03 专题三 不等式与基本不等式期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一上期中专项复习 · 专题三 不等式与基本不等式 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 作差法比较大小 比较大小 2025云南师大附中期中 3 题 基本不等式实际应用 基本不等式实际应用 2026郑州十校联考期中 5 题 均值不等式链与放缩 基本不等式推广（均值链） · 基本不等式推广（均值放缩） 2026西南大学附中期中 4 题 不等式性质的判断 不等式性质 2026郑州一中期中 4 题 基本不等式直接求最值 基本不等式求最值 2026深圳盟校联考期中 4 题 "1 的代换"求条件最值 基本不等式条件最值 2026郧阳中学期中 5 题 配凑系数与消元求最值 基本不等式条件最值 2026重庆西藏中学期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 实数比大小的奠基结论：，，，对任意实数成立； 作商比较（ 时 ）与找中间量比较都是它的推论，作商前必须先保证两数同正。 2. 对称性与传递性：； 且 ，"大减小为正"可用来传递中间量。 3. 可加性：（移项不改向）；同向可加：； 同向不等式只能相加不能相减，求两数差的范围要用"减去一个数等于加上它的相反数"转化。 4. 乘法规则： 时 不改向； 时必须改向得 ； 时得等式 ； 字母系数符号不明时必须分类讨论。 5. 乘方与开方：（ 为正整数），正数开平方也保持同向； 倒数关系：；含负数时平方、开方、取倒数都要分类讨论。 6. 基本不等式： 时 ； 叫算术平均数， 叫几何平均数； 几何解释：半径不小于半弦长，即 。 7. 口诀"一正二定三相等"：各项为正、和或积为定值、等号能取到，三者缺一不可； 验证顺序：先查各项符号，再查和或积是否为定值，最后解出取等点并检验它在定义域与约束条件内。 8. 取等条件：当且仅当 时等号成立；两次连用基本不等式时，各次取等点必须能同时成立，否则所得界不可达。 9. 定值的常见形态：和定（）、积定（）、倒数和定（）、 平方和定（）、混合式（）都可以产生最值条件。 10. 应用背景中的量：利润＝销售收入−总成本；总造价＝单价×对应面积；平均成本＝总成本÷产量； 列式前先统一单位，并写出自变量的实际范围。 ▍二、法则与公式 1. 基本不等式及等价形式：，即 ，即 （）。 2. 平方平均不等式：，与 等价； 特别地 对任意实数成立，无需正数。 3. 放缩源头：；， 其中 ，可用来判断三次差式的符号。 4. 和定积最大： 且 （定值）时 ，当 取等； 如 时 。 5. 积定和最小： 且 （定值）时 ，当 取等； 系数要乘进积里，如 。 6. 均值不等式链： ； 即调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均， 且当且仅当 时全部取等。 7. 多元推广（文字表述）： 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，各数全等时取等； 三元常用： 且 时 。 8. 四元配凑范例： 时 ， 关键是拆出的四个数之和恰为定值 ，且等号可以取到。 9. 对勾函数：（）在 上单调递减，在 上单调递增； 基本不等式的取等点不在定义域或约束范围内时，最值在区间端点处取得。 10. 常用结论：（），（）； （）；（ 同号）。 ▍三、方法技巧 1. 作差法比较大小（步骤）：作差 → 变形（因式分解、配方或通分，化成若干因子之积）→ 定号（逐因子判符号）→ 写结论； 含字母时按符号分区间讨论，每一步都要交代依据。 2. 不等式性质的判断（步骤）：先查前提（乘除的数是否为正、分母是否可能为零）→ 能用性质推导的就推导 → 推不出立刻举特值反例； 含 、 的选项先定分母符号再变形；多选题逐项独立判断。 3. 基本不等式直接求最值（步骤）：识别 结构 → 验两项同正、积为定值 → 负项先提负号 → 套 → 解取等点并检验； 型先凑成 ；两项同负时对应最大值 。 4. "1 的代换"求条件最值（步骤）：倒数和定值时，把所求式乘以该定值式（乘 ）展开 → 凑出互倒的两项（积为定值）→ 基本不等式 → 联立条件解出取等点； 条件是乘积式（如 ）先两边同除 化为倒数和；条件是和式（如 ）直接乘 展开。 5. 配凑系数与消元求最值（步骤）：优先消元——由条件解出一元代入所求，并同步更新另一元的范围 → 把式子拆成 → 基本不等式； 换元（、 等）后必须重写 的范围；含参恒成立先参变分离为 ，归结为求 的最值。 6. 基本不等式实际应用（步骤）：设变量并写范围 → 列函数（利润＝收入−成本、造价＝单价×面积）→ 求最值 → 检验取等点在自变量范围内； 取等点越界时改用对勾函数单调性在端点取最值；分段函数要分段求再比较；最后写答数与单位。 7. 均值不等式链与放缩（步骤）：比较链上相邻两项用作差，分解出 定号； 积式最值凑"定和"数组（各数之和恰为定值且能全部相等）；轮换三项和直接套三元均值；多次放缩核对各次取等能否同时成立。 8. "最大值的最小值"型：设 不小于每个目标式 → 全部相加 → 按变量重新配组 → 对每组分别用基本不等式 → 验证各组取等点可同时成立。 ▍四、易错警示 1. 正确说法： 仅对 成立。 反例： 时 ；负数时正确结论是 。 2. 正确说法：同向不等式可相加但不能相乘（除非各数都正）。 反例：，，则 ， 不成立。 3. 正确说法：只有 才能平方保向、开方保向。 反例： 时 ；含负数时必须分类讨论。 4. 正确说法： 推不出 。 反例：， 时 ；必须先讨论 的符号。 5. 正确说法：用基本不等式前必须验证"等号能取到"。 反例：，因 无解，等号取不到，最小值不是 。 6. 正确说法：取等点必须满足全部约束条件。 反例： 下 的取等点 ， 不满足 ，该下界取不到，应改用对勾函数单调性。 7. 正确说法：多次使用基本不等式时各次取等要同时成立。 反例： 需要 且 同时成立（即 ），只满足其一时下界不可达。 8. 正确说法："定值"是使用基本不等式的门槛，没有定值先凑定值。 反例：对 乱乘 得不到积定结构，应先由条件消元或配凑系数再用基本不等式。 9. 正确说法：求出最值必须交代取等条件，应用题还要写单位并作答。 反例：应用题只答 "x=14" 而不答 "最大利润 78 万元"，属于解答不完整。 10. 正确说法：放缩得到 后，若各数不全相等，须指明等号取不到，才能把结论写成严格不等号。 反例：证 时，必须说明 个数不全相等。 　作差法比较大小 方法要领　作差四步写全：作差→变形（因式分解、通分、配方、分子有理化）→定号→结论；含 的差先分子有理化，多个数按 式链式两两比较，每步注明变形依据（乘除正负数是否变号）。 【例】（2025云南师大附中期中 9）英国数学家哈利奥特最先使用""和""符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。已知 ，，则下列不等式一定成立的有（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】采用作差法依次判断各个选项：作差后分解因式或分子有理化，再结合 ， 定号。 【详解】对于 ：作差 ， ∵，，∴，且 ， ∴，即 ，∴，故 错误； 对于 ：作差 ， ∵，∴，而 ，∴，即 ， ∴，故 正确； 对于 ：作差 ， ∵，，∴分子 ； ∵，，∴分母 ， ∴，即 ，故 正确； 对于 ：分子有理化， ， ∵，∴，且 ， ∴，即 ，故 正确。 故选：。 【练1】（2026郧阳中学期中 2）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由 比较出 ，再利用 （乘负数变号）逐步比较 ，， 的大小，也可取特殊值排除。 【详解】由 ，两边同乘以正数 得 ，∴， ∵，不等式 两边同乘以负数 时，不等号方向改变， ∴，即 ，故 正确，、、 均错误； （反例检验：取 ，，则 ，，而 ，确实满足 。） 故选：。 【练2】（2026之江中学期中 4）已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对 ， 分子有理化后比较分母大小得 ；再由 得 ，即可排出三者大小。 【详解】分子有理化得 ， 同理 ， ∵，， ∴， ∴ ，即 ； 又 ，，∴，且显然 ， 综上可得 。 故选：。 　基本不等式实际应用 方法要领　先设变量并写清取值范围，按收益−成本、单价×面积（长度）列函数；用基本不等式求最值必须检验取等点在定义域内，分段模型逐段求最值再比较取大（小），最后写答数和单位。 【例】（2026郑州十校联考期中 18）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 平方米的十字形地域。计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/。设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：）。 (1)求 关于 的函数解析式，并写出定义域； (2)当 长为 时，求该休闲场所的总造价； (3)当 长为多少 时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；(2) 元；(3)当 时总造价最小，最小值为 元。 【分析】(1)设 ，由十字形面积得 ，用 表示 ，由 ， 求定义域，再按"单价×面积"列出 并化简；(2)代入 求值；(3)对 用基本不等式，并检验取等点在定义域内。 【详解】解：(1)设 ，由十字形地域面积为 得 ， ∴； ∵，，∴，解得 。 四个矩形地坪的面积和为 ，四个三角形草坪的面积和为 ， ∴总造价 ， 其中 ， ， ∴ （）。 (2)当 时， （元）， 即 长为 时，该休闲场所的总造价为 元。 (3)∵，∴，， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∵，取等点在定义域内， ∴当 时，总造价最小，最小值为 元， 即当 长为 时，该休闲场所的总造价最小，最小值是 元。 【练1】（2025昭通一中联盟期中 14）甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元。为使全程运输成本最小，汽车的速度是______千米/时。 【答案】 【分析】全程运输成本＝每小时运输成本×全程行驶时间 ，整理出 型后用基本不等式求最小值，并指明取等条件。 【详解】解：由题意，汽车每小时的运输成本为 （元）， 全程行驶时间为 （时），其中 ， ∴全程运输成本 ， ∵，∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， 此时 ，全程运输成本最小。 故答案为：。 【练2】（2026望城一中期中 16）如图，某农场紧急围建一个面积为 平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留 宽的入口（入口不需建墙）。已知旧墙的维修费用为 元/，新墙的造价为 元/，旧墙的使用长度为 （），修建此矩形场地的总费用为 （单位：元）。 (1)写出 关于 的表达式； (2)当 为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用。 【答案】(1)（）；(2)当 时修建此围墙所需费用最少，最少费用为 元。 【分析】(1)由面积为 得与旧墙垂直的两边长均为 ，新墙总长为 ，按"单价×长度"列总费用；(2)对 用基本不等式，检验取等点满足 。 【详解】解：(1)由矩形面积为 ，得与旧墙垂直的两边长均为 ， 与旧墙平行的一面新墙长 ，扣除 宽入口后需建 ， ∴新墙总长度为 （）， 新墙费用为 元，旧墙维修费用为 元， ∴ （）。 (2)∵，∴，， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∵，取等点在定义域内， ∴当 时，，费用最少， 即当旧墙使用长度为 时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为 元。 【练3】（2026沈阳五校协作体期中 17）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 ， 两种商品。据市场调查统计，当投资额为 （）万元时，经销 ， 商品所获得的收益分别为 万元与 万元，其中 ， ， 小王计划投入 万元全部用于经销这两种商品。 (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益。 【答案】(1)只经销 商品收益为 万元，只经销 商品收益为 万元；(2) 商品投入 万元、 商品投入 万元时总收益最大，最大值为 万元。 【分析】(1)代 求 与 ；(2)设 商品投入 万元，则 商品投入 万元，总收益 ，按 与 分类：前段配凑 用基本不等式，后段用二次函数单调性，再比较两段的最大值。 【详解】解：(1)∵投入 万元，∴， 若只经销 商品，收益为 （万元）； 若只经销 商品，收益为 （万元）。 (2)设 商品投入 万元，则 商品投入 万元， 总收益 。 ①当 时， ， ∴ ， ∵，∴，， ∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴，此段总收益的最大值为 万元； ②当 时，， ∴ ， 其图象开口向下，对称轴为 ，∴ 在 上单调递减， ∴（万元）。 ∵，∴当 时总收益最大，最大值为 万元， 即 商品投入 万元、 商品投入 万元时，小王能获得最大收益，最大收益为 万元。 【练4】（2026河南省实验中学期中 17）2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图。现知列车的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 。经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关：当 时列车为满载状态，载客量为 人；当 时，载客量会减少，减少的人数为 （ 为常数），且发车时间间隔为 分钟时的载客减少量为 人。记列车载客量为 。 (1)求 的表达式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到 人时列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值。 【答案】(1) 当 时为 ，当 时为 ；(2)至少 分钟；(3)发车间隔为 分钟时每分钟净收益最大，最大值为 元。 【分析】(1)由 时减少 人求出 ，得分段表达式；(2)分段解不等式 后取并集；(3)先化简 为分段函数： 段凑出 用基本不等式， 段用单调性，比较两段最大值。 【详解】解：(1)当 时，； 当 时，， 由 时载客减少 人，得 ， ∴，即 ，解得 ， ∴， ∴。 (2)依题意 。 当 时， 恒成立； 当 时，， 即 ，解得 ， 又 ，∴。 综上 ，即列车发车间隔时间至少为 分钟。 (3)当 时， ， ∵，∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴，此段最大值为 ； 当 时，， ∵ 在 上单调递减，∴。 ∵，∴当发车时间间隔为 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为 元。 　均值不等式链与放缩 方法要领　正数 ， 记住均值链 ，判断恒成立命题先证或取特值排除；多次放缩时核对各步等号能否同时取到，取不到就用换元配凑 转对勾函数定最值。 【例】（2026西南大学附中期中 9）已知正数 ，，则下列不等式中恒成立的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 由 两边同除以正数 得到； 将 乘以 凑出积定结构，它就是均值链 的等价变形式；、 取特殊值举反例。 【详解】对于 ：∵（当且仅当 时取等号）， 又 ， 为正数，∴，两边同除以 得 ，故 正确； 对于 ：当 时，， 而 ，此时 ，故 错误； 对于 ：∵， 为正数， ∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， 又 ，两边同除以 得 ，故 正确； （注： 等价于均值链 ，两边同乘 即互相推出。） 对于 ：取 ，，则 ， 而 ，此时 ，故 错误。 故选：。 【练1】（2025重庆二外期中 10）已知 ，，且 ，则（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】在 （定和）条件下，利用 及其变形式逐项推证，各选项即均值链中 ，， 与 的比较，注意取等条件。 【详解】对于 ：∵，，∴， 又 ，∴，即 ， 当且仅当 时取等号，故 错误； 对于 ： ， 当且仅当 ，即 时取等号，故 正确； 对于 ：， 由 知 ，∴， 当且仅当 时取等号，故 正确； 对于 ： ， 由 知 ，∴， 又 ，∴， 当且仅当 时取等号，故 正确。 故选：。 【练2】（2026龙陵一中期中 10）已知 ，，且 ，则下列不等式恒成立的有（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】、、 由 结合 直接推证； 用"1 的代换"求出 的最小值，再与 比较即可判断。 【详解】对于 ：∵， 均为正数，∴， 又 ，∴，即 ， 当且仅当 时取等号，故 正确； 对于 ：， 由 知 ，∴， 当且仅当 时取等号，故 正确； 对于 ： ， 又 ，∴， 当且仅当 时取等号，故 正确； 对于 ：∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴ ， 而 ， 且当 ， 时取到最小值 ，此时原不等式不成立， ∴ 不恒成立，故 错误。 故选：。 【练3】（2026湖南师大附中期中 14）对于任意实数 ，，定义 。已知实数 ， 均大于 ，令 ，则 的最大值为______。 【答案】 【分析】由新定义得 且 ，两式相乘放缩得 ；换元 后，将右侧凑成 ，用基本不等式放缩出 ，最后检验取等点能同时成立。 【详解】解：由 得 且 ， ∵，，∴，，∴， 将两不等式相乘，得 ， 而 ， 分子分母同除以 ，并令 ， 则上式 ， ∵， ∴ ， ∵，分子分母同除以 ， ∴上式 ， ∵ ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∴分母 ， ∴，又 ，∴， 当 即 ，且 时等号成立： 此时 ，解得 ，即 ， 检验 ，， 成立， ∴ 的最大值为 。 故答案为：。 　不等式性质的判断 方法要领　先查前提（乘除的数正负、分母是否为零、 特例），能用性质推导的就推导，推不动的立刻举特值反例；同向不等式只能相加不能相减， 平方保向需 ，取倒数要先定 符号。 【例】（2026郑州一中期中 4）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质判断 、 选项，作差法结合不等式性质判断 正确，举反例得到 错误。 【详解】选项 ：∵，∴，将 两边同除以 ， 得 ，即 ； 两边同加上 得 ，故 错误； 选项 ：作差 ，通分得 ， ∵，∴，，，而 ， ∴，∴， 即 ，故 正确； 选项 ：不妨设 ，，，则 ，故 错误； 选项 ：将 两边同乘以正数 得 ，故 错误。 故选：。 【练1】（2026南师附中期中 5）设 ，， 为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】结合不等式的性质，利用作差法与举反例逐项判断。 【详解】对于 项：若 ，则 ，故 错误； 对于 项：∵，∴， ∴，（注意 ，）， ∴，故 正确； 对于 项：取 ，，满足 ， 显然 不成立，故 错误； 对于 项：作差 ，通分得 ， ∵，∴，，∴分子 ； 又 ，，∴分母 ， ∴差小于 ，即 ，故 错误。 故选：。 【练2】（2025福建泉州六中期中 9）若 ，则下列不等式恒成立的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断 、、 选项，举反例排除 选项。 【详解】 选项，作差 ， ∵，∴，， ∴，即 ， 正确； 选项，作差 ， ∵，∴，， ∴，即 ， 正确； 选项，当 ，，， 时， ， 错误； 选项，作差 ，通分得 ， ∵，∴，，， 当 时，，此时 ； 当 时，，此时 ， 即 不恒成立， 错误。 故选：。 【练3】（2026大连二十四中期中 8）已知正数 ， 满足 ，则下列四个说法正确的个数有（　　） ①；②；③；④ A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】D 【分析】将给定等式用 与 表示并变形，借助"平方为非负数"进行放缩，结合不等式性质逐个判断即得。 【详解】由 ， 为正数且 ， 得 ， 则 ， 解得 ，当且仅当 时取等号，②正确； ， 当且仅当 时取等号，③正确； ， 当且仅当 时取等号，①正确； （由①知 ）， 当且仅当 时取等号，④正确。 所以四个说法正确的个数有 4 个。故选：。 　基本不等式直接求最值 方法要领　见 先验两项同正且积为定值，负项先提负号； 型先凑成 再套用；结论必须写“当且仅当…时取等号”，并解出取等点检验它在定义域内。 【例】（2026深圳盟校联考期中 9）下列各式中，最小值为 的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求最值时，必须同时检验"各项为正"与"等号能取到"两个条件，逐一判断各选项。 【详解】 项：首先要使式子有意义，需 ； 当 时，，故 错误； 项：对任意 ，， 当且仅当 ，即 时取等号， 但方程 无解，故等号取不到， 即 ，故 错误； 项：要使式子有意义，需 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故最小值为 ， 正确； 项：要使式子有意义，需 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故最小值为 ， 正确。 故选：。 【练1】（2026南安龙泉中学期中 3）若 ，则函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，凑出 的结构，利用基本不等式求出最小值。 【详解】由 ，得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以函数 的最小值为 。 故选：。 【练2】（2025南通海门实验学校期中 14）已知 ，则当 时， 的最小值为______。 【答案】 【分析】先用换元法求出 ，再把 凑成 的结构，利用基本不等式求最小值，注意检验取等点满足 。 【详解】解：∵，令 ，则 ， ∴， 即 。 当 时，，且 ， 由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 （满足 ）时等号成立， ∴，即 的最小值为 。 【练3】（2026衡水中学期中 14）已知实数 ，，，设 ，， 这三个数的最大值为 ，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】由最大值的含义得 不小于这三个数，三式相加后按 ，， 重新组合，再用"1 的代换"与基本不等式求出每个和式的下界。 【详解】解：依题意，， ，， 三式相加得 ， 由 ，得 ， 当且仅当 ，即 时取等号； 同理，当 时， 取得最小值 ； 当 时， 取得最小值 。 因此 ，解得 ， ∴当 时， 取得最小值 。 　"1 的代换"求条件最值 方法要领　条件为倒数和或和为定值时，把所求式乘以该定值式（乘 ）展开，凑出互倒且积定的两项；条件是乘积式（如 ）先两边同除 化为倒数和；最后联立条件解出取等点验证。 【例】（2026郧阳中学期中 13）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】由条件可得 ，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件。 【详解】解：∵正数 ， 满足 ， ∴，即 ； 同理 ，即 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，解得 ， 时取等号， ∴所求式子的最小值为 。 【练1】（2026昆明一中期中 5）若两个正实数 ， 满足 ，则实数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先验证 与 均为正数，由基本不等式得 ，结合条件直接可得 的下界。 【详解】∵，， ∴ ， 可得 ，即 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 ∴ 的最小值是 。故选：。 【练2】（2025福建三明二中期中 4）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件 为定值，把所求式乘以 （即 ）展开，凑出积定结构后用基本不等式，注意写出取等条件。 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵， 均为正数， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，解得 ， 时等号成立， ∴ 的最小值为 。 故选：。 【练3】（2025杭师大附中期中 13）若两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】将条件 两边同除以 ，化为倒数和定值 ，再用"1 的代换"展开所求式，结合基本不等式求解。 【详解】解：∵正实数 ， 满足 ， 两边同除以 ，得 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，解得 ， 时取等号， ∴ 的最小值为 。 【练4】（2026河南九师联盟期中 14）已知 ，，且 ，则 的最大值为______。 【答案】 【分析】将 取倒数变形，分子分母同除 后用 消元，化为 ，再用"1 的代换"求出 的最小值，从而得原式的最大值。 【详解】解：∵，， ∴ ， 而 ， 又 ，即 ， ∴ ， ∴， 即 。 ∵ ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，解得 ， 时等号成立， ∴， ∴， 即 的最大值为 。 　配凑系数与消元求最值 方法要领　优先消元：由条件解出一元代入所求，并同步更新另一元的范围；把式子拆成 再套基本不等式，换元后必须重写 的范围；含参恒成立先参变分离为 ，归结为求 的最值。 【例】（2026重庆西藏中学期中 8）已知 ，，满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件解出 消去 ，将 化为 后用基本不等式，并检验取等时 。 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 此时 ，满足 ， ∴ 的最小值为 。 故选：。 【练1】（2026武汉东湖高新区期中 5）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把条件 与 结合，得到关于整体 的一元二次不等式求解，注意交代取等条件。 【详解】解：∵，，∴（当且仅当 时取等号）， 又 ，∴， 令 ，则 ，且 ， 即 ，分解得 ， 解得 （舍去）或 ， ∴， 当且仅当 且 ，即 时等号成立， ∴ 的最小值为 。 故选：。 【练2】（2026湖南长沙一中期中 13）设 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最大值为______。 【答案】 【分析】分离参数得 恒成立，转化为求 的最小值；乘以 展开后用基本不等式。 【详解】解：∵，， 恒成立， ∴ 恒成立， 只需 。 ∵， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，解得 ， 时等号成立， ∴，∴， 即实数 的最大值为 。 【练3】（2025东北育才中学期中 13）已知 ，，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】令 ，，把已知式用 ， 表示， 也用 ， 表示后，利用"1 的代换"与基本不等式求得最小值。 【详解】解：令 ，， 则 ，，且 ，， ∴，，已知条件化为 ， ∴ ， ∴ ， 当且仅当 ，即 ，， 亦即 ， 时取等号， ∴ 的最小值为 。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026龙陵一中期中 4）已知 ，，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】对于 、、：举反例说明即可；对于 ：根据不等式的性质分析判断。 【详解】对于选项 ：例如 ，则 ，故 错误； 对于选项 、：例如 ，，满足 ，则 ，，故 、 错误； 对于选项 ：由 知 ，两边同除以 可得 ，故 正确。 故选：。 2．（6分）（2026南阳六校联考期中 6）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】展开所求表达式，将 代入，利用"和定积最大"求 的最大值即可。 【详解】由 ，，可得 ， ∵，∴，当且仅当 时取等号， ∴，即 的最大值为 。 故选：。 3．（6分）（2026重庆巴蜀中学期中 5）已知实数 ，，满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到 ，由"1 的代换"结合基本不等式求出最小值。 【详解】∵，，，∴，即 ， ∴， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∴ 的最小值为 。 故选：。 4．（6分）（2026开远一中期中 7）中国南宋大数学家秦九韶提出了"三斜求积术"，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ，，，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式。现有一个三角形的边长满足 ，，则此三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算 ，代入公式化简为 ，再利用"和定积最大"求出 的最大值，即可求解。 【详解】由题意可知，， ∴， 而 ，当且仅当 时取等号， ∴， 所以三角形面积的最大值为 。 故选：。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026重庆八中期中 10）已知 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 【答案】BCD 【分析】举反例可判断 ；由基本不等式可得 ；作差法可判断 ；利用基本不等式结合换元法可得 。 【详解】对于 ：令 ，，，，则 ，不满足 ，故 错误； 对于 ：， 当且仅当 ，即 时取等号，故 正确； 对于 ：， ∵ 且 ，∴，，∴，故 正确； 对于 ：由 （当且仅当 时取等号）， 令 ，则 ，即 ，解得 ，∴，故 正确。 故选：。 6．（6分）（2026广州二中四元联考期中 10）已知 ，，，下列选项中正确的有（　　）（多选） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用"1 的代换"可判断 ；利用基本不等式"和定积最大"可判断 ；利用消元思想化归到基本不等式并检验取等条件可判断 ；利用换元法化归到对勾函数可判断 。 【详解】对于 ：利用"1 的代换"可得 ， 当且仅当 ，即 ，代入 得 ， 时取等号，故 正确； 对于 ：由基本不等式 ，代入 ，可得 ，即 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 正确； 对于 ：将 代入得 ， 由基本不等式可得 ，故 ， 但取等条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ，因此等号取不到，故 错误； 对于 ：展开分子 ，代入 可得 ， 因此原式化简为 ，令 ， 由 选项正确可得 ，即 ，再由对勾函数 在 上单调递减， ∴当 时， 取到最小值 ，故 正确。 故选：。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026天一中学期中 13）已知 ，，且 ，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】根据基本不等式"积定和最小"可直接求和的最小值。 【详解】∵，，∴由基本不等式可得：， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∴ 的最小值为 。 8．（6分）（2026重庆西藏中学期中 12）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为______，此时 ______。 【答案】； 【分析】由基本不等式乘"1"法即可求解。 【详解】解：根据题意，， 当且仅当 ，即 ，又 ，解得 ， 时取等号。 故最小值为 ，此时 。 9．（6分）（2026哈三中期中 14）若 ，，，且 ，则 的最小值为______。 【答案】 【分析】将 用 替换后拆项凑系数，先对 用基本不等式，再对 的式子凑项 第二次使用基本不等式。 【详解】解：原式 ， 由 ，，，得 ， 当且仅当 ，即 ，亦即 ， 时取等号； ∴原式 ， ∵，∴， 当且仅当 ，即 时取等号。 ∴原式的最小值为 。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026河南九师联盟期中 16）已知 ，。 (1)求 的最小值； (2)若 ，求 的最小值。 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)先用 ，再对 用基本不等式，注意两次取等需同时成立；(2)利用 作"1 的代换"（乘 ）展开后用基本不等式求最小值。 【详解】解：(1)∵，， ∴， 第一次取等当且仅当 ，第二次取等当且仅当 ，即 ， 联立解得 时等号同时成立， ∴ 的最小值为 。 (2)∵，，，∴，即 ， ∴， 当且仅当 且 ，解得 时取等号， ∴ 的最小值为 。 11．（15分）（2026西南大学附中期中 19）某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》后，查阅资料发现如下事实：基本不等式 可以推广至 阶，即：若实数 ，，， 均大于 ，那么 。请利用上述事实解决下列问题： (1)若 ，求 的最大值，并指明取最大值时 的值； (2)将一个边长为 的正方形纸板四个角各剪去一个边长为 的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则剪去的小正方形的边长应为多少？ (3)试证明：对任意的正整数 ，不等式 成立。 【答案】(1)最大值为 ，此时 ；(2)；(3)证明见解析 【分析】(1)将 看作四个正数 ，，， 的积，结合四阶基本不等式即可求解；(2)由 ，结合基本不等式即可求解；(3)根据推广结论将 放缩为 ，然后化简变形可完成证明，注意说明等号取不到。 【详解】解：(1)∵，∴，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最大值为 ，此时 。 (2)由题意得 ， 长方体的体积为 ， 当 ， 时，由基本不等式得 ， 即 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，剪去的小正方形的边长应为 。 (3)证明：当 时，左式 ，右式 ，且 ，不等式成立； 当 时， 即 个 与 这 个正数的乘积， 由 阶均值不等式得 ， 而 ， 所以 ， 显然 ，即 个数不全相等，所以等号不能取到， 所以 ； 综上可知，对任意的正整数 ，不等式 恒成立。 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 专题三 不等式与基本不等式 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 作差法比较大小 比较大小 2025云南师大附中期中 3 题 基本不等式实际应用 基本不等式实际应用 2026郑州十校联考期中 5 题 均值不等式链与放缩 基本不等式推广（均值链） · 基本不等式推广（均值放缩） 2026西南大学附中期中 4 题 不等式性质的判断 不等式性质 2026郑州一中期中 4 题 基本不等式直接求最值 基本不等式求最值 2026深圳盟校联考期中 4 题 "1 的代换"求条件最值 基本不等式条件最值 2026郧阳中学期中 5 题 配凑系数与消元求最值 基本不等式条件最值 2026重庆西藏中学期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 实数比大小的奠基结论：，，，对任意实数成立； 作商比较（ 时 ）与找中间量比较都是它的推论，作商前必须先保证两数同正。 2. 对称性与传递性：； 且 ，"大减小为正"可用来传递中间量。 3. 可加性：（移项不改向）；同向可加：； 同向不等式只能相加不能相减，求两数差的范围要用"减去一个数等于加上它的相反数"转化。 4. 乘法规则： 时 不改向； 时必须改向得 ； 时得等式 ； 字母系数符号不明时必须分类讨论。 5. 乘方与开方：（ 为正整数），正数开平方也保持同向； 倒数关系：；含负数时平方、开方、取倒数都要分类讨论。 6. 基本不等式： 时 ； 叫算术平均数， 叫几何平均数； 几何解释：半径不小于半弦长，即 。 7. 口诀"一正二定三相等"：各项为正、和或积为定值、等号能取到，三者缺一不可； 验证顺序：先查各项符号，再查和或积是否为定值，最后解出取等点并检验它在定义域与约束条件内。 8. 取等条件：当且仅当 时等号成立；两次连用基本不等式时，各次取等点必须能同时成立，否则所得界不可达。 9. 定值的常见形态：和定（）、积定（）、倒数和定（）、 平方和定（）、混合式（）都可以产生最值条件。 10. 应用背景中的量：利润＝销售收入−总成本；总造价＝单价×对应面积；平均成本＝总成本÷产量； 列式前先统一单位，并写出自变量的实际范围。 ▍二、法则与公式 1. 基本不等式及等价形式：，即 ，即 （）。 2. 平方平均不等式：，与 等价； 特别地 对任意实数成立，无需正数。 3. 放缩源头：；， 其中 ，可用来判断三次差式的符号。 4. 和定积最大： 且 （定值）时 ，当 取等； 如 时 。 5. 积定和最小： 且 （定值）时 ，当 取等； 系数要乘进积里，如 。 6. 均值不等式链： ； 即调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均， 且当且仅当 时全部取等。 7. 多元推广（文字表述）： 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，各数全等时取等； 三元常用： 且 时 。 8. 四元配凑范例： 时 ， 关键是拆出的四个数之和恰为定值 ，且等号可以取到。 9. 对勾函数：（）在 上单调递减，在 上单调递增； 基本不等式的取等点不在定义域或约束范围内时，最值在区间端点处取得。 10. 常用结论：（），（）； （）；（ 同号）。 ▍三、方法技巧 1. 作差法比较大小（步骤）：作差 → 变形（因式分解、配方或通分，化成若干因子之积）→ 定号（逐因子判符号）→ 写结论； 含字母时按符号分区间讨论，每一步都要交代依据。 2. 不等式性质的判断（步骤）：先查前提（乘除的数是否为正、分母是否可能为零）→ 能用性质推导的就推导 → 推不出立刻举特值反例； 含 、 的选项先定分母符号再变形；多选题逐项独立判断。 3. 基本不等式直接求最值（步骤）：识别 结构 → 验两项同正、积为定值 → 负项先提负号 → 套 → 解取等点并检验； 型先凑成 ；两项同负时对应最大值 。 4. "1 的代换"求条件最值（步骤）：倒数和定值时，把所求式乘以该定值式（乘 ）展开 → 凑出互倒的两项（积为定值）→ 基本不等式 → 联立条件解出取等点； 条件是乘积式（如 ）先两边同除 化为倒数和；条件是和式（如 ）直接乘 展开。 5. 配凑系数与消元求最值（步骤）：优先消元——由条件解出一元代入所求，并同步更新另一元的范围 → 把式子拆成 → 基本不等式； 换元（、 等）后必须重写 的范围；含参恒成立先参变分离为 ，归结为求 的最值。 6. 基本不等式实际应用（步骤）：设变量并写范围 → 列函数（利润＝收入−成本、造价＝单价×面积）→ 求最值 → 检验取等点在自变量范围内； 取等点越界时改用对勾函数单调性在端点取最值；分段函数要分段求再比较；最后写答数与单位。 7. 均值不等式链与放缩（步骤）：比较链上相邻两项用作差，分解出 定号； 积式最值凑"定和"数组（各数之和恰为定值且能全部相等）；轮换三项和直接套三元均值；多次放缩核对各次取等能否同时成立。 8. "最大值的最小值"型：设 不小于每个目标式 → 全部相加 → 按变量重新配组 → 对每组分别用基本不等式 → 验证各组取等点可同时成立。 ▍四、易错警示 1. 正确说法： 仅对 成立。 反例： 时 ；负数时正确结论是 。 2. 正确说法：同向不等式可相加但不能相乘（除非各数都正）。 反例：，，则 ， 不成立。 3. 正确说法：只有 才能平方保向、开方保向。 反例： 时 ；含负数时必须分类讨论。 4. 正确说法： 推不出 。 反例：， 时 ；必须先讨论 的符号。 5. 正确说法：用基本不等式前必须验证"等号能取到"。 反例：，因 无解，等号取不到，最小值不是 。 6. 正确说法：取等点必须满足全部约束条件。 反例： 下 的取等点 ， 不满足 ，该下界取不到，应改用对勾函数单调性。 7. 正确说法：多次使用基本不等式时各次取等要同时成立。 反例： 需要 且 同时成立（即 ），只满足其一时下界不可达。 8. 正确说法："定值"是使用基本不等式的门槛，没有定值先凑定值。 反例：对 乱乘 得不到积定结构，应先由条件消元或配凑系数再用基本不等式。 9. 正确说法：求出最值必须交代取等条件，应用题还要写单位并作答。 反例：应用题只答 "x=14" 而不答 "最大利润 78 万元"，属于解答不完整。 10. 正确说法：放缩得到 后，若各数不全相等，须指明等号取不到，才能把结论写成严格不等号。 反例：证 时，必须说明 个数不全相等。 　作差法比较大小 方法要领　作差四步写全：作差→变形（因式分解、通分、配方、分子有理化）→定号→结论；含 的差先分子有理化，多个数按 式链式两两比较，每步注明变形依据（乘除正负数是否变号）。 【例】（2025云南师大附中期中 9）英国数学家哈利奥特最先使用""和""符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。已知 ，，则下列不等式一定成立的有（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026郧阳中学期中 2）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026之江中学期中 4）已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　基本不等式实际应用 方法要领　先设变量并写清取值范围，按收益−成本、单价×面积（长度）列函数；用基本不等式求最值必须检验取等点在定义域内，分段模型逐段求最值再比较取大（小），最后写答数和单位。 【例】（2026郑州十校联考期中 18）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 平方米的十字形地域。计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/。设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：）。 (1)求 关于 的函数解析式，并写出定义域； (2)当 长为 时，求该休闲场所的总造价； (3)当 长为多少 时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025昭通一中联盟期中 14）甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元。为使全程运输成本最小，汽车的速度是______千米/时。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026望城一中期中 16）如图，某农场紧急围建一个面积为 平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留 宽的入口（入口不需建墙）。已知旧墙的维修费用为 元/，新墙的造价为 元/，旧墙的使用长度为 （），修建此矩形场地的总费用为 （单位：元）。 (1)写出 关于 的表达式； (2)当 为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026沈阳五校协作体期中 17）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 ， 两种商品。据市场调查统计，当投资额为 （）万元时，经销 ， 商品所获得的收益分别为 万元与 万元，其中 ， ， 小王计划投入 万元全部用于经销这两种商品。 (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026河南省实验中学期中 17）2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图。现知列车的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 。经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关：当 时列车为满载状态，载客量为 人；当 时，载客量会减少，减少的人数为 （ 为常数），且发车时间间隔为 分钟时的载客减少量为 人。记列车载客量为 。 (1)求 的表达式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到 人时列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　均值不等式链与放缩 方法要领　正数 ， 记住均值链 ，判断恒成立命题先证或取特值排除；多次放缩时核对各步等号能否同时取到，取不到就用换元配凑 转对勾函数定最值。 【例】（2026西南大学附中期中 9）已知正数 ，，则下列不等式中恒成立的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆二外期中 10）已知 ，，且 ，则（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026龙陵一中期中 10）已知 ，，且 ，则下列不等式恒成立的有（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026湖南师大附中期中 14）对于任意实数 ，，定义 。已知实数 ， 均大于 ，令 ，则 的最大值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　不等式性质的判断 方法要领　先查前提（乘除的数正负、分母是否为零、 特例），能用性质推导的就推导，推不动的立刻举特值反例；同向不等式只能相加不能相减， 平方保向需 ，取倒数要先定 符号。 【例】（2026郑州一中期中 4）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南师附中期中 5）设 ，， 为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025福建泉州六中期中 9）若 ，则下列不等式恒成立的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026大连二十四中期中 8）已知正数 ， 满足 ，则下列四个说法正确的个数有（　　） ①；②；③；④ A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　基本不等式直接求最值 方法要领　见 先验两项同正且积为定值，负项先提负号； 型先凑成 再套用；结论必须写“当且仅当…时取等号”，并解出取等点检验它在定义域内。 【例】（2026深圳盟校联考期中 9）下列各式中，最小值为 的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南安龙泉中学期中 3）若 ，则函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025南通海门实验学校期中 14）已知 ，则当 时， 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026衡水中学期中 14）已知实数 ，，，设 ，， 这三个数的最大值为 ，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　"1 的代换"求条件最值 方法要领　条件为倒数和或和为定值时，把所求式乘以该定值式（乘 ）展开，凑出互倒且积定的两项；条件是乘积式（如 ）先两边同除 化为倒数和；最后联立条件解出取等点验证。 【例】（2026郧阳中学期中 13）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026昆明一中期中 5）若两个正实数 ， 满足 ，则实数 的最小值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025福建三明二中期中 4）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025杭师大附中期中 13）若两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026河南九师联盟期中 14）已知 ，，且 ，则 的最大值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　配凑系数与消元求最值 方法要领　优先消元：由条件解出一元代入所求，并同步更新另一元的范围；把式子拆成 再套基本不等式，换元后必须重写 的范围；含参恒成立先参变分离为 ，归结为求 的最值。 【例】（2026重庆西藏中学期中 8）已知 ，，满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026武汉东湖高新区期中 5）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026湖南长沙一中期中 13）设 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最大值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025东北育才中学期中 13）已知 ，，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026龙陵一中期中 4）已知 ，，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026南阳六校联考期中 6）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026重庆巴蜀中学期中 5）已知实数 ，，满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026开远一中期中 7）中国南宋大数学家秦九韶提出了"三斜求积术"，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ，，，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式。现有一个三角形的边长满足 ，，则此三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026重庆八中期中 10）已知 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026广州二中四元联考期中 10）已知 ，，，下列选项中正确的有（　　）（多选） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026天一中学期中 13）已知 ，，且 ，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2026重庆西藏中学期中 12）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为______，此时 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2026哈三中期中 14）若 ，，，且 ，则 的最小值为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026河南九师联盟期中 16）已知 ，。 (1)求 的最小值； (2)若 ，求 的最小值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026西南大学附中期中 19）某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》后，查阅资料发现如下事实：基本不等式 可以推广至 阶，即：若实数 ，，， 均大于 ，那么 。请利用上述事实解决下列问题： (1)若 ，求 的最大值，并指明取最大值时 的值； (2)将一个边长为 的正方形纸板四个角各剪去一个边长为 的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则剪去的小正方形的边长应为多少？ (3)试证明：对任意的正整数 ，不等式 成立。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $