专题2.1等式性质与不等式性质 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：不等关系与不等式的表示、等式的性质、不等式的三条基本性质、利用性质与作差法比较大小的方法； ▲难点：同乘（除）负数时不等号方向的改变、去分母时含参量非零的讨论、作差法中因式分解后符号的判断． 目录 专题2.1 等式性质与不等式性质（期中复习讲义） 1 知识点1 不等关系与不等式 1 【题型1 用不等式（组）表示不等式关系】 2 知识点2 等式的性质 3 【题型2 等式性质的应用】 4 知识点3 不等式的性质 5 【题型3 利用不等式的性质判断命题真假】 6 【题型4 利用不等式的性质求范围】 7 知识点4 比较大小的方法 8 【题型5 比较实数（代数式）的大小】 9 【题型6 利用不等式的性质证明不等式与实际应用】 10 考点1 不等关系与不等式 知识点1 不等关系与不等式 【重难点】★重点：不等关系与不等式的概念，用不等式（组）表示数量关系； ▲难点：把实际情境中的数量关系准确翻译为不等式（组），注意"至多""至少""不超过"等词语对应的方向． 1．概念　用""，""，""，""表示大小关系的式子叫不等式；用不等式连接起来的式子叫不等式组． 2．常见表述　""读作"大于"；""读作"大于等于"；不等式组中各不等式必须同时成立． 3．实际应用　"不超过"对应""，"不少于"对应""，"大于"对应""；求解前须先准确建模． 【题型1 用不等式（组）表示不等式关系】 【例1】某校高一年级名学生参加课外社团，其中参加数学社的有人，参加物理社的有人，两种社团都参加的有人，则至少参加一种社团的学生人数用不等式（组）表示为______，至少参加一种社团的学生人数不超过______人． 【解析】设至少参加一种社团的学生人数为，则， 且．（用不等式组表示为） ∵由容斥原理知至少参加一种社团的学生有（人）， ∴不超过人． 【变式1-1】某班名学生中，喜欢篮球的人，喜欢足球的人，两种都喜欢的有人，则都不喜欢的学生人数用不等式（组）表示为______． 【解析】设都不喜欢的学生人数为，则，即． （用不等式组表示为） 【变式1-2】已知，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：加（减）同一数不变号，乘（除）负数要变号． A：两边同加 c，得 ，正确 B：乘负数 c 应得 ，错误 C：两边同减 c 应得 ，错误 D：同除以负数 c 应得 ，错误 故选 A． 【变式1-3】"的倍不小于"用不等式表示为______． 【解析】"的倍不小于"中"倍"即，"不小于"即， 故用不等式表示为． 考点2 等式的性质 知识点2 等式的性质 【重难点】★重点：等式的基本性质（；；（）），移项与去分母法则； ▲难点：去分母时两边同乘负数要变号、含参等式两边同除以含参数的量时的分类讨论． 1．基本性质　；；（）． 2．移项法则　；方程两边同加（减）同一个数或式，解集不变． 3．去分母法则　方程两边同乘（除）同一个非零数或式，解集不变；若乘（除）的是含参数的量，须先确定其不为零． 【题型2 等式性质的应用】 【例2】已知，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：等式两边同加、同乘（除）同一数，等式仍成立． A： 只能得 ，不是 B：两边同乘 2 得 ，正确 C：两边同除以 2 应得 ，不是 D：由 只能得 ，不能得 故选 B． 【变式2-1】解方程，并用等式的性质说明依据． 【解析】解方程．移项得 （等式两边同加再同减，等式性质），即． 【变式2-2】已知，用表示，则______． 【解析】由得，两边同乘得， 两边同乘得．∴． 【变式2-3】若，则______；若，则______． 【解析】∵，即，两边同除以 得；∵，即，两边同除以得．∴依次填，． 考点3 不等式的性质 知识点3 不等式的性质 【重难点】★重点：不等式的三条基本性质：且；；且，且； ▲难点：同乘（除）负数时不等号方向改变、乘方运算中底数的符号讨论（不成立）． 1．性质一　且（传递性）． 2．性质二　（两边同加同一个数）． 3．性质三　且；且（两边同乘同一个数，负数要变号）． 【题型3 利用不等式的性质判断命题真假】 【例3】下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【解析】判定依据：乘（除）的数的符号，决定不等号是否变向． A：c 的符号未知， 不一定成立 B： 时两边乘 c，不等号反向，得 ，正确 C：取 、，则 ，不成立 D：取 、，则 不成立 故选 B． 【变式3-1】下列命题中，假命题是（　　） A．若，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，则 【解析】判定依据：同加、同乘正数、同乘负数的不等号变化规则． A：两边同加 1， 恒成立 B： 时 恒成立 C： 时 恒成立 D： 时 ，故 是假命题，正确 故选 D． 【变式3-2】已知，则下列不等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 时同乘（除）正数，不等号不变． A：两边同加 b，得 ，成立 B：两边同除以 ，得 ，成立 C：两边平方（均为正）得 ，成立 D： 恒成立，故 一定不成立，正确 故选 D． 【变式3-3】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） 【解析】判定依据： 时乘负数要变号，可举反例验证． A：取 、，，错误 B：取 、，，错误 C：由 得 ，错误 D：，两边同乘 得 ，正确 故选 D． 【题型4 利用不等式的性质求范围】 【例4】已知，则，，．请写出所用不等式的性质． 【解析】：由，， 两边同加得，用的是不等式的加法性质； ：由，，两边同乘正数 得，用的是不等式的乘法性质；：由，两边同除以正数 得，用的是不等式的除法性质． 【变式4-1】已知，，则下列各式中一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：加（减）任意数不变号，乘（除）负数变号． A：两边同加 c， 成立 B：两边同减 c， 成立 C： 得 ，故 一定不成立，正确 D： 得 ，成立 故选 C． 【变式4-2】若，，则；若，则．试说明理由． 【解析】若，，则， 由不等式的加法性质得，即．若， 则，用的是不等式的除法性质． 【变式4-3】已知，，则；已知，，则是否一定成立？说明理由． 【解析】已知，，由不等式的传递性得，结论成立． 已知，，则不一定成立． 如取，，时且成立，但，结论不成立． 考点4 比较大小的方法 知识点4 比较大小的方法 【重难点】★重点：利用不等式性质与作差法比较大小的步骤，； ▲难点：作差法中因式分解后符号的判断、多个代数式比较大小时统一标准（如同取倒数或同取平方）． 1．作差法　比较与的大小：先求，再判断其符号；． 2．变形法　；；同正同负时比较绝对值再判断符号． 3．综合运用　作差、因式分解、配方是比较大小的常用手段；结论必须回到原式比较． 【题型5 比较实数（代数式）的大小】 【例5】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【解析】(1)比较与：由分式的基本性质得，， ∵，∴； (2)比较与：由分式的基本性质得，，∵，∴； (3)比较与：由分式的基本性质得，， ∵，∴． 【变式5-1】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【解析】(1)比较与：由分式的基本性质得，， ∵，∴； (2)比较与：由分式的基本性质得，，∵，∴； (3)比较与：由分式的基本性质得，，∵，∴． 【变式5-2】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与（）． 【解析】(1)比较与：由知，∵，∴； (2)比较与：由且两者均为正数，∴； (3)比较与（）：∵，∴，而，∴． 【变式5-3】若，比较与的大小，并说明所用方法． 【解析】∵，由不等式的除法性质（两边同除以正数） 得，即． ∴，所用方法是不等式的除法性质（也可作差比较）． 【题型6 利用不等式的性质证明不等式与实际应用】 【例6】利用不等式的性质证明：若，，则． 【解析】证明：若，，则． ∵，由不等式的加法性质，两边同加，不等号方向不变， ∴，即．证毕． 【变式6-1】利用不等式的性质证明：若，则． 【解析】证明：若，则．证明：∵， 由不等式的除法性质，两边同除以正数，不等号方向不变， ∴，即．证毕． 【变式6-2】某工厂生产产品每件利润为元，生产产品每件利润为元．生产产品件、产品件（，），且，．求总利润的最小值． 【解析】设总利润为元，则．由得，由 得，即，又，故．此时． ∵，∴，当，时取等号． ∴总利润的最小值是元． 【变式6-3】已知，试比较与的大小，并说明所用不等式的性质． 【解析】比较与的大小．由得，又，∴． 所用性质：不等式的减法性质（两边同减 ），或作差法与不等式的乘法性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：不等关系与不等式的表示、等式的性质、不等式的三条基本性质、利用性质与作差法比较大小的方法； ▲难点：同乘（除）负数时不等号方向的改变、去分母时含参量非零的讨论、作差法中因式分解后符号的判断． 目录 专题2.1 等式性质与不等式性质（期中复习讲义） 1 知识点1 不等关系与不等式 1 【题型1 用不等式（组）表示不等式关系】 2 知识点2 等式的性质 3 【题型2 等式性质的应用】 4 知识点3 不等式的性质 5 【题型3 利用不等式的性质判断命题真假】 6 【题型4 利用不等式的性质求范围】 7 知识点4 比较大小的方法 8 【题型5 比较实数（代数式）的大小】 9 【题型6 利用不等式的性质证明不等式与实际应用】 10 考点1 不等关系与不等式 知识点1 不等关系与不等式 【重难点】★重点：不等关系与不等式的概念，用不等式（组）表示数量关系； ▲难点：把实际情境中的数量关系准确翻译为不等式（组），注意"至多""至少""不超过"等词语对应的方向． 1．概念　用""，""，""，""表示大小关系的式子叫不等式；用不等式连接起来的式子叫不等式组． 2．常见表述　""读作"大于"；""读作"大于等于"；不等式组中各不等式必须同时成立． 3．实际应用　"不超过"对应""，"不少于"对应""，"大于"对应""；求解前须先准确建模． 【题型1 用不等式（组）表示不等式关系】 【例1】某校高一年级名学生参加课外社团，其中参加数学社的有人，参加物理社的有人，两种社团都参加的有人，则至少参加一种社团的学生人数用不等式（组）表示为______，至少参加一种社团的学生人数不超过______人． 【变式1-1】某班名学生中，喜欢篮球的人，喜欢足球的人，两种都喜欢的有人，则都不喜欢的学生人数用不等式（组）表示为______． 【变式1-2】已知，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】"的倍不小于"用不等式表示为______． 考点2 等式的性质 知识点2 等式的性质 【重难点】★重点：等式的基本性质（；；（）），移项与去分母法则； ▲难点：去分母时两边同乘负数要变号、含参等式两边同除以含参数的量时的分类讨论． 1．基本性质　；；（）． 2．移项法则　；方程两边同加（减）同一个数或式，解集不变． 3．去分母法则　方程两边同乘（除）同一个非零数或式，解集不变；若乘（除）的是含参数的量，须先确定其不为零． 【题型2 等式性质的应用】 【例2】已知，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】解方程，并用等式的性质说明依据． 【变式2-2】已知，用表示，则______． 【变式2-3】若，则______；若，则______． 考点3 不等式的性质 知识点3 不等式的性质 【重难点】★重点：不等式的三条基本性质：且；；且，且； ▲难点：同乘（除）负数时不等号方向改变、乘方运算中底数的符号讨论（不成立）． 1．性质一　且（传递性）． 2．性质二　（两边同加同一个数）． 3．性质三　且；且（两边同乘同一个数，负数要变号）． 【题型3 利用不等式的性质判断命题真假】 【例3】下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-1】下列命题中，假命题是（　　） A．若，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，则 【变式3-2】已知，则下列不等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） 【题型4 利用不等式的性质求范围】 【例4】已知，则，，．请写出所用不等式的性质． 【变式4-1】已知，，则下列各式中一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若，，则；若，则．试说明理由． 【变式4-3】已知，，则；已知，，则是否一定成立？说明理由． 考点4 比较大小的方法 知识点4 比较大小的方法 【重难点】★重点：利用不等式性质与作差法比较大小的步骤，； ▲难点：作差法中因式分解后符号的判断、多个代数式比较大小时统一标准（如同取倒数或同取平方）． 1．作差法　比较与的大小：先求，再判断其符号；． 2．变形法　；；同正同负时比较绝对值再判断符号． 3．综合运用　作差、因式分解、配方是比较大小的常用手段；结论必须回到原式比较． 【题型5 比较实数（代数式）的大小】 【例5】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【变式5-1】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【变式5-2】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与（）． 【变式5-3】若，比较与的大小，并说明所用方法． 【题型6 利用不等式的性质证明不等式与实际应用】 【例6】利用不等式的性质证明：若，，则． 【变式6-1】利用不等式的性质证明：若，则． 【变式6-2】某工厂生产产品每件利润为元，生产产品每件利润为元．生产产品件、产品件（，），且，．求总利润的最小值． 【变式6-3】已知，试比较与的大小，并说明所用不等式的性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $