第8讲 一元二次不等式期中复习 培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第8讲 一元二次不等式 一、知识讲解 1、不等式恒成立、能成立问题 对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 2、一元二次、分式、绝对值不等式 （1）解分式不等式 ① ② ③ （2）解绝对值不等式【口诀：小于，取中间；大于，取两边】 ①， 或 ②； ③和型不等式的解法 利用零点分段法、数形结合法、分类讨论的思想求解 （3）解一元二次不等式，“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 二、必过题型 【题型一 根与零点的分布、韦达定理】 1.（25-26浙江强基）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【详解】方程，解得， 依题意，，解得，所以a的取值范围为. 2.（25-26高一上·河南）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C. 3.（25-26高一下·黑龙江）已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为__________． 【解答过程】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得，故的取值范围为. 4.（ 2026高一·全国）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）.则.故选：A 5．（ 2026高一·全国）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【详解】令，因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得．故选：C． 6.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知；所以由题意知， 即 ，解得.故选：B. 7.（25-26高一上·湖南）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若关于x的方程有两个不等的正实数根与，求a的取值范围和的取值范围. 【详解】（1）当时，不等式为，解得或， 所以不等式的解集为或； （2）因为关于x的方程有两个不等的正实数根与，所以，解得， 所以a的取值范围为因为，因为，所以， 所以，所以的取值范围为. 8.（多选）（2026·河南开封）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取最小值4，B错； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此，即是不等式的一个解，D正确.【答案】ACD 9．（25-26高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【详解】因关于的方程有两个相等的正根，所以，所以.， 当且仅当时取等号，所以有最大值.故选：B. 【题型二 解不含参数的不等式】 1.（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为.故选：A. 2．（15分）（25-26高一上·四川成都）解下列不等式 (1)；(2)；(3). 【解答过程】（1）将不等式化简为，解得或 （2）将不等式化简为， 因为，该不等式无实数解，即解集为； （3），即，通分可得， 则，解得 3．（25-26高一上·全国）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【详解】原不等式可化为，解得，则，故解集为．故选：A. 4．（25-26高一上·全国）解下列不等式：． 【详解】因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即，又因为恒成立， 所以不等式的解集为．综上，不等式的解集为． 5．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 【解答过程】由，得，所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 6.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 7.（25-26高一下·上海）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【详解】不等式，移项得，解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 8.（25-26高二下·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或，所以或；解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或，所以“”是“”的充不必条件． 9.（2026·广西）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为.故选：B. 10.(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． 【详解】不等式表示或，解得或， 11.（2026高三·全国）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或.故选：D 12.解关于x的不等式：； 【详解】原不等式等价于，解得， 13.（25-26高三上·江苏）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，.故选：C. 14.（25-26高一上·上海）不等式的解集是__________ 【详解】由题意可知，将不等式两边同时平方可得， 整理可得，即.解得.所以原不等式的解集为. 15.（2026高三·全国）解下列不等式：. 【详解】原不等式等价于 由①得，或，所以或.由②得，所以. 所以原不等式的解集为. 16.（25-26高二下·安徽合肥）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【详解】解不等式，得，所以. 解不等式得，所以.所以，所以中的元素个数为3. 17.（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1)；(2) 【详解】（1）由，得，解得，所以不等式的解集为． （2）将不等式，化简为，即，解得或 【题型三 解含参数的不等式】 1.（25-26高一上·广东）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 2.（多选）（25-26高一上·贵州）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确；故选：ACD. 3.（25-26高一上·浙江杭州）关于x方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，不合题意； ∴，令，有，，要使在内恰有一个零点， ∴即可，则，故选：B 4.（25-26高一上·天津河东）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【解答过程】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确．故选：D. 5.（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故不等式的解集可能为D； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为B； 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为C； 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A.故选：A. 6．（多选）（25-26高一上·广东·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【详解】关于的不等式的解集为或，，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根，由根与系数的关系得， 则，，不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即，解得或， 故不等式的解集为或，D正确.故选：BD. 7．（25-26高一上·湖南永州）设为实数，则关于x 的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C． D． 【详解】对于A，当，原不等式可化为，不符合题意；故A错误； 对于B，当时，原不等式可化为，解得， 当，原不等式可化为，解得或，故B正确； 对于C、D，当，原不等式可化为， 若，则 ，解得，故D正确；若，则 ，此时不存在； 若，则，解得，故C正确；故选：BCD. 8．（25-26高一上·天津东丽）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意知，，即.因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根，有，解得, 此时不等式为，符合题意，所以； （2）由（1）知，，则不等式可变形为， 若，则，解得，此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 9．（多选）（25-26高一上·全国）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为，即，即， 解得（舍去）或，所以，故D正确；故选：ABD. 10.（25-26高一上·河北）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解答过程】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或.故选：B. 11.（25-26高一·全国）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或．故选：C. 12．（多选）（25-26高一上·贵州）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【解答过程】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对.选AD. 13．（多选）（25-26浙江）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【解答过程】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对.故选：BD. 14．（多选）（25-26海南）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 【解答过程】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，，对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误，故选：AB. 15.（25-26高一上·广东肇庆）解关于的不等式：． 【详解】由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【详解】由题中条件可知，是方程的两个根， 则，,所以， 又，令，可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，则的最小值为．故选：C 【题型四 恒成立】 1．（25-26高一上·广东）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得 2.（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为不等式对恒成立，所以，解得．故选：C． 3.（25-26安徽芜湖）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得，令，则， 可得，因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立，可得，所以实数k的最大值为9.故选：B. 4.（25-26高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或，又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即.故选：D 5.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 6.（25-26高一下·云南）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9.因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得.所以. 7.（多选）（25-26高一上·广东）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.  综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.故选：ACD. 8.（25-26高三上·河南），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【详解】，恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为.故选：C 9.（25-26高一上·贵州）已知且，若恒成立，则的最大值为 ． 【详解】因为且，所以， ， 当且仅当，即时取等号，因为恒成立，所以， 所以的最大值为.故答案为：. 10．（25-26高一上·天津）已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 【解答过程】因为，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，所以，解得，因此实数的最大值为. 11.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为2 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【详解】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，，与集合元素互异性矛盾，时，，符合题意，所以，A错； 对于B，设，则在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B错误； 对于C，不等式，等价于，解得或，故C正确； 对于D，一元二次不等式恒成立，即， 解得：，故D错误．故选：ABD． 12.（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【详解】对于A，时，不等式为，化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确.故选：ACD. 13.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知集合． (1)若，求．(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以． （2）解：由（１）知．因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合A是集合B的真子集， 当时，，此时集合A不是集合B的真子集，不符合题意； 当时，，此时集合A不是集合B的真子集，不符合题意； 当时，，又集合A是集合B的真子集，所以． 14.（25-26高一上·湖北）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 【答案】(1)因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即，所以，且，即为定值 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 15.（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：，所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即，当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. （3）因为，所以，因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以，则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即 16．（25-26高一下·河北）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需，解得：； 综上所述：的取值范围为.故选：C. 【题型五 能成立、有解】 1.（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【解答过程】由时，有解，所以， 又在上单调递减，在上单调递增，且时，，时， 所以．故选：C． 2.（25-26高一上·天津期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【解答过程】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确.故选：C. 3.（25-26高一上·福建）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立，令，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是.故选：B. 4.（25-26高二上·山东）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【解答过程】因为正实数，满足，所以，所以 ，当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解，所以只需，即即可， 所以或.故选：D. 5.（2026高一·全国）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【详解】当时，显然，使得；当时，，解得，即，综上，命题为真命题的充要条件是. 6.（25-26高一下·广东珠海）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 7.（25-26高二下·黑龙江）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】原命题为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 8.（2026高一·全国）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 9．已知都是正数. (1)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. (2)若，且，求的最小值； 【详解】（1）都是正数，， 当且仅当，结合，即，时取等号， ，解得：，即的取值范围为. （2），， ， 当且仅当且，即，时取等号，的最小值为. 10．（25-26高一安徽芜湖）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】因为，可得，且，则，可得，令，则，可得， 因为，故，因此，当且仅当，即，时，等号成立，可得，所以实数k的最大值为9.故选：B. 11．（25-26高一上·黑龙江）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【详解】因为，所以.又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需，故的取值范围是， 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 一元二次不等式 一、知识讲解 1、不等式恒成立、能成立问题 对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 2、一元二次、分式、绝对值不等式 （1）解分式不等式 ① ② ③ （2）解绝对值不等式【口诀：小于，取中间；大于，取两边】 ①， 或 ②； ③和型不等式的解法 利用零点分段法、数形结合法、分类讨论的思想求解 （3）解一元二次不等式，“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 二、必过题型 【题型一 根与零点的分布、韦达定理】 1.（25-26浙江强基）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 2.（25-26高一上·河南）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·黑龙江）已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为__________． 4.（ 2026高一·全国）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（     ） A． B． C． D． 5．（ 2026高一·全国）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 6.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 7.（25-26高一上·湖南）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若关于x的方程有两个不等的正实数根与，求a的取值范围和的取值范围. 8.（多选）（2026·河南开封）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 9．（25-26高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【题型二 解不含参数的不等式】 1.（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（15分）（25-26高一上·四川成都）解下列不等式 (1)；(2)；(3). 3．（25-26高一上·全国）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高一上·全国）解下列不等式：． 5．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 6.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 7.（25-26高一下·上海）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 8.（25-26高二下·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9.（2026·广西）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 10.(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． 11.（2026高三·全国）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 12.解关于x的不等式：； 13.（25-26高三上·江苏）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高一上·上海）不等式的解集是__________ 15.（2026高三·全国）解下列不等式：. 16.（25-26高二下·安徽合肥）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 17.（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1)；(2) 【题型三 解含参数的不等式】 1.（25-26高一上·广东）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2.（多选）（25-26高一上·贵州）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·浙江杭州）关于x方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·天津河东）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5.（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·广东·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 7．（25-26高一上·湖南永州）设为实数，则关于x 的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C． D． 8．（25-26高一上·天津东丽）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 9．（多选）（25-26高一上·全国）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 10.（25-26高一上·河北）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 11.（25-26高一·全国）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 12．（多选）（25-26高一上·贵州）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 13．（多选）（25-26浙江）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 14．（多选）（25-26海南）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 15.（25-26高一上·广东肇庆）解关于的不等式：． 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【题型四 恒成立】 1．（25-26高一上·广东）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 2.（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26安徽芜湖）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4.（25-26高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 5.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 6.（25-26高一下·云南）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 7.（多选）（25-26高一上·广东）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·河南），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 9.（25-26高一上·贵州）已知且，若恒成立，则的最大值为 ． 10．（25-26高一上·天津）已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 11.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为2 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 12.（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 13.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知集合． (1)若，求．(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 14.（25-26高一上·湖北）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 15.（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 16．（25-26高一下·河北）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【题型五 能成立、有解】 1.（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2.（25-26高一上·天津期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3.（25-26高一上·福建）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·山东）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 5.（2026高一·全国）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 6.（25-26高一下·广东珠海）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 7.（25-26高二下·黑龙江）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8.（2026高一·全国）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 9．已知都是正数. (1)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. (2)若，且，求的最小值； 10．（25-26高一安徽芜湖）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（25-26高一上·黑龙江）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $