使用基本不等式时，各次取等号的条件必须能同时成立，否则最值不可取． 【题型5 利用基本不等式证明不等式】 【例5】利用基本不等式证明：（，为任意实数）． 【变式5-1】利用基本不等式证明：（，为任意实数）． 【变式5-2】已知，，，求证：． 【变式5-3】已知，，，求证：． 【题型6 基本不等式恒成立问题】 【例6】已知，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-1】已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-2】已知，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【题型7 基本不等式的综合应用】 【例7】已知，，且，求的最大值． 【变式7-1】已知，，且，求的最小值． 【变式7-2】已知，求的最小值，并指出取到最小值时的值． 【变式7-3】某产品的总成本（万元）与产量（万件）满足（），求总成本的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：基本不等式的内容与使用条件、和定积最大与积定和最小的最值定理、基本不等式的常用变形与恒成立问题； ▲难点："一正二定三相等"三个条件的逐条验证、"1"的代换法中的变量范围、含参最值问题中取等号条件是否可取的讨论． 目录 专题2.2 基本不等式（期中复习讲义） 1 知识点1 基本不等式 1 【题型1 对基本不等式的理解】 2 【题型2 利用基本不等式比较大小】 3 知识点2 最值定理 4 【题型3 利用基本不等式求最值】 5 【题型4 "1"的代换与实际应用中的最值】 6 知识点3 基本不等式的变式与拓展 7 【题型5 利用基本不等式证明不等式】 8 【题型6 基本不等式恒成立问题】 9 【题型7 基本不等式的综合应用】 10 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 【重难点】★重点：基本不等式的内容与使用条件（，），等号成立的条件； ▲难点：使用基本不等式前必须验证"一正二定三相等"三个条件，、为负数或零时不能使用． 1．内容　若，，则，当且仅当时取等号． 2．使用条件　"一正"：两个数均为正数；"二定"：两数的和或积为定值；"三相等"：取等号时两数相等． 3．常用变形　；（）． 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】下列命题中，真命题是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】判定依据：基本不等式 的前提是 、． A：、 时由基本不等式得 ，正确 B：、 时 而 ，不成立 C：不等号方向与基本不等式相反，错误 D：a、b 异号时 无意义，错误 故选 A． 【变式1-1】若，，且，则的最大值是______，此时______． 【解析】∵，，， 由基本不等式，当且仅当时取等号． ∴的最大值是，此时．∴依次填，． 【变式1-2】已知，，则的最小值是______． 【解析】∵且，故，同号，又，故，． 由基本不等式，当且仅当时取等号． ∴的最小值是． 【变式1-3】若，，则中等号成立的条件是______． 【解析】由基本不等式，等号成立的条件是． 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】比较下列各组数的大小：(1)与（）；(2)与（）． 【解析】(1)当时，由基本不等式， 当且仅当即时取等号；∴； (2)当时，由基本不等式， 当且仅当即时取等号；∴． 【变式2-1】比较与的大小（，）． 【解析】当，时，由基本不等式， 又由得， ∴，当且仅当时取等号．∴． 【变式2-2】已知，，均为正数，且，试比较与的大小． 【解析】∵，，均为正数，且， 由基本不等式得，同理，， 三式相加得， 更简便地，用均值不等式的调和平均形式： ， ∴，当且仅当时取等号．∴． 【变式2-3】已知，比较与的大小，并指出取等号的值． 【解析】当时，； ∵，∴当时，即；当时两者相等； 当时，即．∴取等号时． 考点2 最值定理 知识点2 最值定理 【重难点】★重点：和为定值求积的最大值、积为定值求和的最小值，"1"的代换法； ▲难点："一正二定"条件的验证，型代换后新变量的取值范围，含参最值问题中取等号条件是否可取． 1．和定积最大　若（），，，则，当时取等号． 2．积定和最小　若（），，，则，当时取等号． 3．"1"的代换　当时，把写成的形式，把与的和（或积）凑成定值． 【题型3 利用基本不等式求最值】 【例3】已知，求的最小值，并指出取到最小值时的值． 【解析】∵，由基本不等式，当且仅当 即（）时取等号．∴的最小值是，取到最小值时． 【变式3-1】已知，求的最小值． 【解析】∵，由基本不等式， 当且仅当即时取等号．∴的最小值是． 【变式3-2】已知，求的最小值． 【解析】∵，而在时单调递 增（由基本不等式，等号点）， ∴当时，当时取等号．∴的最小值是． 【变式3-3】已知，求的最小值． 【解析】∵，由基本不等式， ∴，当且仅当时取等号．∴的最小值是． 【题型4 "1"的代换与实际应用中的最值】 【例4】某厂生产产品件、产品件（，），两种产品必须配套生产，即．产品每件利润元，产品每件利润元，求总利润的最大值． 【解析】设总利润为元，则．∵，，， 由基本不等式， 当且仅当时取等号，此时解得，． ∴，当，时取等号．∴总利润的最大值是元． 【变式4-1】某矩形面积为，设其长为，宽为，求其周长的最小值． 【解析】设矩形的长为，宽为，则，，且． 周长，当且仅当时取等号．∴其周长的最小值是． 【变式4-2】已知，求的最小值． 【解析】∵，由基本不等式，当且仅当 即时取等号．∴的最小值是． 【变式4-3】某班名学生，身高（单位：cm）均在以上，现要从中选出名身高不低于的学生参加比赛，若共有名（）学生的身高不低于，则的最小值是______． 【解析】∵有名学生的身高不低于，且，∴，当时取等号． ∴的最小值是． 考点3 基本不等式的变式与拓展 知识点3 基本不等式的变式与拓展 【重难点】★重点：基本不等式的常用变形（，），基本不等式恒成立问题； ▲难点：多次使用基本不等式时的连乘等号同时成立条件，含参恒成立问题转化为判别式与最值的联合求解． 1．常用变形　（）；（）；． 2．恒成立转化　"对任意不等式恒成立"等价于"左边与右边的差的最小值"；用基本不等式求最小值时须验证等号能否取到． 3．连用规则　多次使用基本不等式时，各次取等号的条件必须能同时成立，否则最值不可取． 【题型5 利用基本不等式证明不等式】 【例5】利用基本不等式证明：（，为任意实数）． 【解析】证明：分两种情况讨论．由基本不等式， 得证；当与异号时，，而，得证； 综上，恒成立．证毕． 【变式5-1】利用基本不等式证明：（，为任意实数）． 【解析】证明：∵，∴．证毕． 【变式5-2】已知，，，求证：． 【解析】证明：∵，，，由基本不等式， ∴，当且仅当时取等号．证毕． 【变式5-3】已知，，，求证：． 【解析】证明：∵，，，由基本不等式， 当且仅当时取等号．证毕． 【题型6 基本不等式恒成立问题】 【例6】已知，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】∵，由基本不等式（）， ∴要使对任意恒成立，须且只须，即． ∴实数的取值范围是． 【变式6-1】已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】∵，由基本不等式（）， ∴要使对任意恒成立，须且只须，即． ∴实数的取值范围是． 【变式6-2】已知，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】∵，二次函数的图象开口向上， ∴要使对一切恒成立，须且只须判别式，即．又， ∴实数的取值范围是． 【变式6-3】已知，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【解析】∵，二次函数的图象开口向上， ∴要使对一切恒成立，须且只须判别式，即．又， ∴实数的取值范围是． 【题型7 基本不等式的综合应用】 【例7】已知，，且，求的最大值． 【解析】∵，，， 由基本不等式，当且仅当时取等号． ∴，当时取等号．∴的最大值是． 【变式7-1】已知，，且，求的最小值． 【解析】由得，即． 由基本不等式，又， 故，当且仅当时取等号．∴的最小值是． 【变式7-2】已知，求的最小值，并指出取到最小值时的值． 【解析】∵，，当且仅当 即时取等号．∴的最小值是，取到最小值时． 【变式7-3】某产品的总成本（万元）与产量（万件）满足（），求总成本的最小值． 【解析】∵，由基本不等式， 当且仅当即时取等号．∴总成本的最小值是万元（此时万件）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $