专题06 函数的概念及其表示期中复习讲义【知识清单+10大考点+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题06 函数的概念及其表示 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 知识点6：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 知识点7：求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点8：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一 求具体函数的定义域 考点二 求抽象函数的定义域 考点三 利用定义域范围求参数 考点四 待定系数法与解方程组法求解析式 考点五 配凑法与换元法求解析式 考点六 抽象函数求解析式 考点七 分离常数法与换元法求值域 考点八 判别式法求值域 考点九 分段函数求值及其求参 考点十 分段函数的性质及应用 考点一 求具体函数的定义域 1．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B．，或 C． D．，或，或 【答案】D 【详解】要使函数有意义当且仅当，解得或或， 即函数的定义域为，或，或． 2．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用负数不能开平方及分母不能等于0，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】解：函数， 则， 解得且， 则函数的定义域为. 3．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）函数的定义域为_______． 【答案】 【详解】由题可得，解得或， 所以函数的定义域为. 4．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的定义域是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ① 零次幂的底数不为零：，解得； ② 偶次根式的被开方数大于0，同时分母不为0：，解得， 可得且，即函数定义域为或. 考点二 求抽象函数的定义域 5．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域___________． 【答案】 【详解】对于函数，由，则， 所以函数的定义域为， 对于，由，则， 所以的定义域为． 6．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域为__________． 【答案】 【详解】由函数的定义域是，可得 可知满足, ，解得 则的定义域为. 7．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 8．（26-27高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】先求出抽象函数的定义域，进而得，解出即可. 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足， 所以的定义域为. 考点三 利用定义域范围求参数 9．（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·期中）（多选）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得. 【详解】若函数的定义域是，则恒成立， 当时，恒成立； 当时，则，解得. 综上，函数的定义域是的充要条件为， 所以函数的定义域是的充分不必要条件为的真子集. 结合选项可知，选项AB符合题意. 故选：AB 11．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 12．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得在R上恒成立，考虑，与两种情况，结合根的判别式进行求解. 【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立， 当时，满足要求， 当时，要满足，解得：， 综上：. 故选：B 考点四 待定系数法与解方程组法求解析式 13．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设一次函数，已知 ，解得：，， 所以. A正确，把代入解析式，得，B正确，把代入解析式，得，C正确，，D错误. 14．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得； （2）根据给定条件，利用方程法求解即得． 【详解】（1）由是二次函数，设，由，得， 由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以的解析式为． （2）由，得， 用替换，得， 由，得， 所以的解析式为，． 15．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出二次函数一般式，代入展开合并，再利用多项式恒等对应系数相等列方程组即可求解. 【详解】由题意，设， 则， ， 则， 又，则，解得， 所以． 16．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数满足，则________. 【答案】 【分析】先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. 【详解】由①，可得②， 联立①②，解得，所以. 考点五 配凑法与换元法求解析式 17．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则解析式为______． 【答案】 【分析】采用换元法，设，用表示代入原式化简，再换回，求出解析式即可. 【详解】由题意得， 令，则， 可得，所以． 18．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数满足，则函数的解析式为__________. 【答案】 【详解】令，得，代入，得， 即的解析式为. 19．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式对右侧表达式变形，凑出的整体形式，换元得到，再代入得． 【详解】因为， 则， 所以． 20．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 考点六 抽象函数求解析式 21．（26-27高一上·全国·期中）设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可. 【详解】由，取，得， 令，此时， 且，，符合题意， 所以满足条件的一个函数表达式为. 故答案为： 23．（26-27高一上·全国·期中）设是定义在上的函数，满足，且对任意的正整数，都有，求的解析式． 【答案】，． 【分析】不妨令，，则有，分别令，，…，，然后通过累加法求得函数解析式． 【详解】由，，， 不妨令，，则有， 又，故①． 分别令①式中的，，…，， 得，，…，， 将上述各式相加得， 则，     所以，． 24．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 【答案】C 【分析】将条件变形为 ，令 ，把抽象函数问题转化为求 . 【详解】令 ，则 . 由 得 . 对正整数 ，由 逐次递推，得 . 所以 ，从而 . 考点七 分离常数法与换元法求值域 25．（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的开口和对称轴，结合函数单调性和定义域，即可求得值域. （2）首先对进行拆分，得到，然后利用，先求得的值域，最终求得的值域. 【详解】（1）由函数表达式：得：二次函数开口向上，对称轴为：； 定义域为：，在定义域内，所以时，取得最小值为； 又因为，根据函数的对称性可知，时，取得最大值为； 综上所述：函数在上的值域为. （2），定义域为：； 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上所述：在上的值域为. 26．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用一次函数代入计算求解即可； （2）利用二次函数的单调性求解即可； （3）利用换元法结合二次函数的单调性求解即可； （4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可； 【详解】（1）因为，，所以值域为. （2）因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时最小值为2，所以函数的值域为. （3）因为，令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时最小值为， 所以函数的值域为. （4）的定义域是， 由于，所以， 所以值域为. 27．（26-27高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 28．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解， （2）利用换元法可得，利用单调性求解即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 故在区间单调递增，所以， 所以原函数值域为. 法二：函数定义域为， 函数与函数均在区间均单调递减， 则在区间单调递减， 当时，， 所以，即原函数值域为. （2）设，则， 所以 因为在区间，单调递减，又， 所以. 所以原函数值域为. 考点八 判别式法求值域 29．（26-27高一上·全国·期中）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 30．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 31．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 32．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 考点九 分段函数求值及其求参 33．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）设函数，则_________ 【答案】 23 【详解】因为，所以把代入得，， 因为，所以把代入得，. 34．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）函数，则_________. 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，将函数自变量依次代入进行求解即可. 【详解】已知， 由，得：， 由，得：， 由，得：. 35．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 【答案】(1)，. (2)或. 【分析】（1）直接由函数解析式求得 的值. （2）分别在、和三种情况下，求解，即可得实数 的值. 【详解】（1）， ， 所以. （2）当时，，所以（舍去）； 当时，，所以， 即，解得或.所以. 当时，，解得. 综上所述，或. 36．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域对的取值范围分类讨论，同时验证解是否符合对应区间的取值要求. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 所以或. 考点十 分段函数的性质及应用 37．（26-27高三上·山东·阶段检测）函数，则的解集为_____． 【答案】 【分析】分、两类，代入对应分段表达式写出、，分别解不等式，再合并解集. 【详解】当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 综上所述，解集为. 38．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 39．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 40．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，根据图象分析求解. 【详解】由，作出其图象如下图， 令，得和； 令，得，，； 令，得，，； 令，得，，； 当时，满足有9个整数解； 当时，满足有8个整数解； 当时，满足有7个整数解； 所以恰有8个整数解的的取值范围为. 故选：C.    1．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域求法，通过已知定义域求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得， 所以函数的定义域为． 2．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】A选项：，和的对应关系不同，所以不是同一函数. B选项：的定义域是R，的定义域是，定义域不同， 所以不是同一函数. C选项：有意义当且仅当，即定义域是， 有意义当且仅当或， 即定义域是，定义域不同，所以不是同一函数. D选项：的定义域是， 的定义域是，定义域和对应关系皆相同，是同一函数. 3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 4．（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把“定义域为”的充要条件求出来（按 的正负、零点分类），再利用集合关系求解即可． 【详解】要使函数定义域为，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 的定义域是的充要条件是 ，即 ． .取值范围相同，是充要条件； B.没有交集，既不充分也不必要条件; D.没有交集，既不充分也不必要条件； C.真包含， ，当时，推不出，充分性不成立， 能推出，必要性成立， 故是 的定义域是的必要不充分条件. 5．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】由分段函数得，，. 6．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．5 B．8 C．15 D．17 【答案】C 【详解】令，得，即， . 7．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 【答案】C 【分析】对于AB，由赋值法结合题意可判断选项正误；对于C，由方程组法可得解析式，据此可判断选项正误；对于D，由换元法可得解析式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，由题可得，又， 则，则，故C正确； 对于D，因，则， 从而，则，故D错误. 8．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两函数的关系化简分段函数式，求出的解析式，代入目标不等式，求解即得. 【详解】因，， 当时，； 当时，， 即当时，都有， 则等价于，解得. 所以不等式的解集为. 9．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 10．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【详解】选项A：的定义域为； 由根式乘法法则化简得，的定义域也为，定义域、对应法则均相同，是同一个函数，A正确. 选项B：函数定义域为，说明对任意恒成立. 当时，原式化为，恒成立，符合条件； 当时，需判别式，解得； 当时，二次函数开口向下，不可能恒非负. 综上的取值范围是，选项漏掉了，B错误. 选项C：由，得，因此， 函数的值域为，而非，C错误. 选项D：已知①， 将替换为，得 ②. ①②，消去：， ，解得，D正确. 11．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为， 故AB正确，CD错误. 12．（26-27高一上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【详解】函数的定义域为，则满足，故， 分母，解得， 故的定义域为． 13．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数．则的值为________． 【答案】 【分析】按照由内到外的顺序，根据分段函数各段的定义域范围选择对应解析式逐步计算即可. 【详解】已知函数，则，所以. 14．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】利用取整函数性质，把，整体当作，转化为普通绝对值不等式求解. 【详解】设得，，因为表示不超过的最大整数，所以， 故，得，得，得， 故原不等式的解集为. 15．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 【答案】（1）.（2），. （3）. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接代入计算即可； （2）令，利用换元法即可求解； （3）设，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】（1），故. （2）令，则，， 因为，所以， 所以，. （3）设所求二次函数为， 因为，所以，则， 又， 所以，即， 所以，即， 所以. 16．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测） (1)求； (2)若，求的值 (3)若其图像与有三个交点，求b的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或4 (3) 【分析】（1）直接利用分段函数解析式求值即可； （2）分类讨论解方程即可； （3）数形结合计算即可. 【详解】（1）由题意易知，所以； （2）若，则，符合题意， 若，则，即，解得，亦满足题意， 综上所述或4； （3）易知， 如图所示，作出的大致图像，若要满足题意需. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的概念及其表示 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 知识点6：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 知识点7：求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点8：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一 求具体函数的定义域 考点二 求抽象函数的定义域 考点三 利用定义域范围求参数 考点四 待定系数法与解方程组法求解析式 考点五 配凑法与换元法求解析式 考点六 抽象函数求解析式 考点七 分离常数法与换元法求值域 考点八 判别式法求值域 考点九 分段函数求值及其求参 考点十 分段函数的性质及应用 考点一 求具体函数的定义域 1．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B．，或 C． D．，或，或 2．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）函数的定义域为_______． 4．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的定义域是（     ） A． B． C．或 D．或 考点二 求抽象函数的定义域 5．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域___________． 6．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域为__________． 7．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 考点三 利用定义域范围求参数 9．（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·期中）（多选）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 待定系数法与解方程组法求解析式 13．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 15．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 16．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数满足，则________. 考点五 配凑法与换元法求解析式 17．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则解析式为______． 18．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数满足，则函数的解析式为__________. 19．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 20．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 考点六 抽象函数求解析式 21．（26-27高一上·全国·期中）设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 23．（26-27高一上·全国·期中）设是定义在上的函数，满足，且对任意的正整数，都有，求的解析式． 24．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 考点七 分离常数法与换元法求值域 25．（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 26．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)． 27．（26-27高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 28．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2). 考点八 判别式法求值域 29．（26-27高一上·全国·期中）求函数的最大值、最小值. 30．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 31．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 32．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 考点九 分段函数求值及其求参 33．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）设函数，则_________ 34．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）函数，则_________. 35．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 36．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 考点十 分段函数的性质及应用 37．（26-27高三上·山东·阶段检测）函数，则的解集为_____． 38．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D．5 6．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．5 B．8 C．15 D．17 7．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 8．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 11．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（     ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为______ 13．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数．则的值为________． 14．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 15．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 16．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测） (1)求； (2)若，求的值 (3)若其图像与有三个交点，求b的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $