专题1.1集合的概念期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.1 集合的概念（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：集合的含义与元素的三特性、元素与集合的关系（与）、集合的列举法与描述法、集合的分类； ▲难点：确定性与互异性的准确判断、与、与的区别、描述法中条件与限定的不全、无限集的分类． 目录 专题1.1 集合的概念（期中复习讲义） 1 知识点1 集合的含义与元素特性 1 【题型1 元素能否构成集合的判断】 2 【题型2 集合中元素特性的应用】 3 知识点2 元素与集合的关系 4 【题型3 元素与集合的关系的判断】 5 【题型4 常用数集及其表示】 6 知识点3 集合的表示方法与分类 7 【题型5 集合的列举法表示】 8 【题型6 集合的描述法表示】 9 【题型7 集合的分类与集合与方程的综合应用】 10 考点1 集合的含义与元素特性 知识点1 集合的含义与元素特性 【重难点】★重点：元素、集合的概念，集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）； ▲难点：确定性的准确理解（元素必须能判定"在"或"不在"）、互异性造成的集合元素去重、无序性带来的书写顺序不唯一． 1．元素与集合　我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母，，等表示；把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母，，等表示． 2．确定性　给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的． 3．互异性　一个给定集合中的元素是互不相同的，集合中的元素不重复出现． 4．无序性　给定集合中的元素不分先后，没有顺序． 【题型1 元素能否构成集合的判断】 【例1】下列各对象能组成集合的是（　　） A．与非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校本学期全体高一学生 【解析】判定依据：集合元素须具有确定性、互异性、无序性． A：与1非常接近，标准不明确，不能构成集合 B：中国著名的数学家，标准不明确，不能构成集合 C：视力比较好，标准不明确，不能构成集合 D：某学校本学期全体高一学生，对象明确，能构成集合 故选 D． 【变式1-1】下列各对象能组成集合的是（　　） A．本班身高比较高的同学 B．本班参加数学竞赛的同学 C．全体很大的自然数 D．本班学习勤奋的同学 【解析】判定依据：只有标准明确、对象确定的对象才能构成集合． A：身高比较高，标准不明确，不能构成集合 B：本班参加数学竞赛的同学，对象明确，能构成集合 C：全体很大的自然数，“很大”标准不明确 D：学习勤奋，标准不明确，不能构成集合 故选 B． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．全体很大的自然数构成集合 B．全体好看的实数构成集合 C．全体不超过的实数构成集合 D．全体身高比较高的同学构成集合 【解析】判定依据：元素是否确定，是判断能否构成集合的唯一标准． A：全体很大的自然数，“很大”没有明确标准 B：全体好看的实数，“好看”不是数的确定属性 C：全体不超过1的实数，范围确定，能构成集合 D：身高比较高，标准不明确，不能构成集合 故选 C． 【变式1-3】下列各对象能组成集合的是（　　） 方程 的实数解 我国著名的数学家 所有接近 的数 我们班个子较高的同学 【解析】判定依据：标准明确、对象确定，才能构成集合． A：方程 无实数解，解集为 ，对象确定 B：“著名”标准不明确，不能构成集合 C：“接近 ”标准不明确，不能构成集合 D：“个子较高”标准不明确，不能构成集合 故选 A． 【题型2 集合中元素特性的应用】 【例2】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．集合与集合的元素个数不同 C．集合与集合相等 D．若，则 【解析】判定依据：元素与集合用 、，集合与集合用 、． A： 是元素与集合的关系，不能写作 B： 中 1 只算一个元素，与 个数相同 C：集合元素无序，，正确 D： 说明 a 不是 A 的元素，不能用 故选 C． 【变式2-1】下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．集合与集合不是同一个集合 C．若且，则 D．集合中有个元素 【解析】判定依据：紧扣元素与集合的关系、元素的互异性与无序性． A： 推不出 ，故推不出 B：元素无序，，说法错误 C： 且 ，由交集定义得 D： 重复只算一个元素，共 2 个元素 故选 C． 【变式2-2】已知集合，则实数的取值范围是______． 【解析】由集合元素的互异性知，，，三者必须互不相同． 由且得，由得且． ∴实数的取值范围是． 考点2 元素与集合的关系 【变式2-3】已知集合 ，且 ，求实数 的值． 【解析】由 分三种情况讨论：若 ，则 ，此时 ， ，与 重复，舍去；若 ，则 或 ， 当 时 重复，舍去，当 时 ，符合互异性； 若 ，则 或 ，均舍去．故 ． 知识点2 元素与集合的关系 【重难点】★重点：元素与集合的关系只有"属于"与"不属于"两种，用、表示； ▲难点：区分元素与集合的表示符号（集合用大写、元素用小写），与的含义不同，与不能混用． 1．关系符号　若是集合的元素，记作；若不是集合的元素，记作． 2．关系唯一性　元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立． 3．常见数集　非负整数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集． 【题型3 元素与集合的关系的判断】 【例3】已知集合，则，；．试判断：______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）． 【解析】由得，故．∵，∴应填"×"； ∵，∴应填"×"．∴依次填"×"，"×"． 【变式3-1】已知集合，则______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）． 【解析】集合，即所有大于的实数．∵，∴应填"√"； ∵不满足，∴应填"×"． 【变式3-2】已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 是全体正数构成的集合． A：0 不是正数，故 B： 不是正数，故 C：1 是正数，故 ，正确 D：由 C 知 ，故 错误 故选 C． 【变式3-3】已知集合，则中元素的个数是______． 【解析】由且得，，，，． ∴集合，元素个数是． 【题型4 常用数集及其表示】 【例4】下列说法中正确的是（　　） A．非负整数集不含 B．正整数集含 C．整数集不包含所有正整数 D．有理数集是实数集的真子集 【解析】判定依据：熟记常用数集的记号与范围． A：非负整数集 含 0，说法错误 B：正整数集 不含 0，说法错误 C：整数集 包含所有正整数，说法错误 D：有理数集 是实数集 的真子集，正确 故选 D． 【变式4-1】下列集合中，元素个数为的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：先解方程（不等式），再数元素个数． A： 得 ，集合为 ，2 个元素 B： 无解，为空集，0 个元素 C：解集为 ，只有 1 个元素 D：，实数无穷多，元素无数个 故选 A． 【变式4-2】下列命题中错误的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 从 1 开始，其余数集都含 0． A：0 是非负整数，，正确 B：正整数集不含 0，故 ，错误 C：0 是整数，，正确 D：0 是有理数，，正确 故选 B． 【变式4-3】已知集合，则是（　　） A．有限集 B．无限集 C．空集 D．含的集合 【解析】判定依据： 取遍全体正整数， 互不相同． A： 有无穷多个取值，不是有限集 B：元素 互不相同且无穷多，是无限集 C： 时元素为 1，不是空集 D：，故 故选 B． 考点3 集合的表示方法与分类 知识点3 集合的表示方法与分类 【重难点】★重点：集合的列举法与描述法，描述法中的规范写法，集合的分类（有限集与无限集、数集与非数集）； ▲难点：描述法中"属于什么集合"的限定不能遗漏、列举法元素的去重与化简、无限集的分类判断． 1．列举法　把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号""括起来表示集合的方法． 2．描述法　设是一个集合，把中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，也写作． 3．集合的分类　按元素个数分为有限集与无限集；按元素性质分为数集与非数集． 【题型5 集合的列举法表示】 【例5】用列举法表示下列集合：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1)由得，故； (2)在中大于的元素有，，故； (3)满足且的整数为，，，，，故． 【变式5-1】用列举法表示下列集合：(1)；(2)． 【解析】(1)小于的自然数为，，，，，故； (2)由得或，故． 【变式5-2】下列各集合的表示方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：列举法要一一列出，描述法要写明元素范围． A： 含 0，右边为 ，不相等 B：，不相等 C： 的整数为 ，正确 D： 的实数无穷多，不等于 故选 C． 【变式5-3】用列举法表示下列集合：(1)；(2)． 【解析】(1)满足 且 的整数为 ，故 ； (2)由 得 或 ，故 ． 【题型6 集合的描述法表示】 【例6】用描述法表示下列集合：(1)；(2)负数集；(3)． 【解析】(1)； (2)负数集； (3)． 【变式6-1】用描述法表示下列集合：(1)；(2)偶数集；(3)正有理数集． 【解析】(1)； (2)偶数集； (3)正有理数集． 【变式6-2】下列集合的表示中，正确的是（　　） A．偶数集用列举法表示为 B． C． D． 【解析】判定依据：注意 含 0，偶次方程有两解． A：偶数无穷多，不能用列举法完整表示 B： 即 ，用区间表示为 C：应为 ，多写了 5 又漏了 0 D： 得 ，集合为 故选 B． 【变式6-3】用描述法表示下列集合：(1)；(2)被 除余 的正整数组成的集合 ． 【解析】(1)元素均为不超过 的正偶数，故 ； (2)被 除余 的正整数可写为 （），故 ． 【题型7 集合的分类与集合与方程的综合应用】 【例7】下列集合中，不属于数集的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：数集的元素必须都是数． A：正有理数都是数，属于数集 B： 的解为 ，属于数集 C： 由数构成，属于数集 D：元素是本班同学，不是数，不属于数集 故选 D． 【变式7-1】设，则用列举法表示为______，用描述法表示为______． 【解析】由得或，故． 用列举法表示为，用描述法表示为． 【变式7-2】已知集合，若中恰有一个元素，则______． 【解析】∵集合中恰有一个元素，∴方程的判别式．∴． 【变式7-3】已知集合，若中有两个元素，则实数的取值范围是______． 【解析】∵集合中有两个元素，∴方程有两个不相等的实数根． ∴判别式，即．∴实数的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：集合的含义与元素的三特性、元素与集合的关系（与）、集合的列举法与描述法、集合的分类； ▲难点：确定性与互异性的准确判断、与、与的区别、描述法中条件与限定的不全、无限集的分类． 目录 专题1.1 集合的概念（期中复习讲义） 1 知识点1 集合的含义与元素特性 1 【题型1 元素能否构成集合的判断】 2 【题型2 集合中元素特性的应用】 3 知识点2 元素与集合的关系 4 【题型3 元素与集合的关系的判断】 5 【题型4 常用数集及其表示】 6 知识点3 集合的表示方法与分类 7 【题型5 集合的列举法表示】 8 【题型6 集合的描述法表示】 9 【题型7 集合的分类与集合与方程的综合应用】 10 考点1 集合的含义与元素特性 知识点1 集合的含义与元素特性 【重难点】★重点：元素、集合的概念，集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）； ▲难点：确定性的准确理解（元素必须能判定"在"或"不在"）、互异性造成的集合元素去重、无序性带来的书写顺序不唯一． 1．元素与集合　我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母，，等表示；把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母，，等表示． 2．确定性　给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的． 3．互异性　一个给定集合中的元素是互不相同的，集合中的元素不重复出现． 4．无序性　给定集合中的元素不分先后，没有顺序． 【题型1 元素能否构成集合的判断】 【例1】下列各对象能组成集合的是（　　） A．与非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校本学期全体高一学生 【变式1-1】下列各对象能组成集合的是（　　） A．本班身高比较高的同学 B．本班参加数学竞赛的同学 C．全体很大的自然数 D．本班学习勤奋的同学 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．全体很大的自然数构成集合 B．全体好看的实数构成集合 C．全体不超过的实数构成集合 D．全体身高比较高的同学构成集合 【变式1-3】下列各对象能组成集合的是（　　） 方程 的实数解 我国著名的数学家 所有接近 的数 我们班个子较高的同学 【题型2 集合中元素特性的应用】 【例2】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．集合与集合的元素个数不同 C．集合与集合相等 D．若，则 【变式2-1】下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．集合与集合不是同一个集合 C．若且，则 D．集合中有个元素 【变式2-2】已知集合，则实数的取值范围是______． 考点2 元素与集合的关系 【变式2-3】已知集合 ，且 ，求实数 的值． 知识点2 元素与集合的关系 【重难点】★重点：元素与集合的关系只有"属于"与"不属于"两种，用、表示； ▲难点：区分元素与集合的表示符号（集合用大写、元素用小写），与的含义不同，与不能混用． 1．关系符号　若是集合的元素，记作；若不是集合的元素，记作． 2．关系唯一性　元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立． 3．常见数集　非负整数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集． 【题型3 元素与集合的关系的判断】 【例3】已知集合，则，；．试判断：______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）． 【变式3-1】已知集合，则______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）． 【变式3-2】已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，则中元素的个数是______． 【题型4 常用数集及其表示】 【例4】下列说法中正确的是（　　） A．非负整数集不含 B．正整数集含 C．整数集不包含所有正整数 D．有理数集是实数集的真子集 【变式4-1】下列集合中，元素个数为的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】下列命题中错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合，则是（　　） A．有限集 B．无限集 C．空集 D．含的集合 考点3 集合的表示方法与分类 知识点3 集合的表示方法与分类 【重难点】★重点：集合的列举法与描述法，描述法中的规范写法，集合的分类（有限集与无限集、数集与非数集）； ▲难点：描述法中"属于什么集合"的限定不能遗漏、列举法元素的去重与化简、无限集的分类判断． 1．列举法　把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号""括起来表示集合的方法． 2．描述法　设是一个集合，把中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，也写作． 3．集合的分类　按元素个数分为有限集与无限集；按元素性质分为数集与非数集． 【题型5 集合的列举法表示】 【例5】用列举法表示下列集合：(1)；(2)；(3)． 【变式5-1】用列举法表示下列集合：(1)；(2)． 【变式5-2】下列各集合的表示方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】用列举法表示下列集合：(1)；(2)． 【题型6 集合的描述法表示】 【例6】用描述法表示下列集合：(1)；(2)负数集；(3)． 【变式6-1】用描述法表示下列集合：(1)；(2)偶数集；(3)正有理数集． 【变式6-2】下列集合的表示中，正确的是（　　） A．偶数集用列举法表示为 B． C． D． 【变式6-3】用描述法表示下列集合：(1)；(2)被 除余 的正整数组成的集合 ． 【题型7 集合的分类与集合与方程的综合应用】 【例7】下列集合中，不属于数集的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】设，则用列举法表示为______，用描述法表示为______． 【变式7-2】已知集合，若中恰有一个元素，则______． 【变式7-3】已知集合，若中有两个元素，则实数的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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