期中复习专题08 函数奇偶性【知识清单+10大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题08 函数奇偶性 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 知识点2：函数奇偶性的判断 1．定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2．图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3．性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点3：奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点4：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 考点一 判断函数奇偶性 考点二 利用奇偶性求解析式 考点三 利用奇偶性求值 考点四 函数图像的识别 考点五 利用函数性质画出具体函数图象 考点六 利用奇偶性求参数 考点七 利用奇偶性解不等式 考点八 求抽象函数的奇偶性 考点九 函数奇偶性的应用 考点十 奇偶函数对称性的应用 考点一 判断函数奇偶性 1．（25-26高三上·江西·期中）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2) . 2．（25-26高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性. (1);(2); (3);(4). 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 4．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 考点二 利用奇偶性求解析式 5．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 7．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 考点三 利用奇偶性求值 9．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． 10．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则___________，当时，___________. 11．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数定义域为，当时，，则______；当时，______． 12．（25-26高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则______，当时______． 考点四 函数图像的识别 13．（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   15．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的图象关于原点对称的图象大致是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，则其图象为（    ）. A． B． C． D． 考点五 利用函数性质画出具体函数图象 17．（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 19．（25-26高三上·广东佛山·期中）作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 20．（25-26高一·全国·假期作业）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）； （2）． 考点六 利用奇偶性求参数 21．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在区间上的奇函数，且 ，则_________. 22．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 23．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 考点七 利用奇偶性解不等式 25．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是__________. 26．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．（26-27高一上·全国·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 28．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，，则满足不等式的的取值范围为_________ 考点八 求抽象函数的奇偶性 29．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 30．（25-26高一上·辽宁大连·期末）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 31．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 32．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 考点九 函数奇偶性的应用 33．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）(1)若函数是偶函数，定义域为，则________，________； (2)已知，若，则________. 35．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点十 奇偶函数对称性的应用 37．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 40．（25-26高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．（25-26高一上·广西·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南·期中）已知为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 8．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 9．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 11．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 12．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. 13．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则____ 14．（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 15．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 16．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求与的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数奇偶性 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 知识点2：函数奇偶性的判断 1．定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2．图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3．性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点3：奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点4：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 考点一 判断函数奇偶性 考点二 利用奇偶性求解析式 考点三 利用奇偶性求值 考点四 函数图像的识别 考点五 利用函数性质画出具体函数图象 考点六 利用奇偶性求参数 考点七 利用奇偶性解不等式 考点八 求抽象函数的奇偶性 考点九 函数奇偶性的应用 考点十 奇偶函数对称性的应用 考点一 判断函数奇偶性 1．（25-26高三上·江西·期中）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2) . 【答案】(1)奇函数 (2)奇函数 【分析】（1）先求出函数的定义域，再判断与的关系即可得解； （2）分和两种情况分别判断与的关系即可得解. 【详解】（1）由，可得且， 所以函数的定义域为且， 所以， 因为， 所以函数的奇函数； （2）当时，， 则， 当时，， 则， 综上所述，， 所以函数的奇函数. 2．（25-26高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性. (1);(2); (3);(4). 【答案】(1)既是奇函数也是偶函数.(2)偶函数.(3)奇函数(4)非奇非偶函数. 【解析】（1）求出函数的定义域为，然后利用定义进行判断即可. （2）首先求出定义域为R, 然后利用定义进行判断即可，也可利用图像的特征进行判断. （3）首先求出函数定义域为,关于原点对称,将函数化为，然后利用定义进行判断. （4）首先求出函数的定义域为,定义域不关于原点对称，直接判断为非奇非偶函数. 【详解】解:(1)的定义域为,关于原点对称,. ∴,且. ∴函数既是奇函数也是偶函数. (2)方法一(定义法)的定义域为R,关于原点对称. ∵, 函数是偶函数. 方法二(图像法)函数的定义域为R, 画图像如图所示. ∵图像关于y轴对称,∴函数是偶函数. (3)∵的定义域为,关于原点对称, ∴. ∵,∴函数是奇函数. (4)由题意,得解得,即的定义域为, ∵的定义域不关于原点对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性，在判断时需首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，可直接判断函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断，此题属于基础题. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)是偶函数 (2)是奇函数 【分析】（1）（2）利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】（1）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，， 则， 当时，， 则， 综上，对于任意，都有， 所以是偶函数. （2）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，满足， 综上所述，对于任意，都有， 所以为奇函数. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 考点二 利用奇偶性求解析式 5．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以当时，. 7．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 8．（25-26高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 考点三 利用奇偶性求值 9．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 10．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则___________，当时，___________. 【答案】 7 【分析】设，则，代入的解析式， 由函数的奇偶性即可求解函数解析式，计算. 【详解】设，则， 由时，， 所以， 又函数为偶函数，即， 所以. 所以. 故答案为： 11．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数定义域为，当时，，则______；当时，______． 【答案】 【分析】先结合奇函数性质，利用已知函数解析式求得，再通过奇函数的定义，求解时的函数表达式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 当时，，则. 故答案为：，. 12．（25-26高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则______，当时______． 【答案】 12 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由已知， 时，， 故答案为：12；． 考点四 函数图像的识别 13．（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，，排除AD；利用，函数单调递减，排除B得解. 【详解】由，当时，，排除AD； 当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，排除B. 故选：C. 14．（25-26高一上·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分，，研究函数的符号及性质，利用排除法可得结果. 【详解】当时，函数； 当时，函数， 将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数的图象， 排除AB； 当时，函数， 则函数在单调递增，排除D. 故选：C． 15．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的图象关于原点对称的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性、单调性确定正确答案. 【详解】设，则函数的图象关于原点对称得到， 即， 当时，单调递减，所以BCD选项错误，A选项正确. 故选：A 16．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，则其图象为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的取值将函数化简，可求得结果. 【详解】根据题意可得，为分段函数， 根据化简后的结果可得当时，有和两个结果， 所以函数的图象为选项C中的图象， 故选：C. 考点五 利用函数性质画出具体函数图象 17．（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【答案】 【分析】先画出，再将轴下方的部分翻折到轴上方即可得到函数的图象. 【详解】的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如图所示. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析. 【分析】（1）将函数化为，利用幂函数的图像，由平移即可作出图像，结合图像即可求出单调性、值域； （2）将函数化为，根据二次函数的图像作法，即可作出图像，结合图像，即可求出单调性、值域； （3）将函数化为，利用幂函数的图像，通过图像的翻折变化即可作出图像，结合图像即可求出单调性、值域； （4）将函数化为，根据二次函数的图像作法，通过图像的翻折变化即可作出图像，结合图像即可求出单调性、值域； （5）由，描点即可作出大致图像，结合图像即可求出单调性、值域． 【详解】（1），图象如图所示： 函数在和为减函数，因为，所以，故值域为：； （2），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； （3），图象如图所示： 函数在和为增函数，在为减函数， 值域为：. （4），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：； （5）， 函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：. 19．（25-26高三上·广东佛山·期中）作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）图象如图所示：    函数在和为减函数， 值域为：； （2）图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； （3）图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； 【分析】（1）将函数转化为，利用反比例函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （2）将函数转化为，利用二次函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （3）将函数转化为，利用二次函数的性质结合翻折变换作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； 【详解】（1），图象如图所示：    函数在和为减函数， 因为，所以，故值域为：； （2），图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； （3），图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：； 20．（25-26高一·全国·假期作业）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）； （2）． 【答案】（1）作图见解析，减区间：和，值域：；（2）作图见解析，减区间：和，增区间：和，值域：． 【分析】分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间和值域． 【详解】（1），图象如图所示： 函数在和为减函数. 因为，所以，故值域为：； （2），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； 【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题. 考点六 利用奇偶性求参数 21．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在区间上的奇函数，且 ，则_________. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及可求出的值，再结合函数的周期性求解即可. 【详解】因为函数是定义在区间上的奇函数， 则区间关于原点对称，所以，即， 因为，解得，所以， 因为，所以. 22．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域必须关于原点对称， 令分母，解得函数的间断点为和 ， 由于必然不在定义域内，根据定义域关于原点对称的要求，它的相反数也必然不在定义域内， 所以方程的解为，所以. （验证充分性）：当时，, 此时定义域为，关于原点对称, 且，满足奇函数定义,所以成立. 23．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 24．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 考点七 利用奇偶性解不等式 25．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，等价于， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，则，即，解得， 所以不等式的解集是. 26．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性判断函数在不同区间的正负性，再分类讨论不等式的解集即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 27．（26-27高一上·全国·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1） 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ， 又 ，所以 ， 所以的解析式为，. （2） 设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ， 故原不等式的解集为 . 28．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，，则满足不等式的的取值范围为_________ 【答案】 【分析】构造新的函数，利用新函数的单调性进行求解. 【详解】令，定义域为，且，所以是奇函数， 由题可得，所以在单调递减，结合奇函数的性质可知在上单调递减. 当时，，即：， 又因为在上单调递减，所以，解得：； 当时，，即：， 又因为在上单调递减，所以，解得：； 综上所述，的取值范围为. 考点八 求抽象函数的奇偶性 29．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】令，求得，可判定A错误；令，得到，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取，令，结合函数单调性的定义，可判定C正确；取函数，结合不能恒成立，可判定D错误. 【详解】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 30．（25-26高一上·辽宁大连·期末）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 【答案】ACD 【分析】对于A，令可解得，即可判断；对于B，令，结合，即可判断；对于C，令，结合，即可判断；对于D，注意到，即可判断. 【详解】对于A：令，得， 即，得，故A错误； 对于B：令，得，又由前分析可知，， 故有，得， 又因为函数的定义域为，因此为偶函数，故B正确； 对于C：令，得，又由前分析可知，， 故有，得，故C错误； 对于D：由题可知，由前分析可知， 因为，而，故不可能为增函数，故D错误. 故选：ACD. 31．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 32．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明： 令得，令，得， 所以函数是奇函数． (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 考点九 函数奇偶性的应用 33．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）(1)若函数是偶函数，定义域为，则________，________； (2)已知，若，则________. 【答案】 0 7 【分析】（1）根据偶函数定义域关于原点对称可解得，再利用偶函数定义可得； （2）易知为奇函数，利用奇函数性质即可计算得出. 【详解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 又函数为二次函数， 结合偶函数定义由，易得； (2)令，则是奇函数， 又，可得， 所以. 又，可得. 故答案为：，0，7 35．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用题设条件得到函数的解析式，进而可得在上单调递增，再结合函数是偶函数，可得不等式等价于，由此即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数，所以，， 即，， 所以，所以，，所以， 又，所以，解得，所以， 当时，单调递减，故在上单调递增， 所以由可得， 故只需，所以，即，解得或， 因此实数的取值范围为． 36．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用代入法，结合奇函数和偶函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由，所以本选项关系式一定成立； 对于选项B：由， 由， ，得，本选项关系式一定成立； 对于选项C：因为是定义域为的奇函数，所以， 而，故本选项关系式不成立； 对于选项D：，则，即. ，， ，即， 为偶函数，， ，， 所以，所以本选项关系式一定成立. 考点十 奇偶函数对称性的应用 37．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 38．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换逐项判断. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 令，其定义域为， 则，故函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， 对于A，函数的图象可在函数的图象上向右平移1个单位，则关于对称，故A正确； 对于B，函数的图象可在函数的图象上向左平移1个单位，则关于对称，故B错误； 对于C，函数的图象可在函数的图象上向上平移1个单位，则关于轴对称，故C错误； 对于D，函数的图象可在函数的图象上向下平移1个单位，则关于轴对称，故D错误. 故选：A. 39．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 40．（25-26高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. (3)，. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）略 （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. 1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分区间讨论求解不等式即可. 【详解】当时：此时，已知， 原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得； 当时：因为是上的偶函数，故； 又，代入已知解析式得， 此时，原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得， 综上，不等式的解集为. 2．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，结合时的解析式，求解时的解析式． 【详解】当时，，满足当时，， ， 为上的奇函数， ， ， 当时，的解析式为，故B正确． 故选：B． 3．（25-26高一上·广西·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质求得时，，从而得到的解析式，再判断其单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】函数是上的奇函数，当时， 当时，，则， 函数， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增， 在区间上单调递增， 由，即，可得. 故选：B 4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，写出的解析式，由是偶函数可得，化简即可求解参数. 【详解】由已知，， 函数为偶函数，所以，所以， 整理得：，所以. 5．（25-26高一上·湖南·期中）已知为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由奇函数的性质判断出，再由数轴穿根法解不等式可得. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，所以， 所以， ， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．（26-27高一上·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解. 【详解】由题意知在上单调递减，且， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，的区间为，的区间为， 由得同号， 则或，解得或， 所以的解集为. 7．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 8．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义求出，利用已知条件结合求出，利用奇函数的定义求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，， 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以． 9．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故D正确． 10．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，，得，所以， 令可得，所以，故B正确； 对于C，令，由得， 又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确； 对于D，令，，得，所以，所以D错误. 11．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】对于A，B选项：赋值运算求解即可；对于C：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于D：根据题意结合单调性的定义分析判断. 【详解】因为定义在上的函数 满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B，令，可得，即，故B正确； 对于选项C：令，可得， 整理可得， 对于，可得，且定义域为， 所以是奇函数，故C不正确； 对于选项D：令，可得， 即， 不妨设，则，可得，， 则，即， 所以在上单调递增，故D正确； 12．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. 【答案】 【分析】先根据偶函数的对称性确定在上的单调性和，再将乘积不等式拆分为两个同号的不等式组分类求解. 【详解】 因为是偶函数，在上单调递减，根据偶函数的性质，在上单调递增，且. 不等式等价于两个因式同号，分两种情况讨论： 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 13．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则____ 【答案】 【详解】因为是奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 14．（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 【答案】6 【分析】先利用已知条件推导函数周期，再利用函数奇偶性结合已知条件，求出，进而利用周期性求解． 【详解】 ，， 即函数的周期为， 是偶函数， ， 令，则， ． 15．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 16．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求与的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明如下： 由（1）知， 任取，且，即， 则 ， ，，，则，， 因此，函数在区间上单调递增； (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再由可求得； （2）根据单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号，即可得证； （3）根据不等式的恒（能）成立问题，将问题转化为，结合对应的闭区间求最值即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，即，得， 则， 又，解得. （2）略； （3）由题意可知． 由（2）知，函数是上的增函数，． ，函数在区间上单调递增，． ，解得，所以． 因此，正实数的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $