第1章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）关于x的方程x（x+6）＝16解为（　　） A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝﹣4 C．x1＝﹣8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝﹣2 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 3．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≤ B．a＞0 C．a≠0 D．a＞ 4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 5．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 6．（3分）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 7．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 8．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　　　　 ． 10．（3分）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝　　　　 ，b＝　　　　 ，c＝　　　　 ． 11．（3分）把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是　　　　 ． 12．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　　　　 ． 13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　　　　 ． 14．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　　　　 m． 15．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　　　　 cm． 16．（3分）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0．子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，x4=x⋅x⋅x⋅x=x2⋅x2=(x2)2，请你解方程81x4﹣256＝0． 18．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 19．（6分）阅读理解：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　　　　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 21．（6分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有一个根是a，那么我们称这个方程为“A方程”，如一元二次方程2x2﹣x﹣6＝0有一根为x＝2，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣3＝0是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0（c≠0）是“A方程”，求代数式b2﹣4c的最小值． 23．（8分）综合与实践主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）．目标：（1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 24．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 25．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为　　　　 ． （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点：①求实数q的取值范围．②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值． （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 26．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 27．（10分）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状． （2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）关于x的方程x（x+6）＝16解为（　　） A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝﹣4 C．x1＝﹣8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝﹣2 【答案】C 【解答】解：原方程变形为：x2+6x﹣16＝0，x== ∴x1＝﹣8，x2＝2，故选：C． （来源：2023秋•文昌校级期末） 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，x2﹣1﹣3x＝0，即x2﹣3x﹣1＝0，故选：A． （来源：2023秋•成都期末） 3．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≤ B．a＞0 C．a≠0 D．a＞ 【答案】C 【解答】解： ∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0，故选：C． （来源：2021秋•大荔县期末） 4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 【答案】B 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，故选：B． （来源：2022秋•易县期末） 5．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 【答案】C 【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣1，故选：C． （来源：2024秋•西安期末） 6．（3分）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 【答案】B 【解答】解：由题意得，Δ＝b2+4a，若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根；若a、b同号，不妨令a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B． （来源：2026春•北仑区校级期末） 7．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【答案】B 【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∵要使长方体盒子的底面积为300cm2， ∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级开学） 8．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 【答案】D 【解答】解：设门宽为x尺，则竿长为（x+4）尺，门高为（x+4﹣2）尺，依题意得：（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2，解得：x＝6或x＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴门宽为6尺，竿长为：6+4＝10（尺），门高为：6+4﹣2＝8（尺）；设门高为y尺，竿长为（y+2）尺，门宽为（y+2﹣4）尺，依题意得：（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2，故选项A、B、C均正确，不符合题意；选项D错误，符合题意，故选：D． （来源：2025秋•承德县期末） 9．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为 ． 【答案】x1＝2，x2=14 【解答】解：4x（x﹣2）＝x﹣24x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2=．故答案为：x1＝2，x2=． （来源：2020•威海） 10．（3分）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】1 【解答】解：先移项，把﹣3x移到方程的左边，得到一元二次方程的一般形式，再确定a，b，c的值． ∵x2﹣2＝﹣3x， ∴x2+3x﹣2＝0 ∴a＝1，b＝3，c＝﹣2故答案为：1；3；﹣2． （来源：2024秋•澧县期中） 11．（3分）把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 ． 【答案】﹣12 【解答】解： ∵x2﹣2＝4x， ∴x2﹣4x＝2， ∴x2﹣4x+4＝2+4， ∴（x﹣2）2＝6， ∴m＝﹣2，n＝6， ∴mn＝﹣12，故答案为：﹣12 （来源：2021春•全椒县期中） 12．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ． 【答案】﹣5 【解答】解： ∵一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣5x+3＝0， ∴一次项系数为﹣5．故答案为：﹣5． （来源：2023秋•河北期末） 13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】x（x+12）＝864 【解答】解： ∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864． （来源：2020•大连） 14．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m． 【答案】2 【解答】解：设小路宽为xm，根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=×12×16，解得x＝2或x＝12（舍去）， ∴小路宽为2m；故答案为：2． （来源：2024•青岛） 15．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm． 【答案】2 【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2． （来源：2020•山西） 16．（3分）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】m＝1或m＞2 【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x=，符合题意；当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x=-，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0， ∴x1=，x2=． ∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数， ∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．故答案为：m＝1或m＞2． （来源：2026•鼓楼区校级模拟） 17．（6分）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0．子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，x4=x⋅x⋅x⋅x=x2⋅x2=(x2)2，请你解方程81x4﹣256＝0． 【答案】见解析 【解答】解：（1）x2＝5，x=±； （2）4（1﹣2x）2＝24，（1﹣2x）2＝6，1-2x=±，-2x=-1±，x=或x=； （3）81x4＝256，x4=，x2=或x2=-（舍去），x＝±，x=±． （来源：2025春•瑶海区校级期中） 18．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3． （来源：2025•罗湖区模拟） 19．（6分）阅读理解：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【答案】﹣x2﹣4x﹣3＝0 【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． （来源：2021秋•新罗区校级月考） 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【答案】5 【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3，解得p＝5；故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴，解得． （来源：2025春•南岗区校级期中） 21．（6分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640．解得x1＝16，x2＝20．当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下：由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650．整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． （来源：2026春•垦利区期末） 22．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有一个根是a，那么我们称这个方程为“A方程”，如一元二次方程2x2﹣x﹣6＝0有一根为x＝2，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣3＝0是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0（c≠0）是“A方程”，求代数式b2﹣4c的最小值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）由条件可知该方程的一个根为x＝3， ∴3×32﹣3k﹣3＝0，解得：k＝8； （2）把x＝﹣1代入﹣x2+bx+c＝0，得：﹣（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0， ∴b＝c﹣1； ∴b2﹣4c＝（c﹣1）2﹣4c＝c2﹣2c+1﹣4c＝c2﹣6c+1＝（c﹣3）2﹣8， ∵（c﹣3）2≥0， ∴当c＝3时，代数式b2﹣4c有最小值，最小值为﹣8． （来源：2025秋•扬州期末） 23．（8分）综合与实践主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）．目标：（1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，依题意得：（60﹣2x）（50﹣2x）＝2000，x2﹣55x+250＝0，解得：x1＝5，x2＝50（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． （2）设小长方形的宽为xcm（x＜20），长为ycm，，解得：， ∴小长方形的宽为12cm．当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为12＜18． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． （来源：2026•江南区校级模拟） 24．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义， ∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2， ∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0； （2）证明：由题意， ∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：由题意，x02+(2m+1)x0+m-2=0，(m-2)x02+(2m+1)x0+1=0， ∴(m-3)x02+3-m=0，则(m-3)(x02-1)=0，当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴m≠3． ∴x0＝﹣1或x0＝1， ∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0．答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0． （来源：2026春•雨花区期末） 25．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为 ． （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点：①求实数q的取值范围．②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值． （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 【答案】（﹣2，0） 【解答】解：（1）方程左边分解因式，得x（x+2）＝0， ∴x+2＝0或x＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）； （2）①根据题意可得：，解得q＜且q≠0；②设关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0的两个实数根分别为m，m+2，则m+（m+2）=，m（m+2）=， ∴2m+2＝m2+2m，解得m=±，当m=时，q====，当m=-时，q===-=-，综合，q的值为或-； （3） ∵y＝kx+3（2﹣k）＝k（x﹣3）+6， ∴直线过定点M（3，6）， ∴方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1＝3，x2＝6， ∴x1+x2＝﹣b＝3+6＝9x1x2＝c＝3×6＝18， ∴b＝﹣9，c＝18． （来源：2026秋•鼓楼区校级月考） 26．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米根据题意得：x（28﹣2x）＝80整理得：x2﹣14x+40＝0解得x＝4或x＝10，当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）当x＝10时，28﹣2x＝8＜12 ∴长为10米，宽为8米． （2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，a2﹣14a+13＝0，解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，答：小路的宽为1米． （来源：2026春•姜堰区校级期末） 27．（10分）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状． （2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（）2﹣4×（c-a）＝0，整理得a+b﹣2c＝0 ①，又 ∵3cx+2b＝2a的根为x＝0， ∴a＝b ②，把②代入①得a＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形； （2）a，b是方程x2+mx﹣3m＝0的两个根， ∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根 ∴Δ＝m2﹣4×（﹣3m）＝0，即m2+12m＝0， ∴m1＝0，m2＝﹣12．当m＝0时，原方程的解为x＝0（不符合题意，舍去）， ∴m＝﹣12． （来源：2026•红桥区校级开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）关于x的方程x（x+6）＝16解为（　　） A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝﹣4 C．x1＝﹣8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝﹣2 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 3．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≤ B．a＞0 C．a≠0 D．a＞ 4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 5．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 6．（3分）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 7．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 8．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　　　　 ． 10．（3分）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝　　　　 ，b＝　　　　 ，c＝　　　　 ． 11．（3分）把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是　　　　 ． 12．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　　　　 ． 13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　　　　 ． 14．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　　　　 m． 15．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　　　　 cm． 16．（3分）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0．子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，x4=x⋅x⋅x⋅x=x2⋅x2=(x2)2，请你解方程81x4﹣256＝0． 18．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 19．（6分）阅读理解：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　　　　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 21．（6分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有一个根是a，那么我们称这个方程为“A方程”，如一元二次方程2x2﹣x﹣6＝0有一根为x＝2，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣3＝0是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0（c≠0）是“A方程”，求代数式b2﹣4c的最小值． 23．（8分）综合与实践主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）．目标：（1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 24．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 25．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为　　　　 ． （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点：①求实数q的取值范围．②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值． （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 26．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 27．（10分）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状． （2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 一元二次方程 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）关于x的方程x（x+6）＝16解为（　　） A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝﹣4 C．x1＝﹣8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝﹣2 【答案】C 【解答】解：原方程变形为：x2+6x﹣16＝0，x== ∴x1＝﹣8，x2＝2，故选：C． （来源：2023秋•文昌校级期末） 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，x2﹣1﹣3x＝0，即x2﹣3x﹣1＝0，故选：A． （来源：2023秋•成都期末） 3．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≤ B．a＞0 C．a≠0 D．a＞ 【答案】C 【解答】解： ∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0，故选：C． （来源：2021秋•大荔县期末） 4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 【答案】B 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，故选：B． （来源：2022秋•易县期末） 5．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 【答案】C 【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣1，故选：C． （来源：2024秋•西安期末） 6．（3分）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 【答案】B 【解答】解：由题意得，Δ＝b2+4a，若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根；若a、b同号，不妨令a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B． （来源：2026春•北仑区校级期末） 7．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【答案】B 【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∵要使长方体盒子的底面积为300cm2， ∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级开学） 8．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 【答案】D 【解答】解：设门宽为x尺，则竿长为（x+4）尺，门高为（x+4﹣2）尺，依题意得：（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2，解得：x＝6或x＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴门宽为6尺，竿长为：6+4＝10（尺），门高为：6+4﹣2＝8（尺）；设门高为y尺，竿长为（y+2）尺，门宽为（y+2﹣4）尺，依题意得：（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2，故选项A、B、C均正确，不符合题意；选项D错误，符合题意，故选：D． （来源：2025秋•承德县期末） 9．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为 ． 【答案】x1＝2，x2=14 【解答】解：4x（x﹣2）＝x﹣24x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2=．故答案为：x1＝2，x2=． （来源：2020•威海） 10．（3分）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】1 【解答】解：先移项，把﹣3x移到方程的左边，得到一元二次方程的一般形式，再确定a，b，c的值． ∵x2﹣2＝﹣3x， ∴x2+3x﹣2＝0 ∴a＝1，b＝3，c＝﹣2故答案为：1；3；﹣2． （来源：2024秋•澧县期中） 11．（3分）把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 ． 【答案】﹣12 【解答】解： ∵x2﹣2＝4x， ∴x2﹣4x＝2， ∴x2﹣4x+4＝2+4， ∴（x﹣2）2＝6， ∴m＝﹣2，n＝6， ∴mn＝﹣12，故答案为：﹣12 （来源：2021春•全椒县期中） 12．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ． 【答案】﹣5 【解答】解： ∵一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣5x+3＝0， ∴一次项系数为﹣5．故答案为：﹣5． （来源：2023秋•河北期末） 13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】x（x+12）＝864 【解答】解： ∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864． （来源：2020•大连） 14．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m． 【答案】2 【解答】解：设小路宽为xm，根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=×12×16，解得x＝2或x＝12（舍去）， ∴小路宽为2m；故答案为：2． （来源：2024•青岛） 15．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm． 【答案】2 【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2． （来源：2020•山西） 16．（3分）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】m＝1或m＞2 【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x=，符合题意；当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x=-，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0， ∴x1=，x2=． ∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数， ∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．故答案为：m＝1或m＞2． （来源：2026•鼓楼区校级模拟） 17．（6分）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0．子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，x4=x⋅x⋅x⋅x=x2⋅x2=(x2)2，请你解方程81x4﹣256＝0． 【答案】见解析 【解答】解：（1）x2＝5，x=±； （2）4（1﹣2x）2＝24，（1﹣2x）2＝6，1-2x=±，-2x=-1±，x=或x=； （3）81x4＝256，x4=，x2=或x2=-（舍去），x＝±，x=±． （来源：2025春•瑶海区校级期中） 18．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3． （来源：2025•罗湖区模拟） 19．（6分）阅读理解：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【答案】﹣x2﹣4x﹣3＝0 【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． （来源：2021秋•新罗区校级月考） 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【答案】5 【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3，解得p＝5；故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴，解得． （来源：2025春•南岗区校级期中） 21．（6分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640．解得x1＝16，x2＝20．当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下：由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650．整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． （来源：2026春•垦利区期末） 22．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有一个根是a，那么我们称这个方程为“A方程”，如一元二次方程2x2﹣x﹣6＝0有一根为x＝2，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣3＝0是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0（c≠0）是“A方程”，求代数式b2﹣4c的最小值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）由条件可知该方程的一个根为x＝3， ∴3×32﹣3k﹣3＝0，解得：k＝8； （2）把x＝﹣1代入﹣x2+bx+c＝0，得：﹣（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0， ∴b＝c﹣1； ∴b2﹣4c＝（c﹣1）2﹣4c＝c2﹣2c+1﹣4c＝c2﹣6c+1＝（c﹣3）2﹣8， ∵（c﹣3）2≥0， ∴当c＝3时，代数式b2﹣4c有最小值，最小值为﹣8． （来源：2025秋•扬州期末） 23．（8分）综合与实践主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）．目标：（1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，依题意得：（60﹣2x）（50﹣2x）＝2000，x2﹣55x+250＝0，解得：x1＝5，x2＝50（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． （2）设小长方形的宽为xcm（x＜20），长为ycm，，解得：， ∴小长方形的宽为12cm．当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为12＜18． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． （来源：2026•江南区校级模拟） 24．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义， ∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2， ∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0； （2）证明：由题意， ∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：由题意，x02+(2m+1)x0+m-2=0，(m-2)x02+(2m+1)x0+1=0， ∴(m-3)x02+3-m=0，则(m-3)(x02-1)=0，当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴m≠3． ∴x0＝﹣1或x0＝1， ∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0．答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0． （来源：2026春•雨花区期末） 25．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为 ． （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点：①求实数q的取值范围．②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值． （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 【答案】（﹣2，0） 【解答】解：（1）方程左边分解因式，得x（x+2）＝0， ∴x+2＝0或x＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）； （2）①根据题意可得：，解得q＜且q≠0；②设关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0的两个实数根分别为m，m+2，则m+（m+2）=，m（m+2）=， ∴2m+2＝m2+2m，解得m=±，当m=时，q====，当m=-时，q===-=-，综合，q的值为或-； （3） ∵y＝kx+3（2﹣k）＝k（x﹣3）+6， ∴直线过定点M（3，6）， ∴方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1＝3，x2＝6， ∴x1+x2＝﹣b＝3+6＝9x1x2＝c＝3×6＝18， ∴b＝﹣9，c＝18． （来源：2026秋•鼓楼区校级月考） 26．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米根据题意得：x（28﹣2x）＝80整理得：x2﹣14x+40＝0解得x＝4或x＝10，当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）当x＝10时，28﹣2x＝8＜12 ∴长为10米，宽为8米． （2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，a2﹣14a+13＝0，解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，答：小路的宽为1米． （来源：2026春•姜堰区校级期末） 27．（10分）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状． （2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵x2+x+c-a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（）2﹣4×（c-a）＝0，整理得a+b﹣2c＝0 ①，又 ∵3cx+2b＝2a的根为x＝0， ∴a＝b ②，把②代入①得a＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形； （2）a，b是方程x2+mx﹣3m＝0的两个根， ∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根 ∴Δ＝m2﹣4×（﹣3m）＝0，即m2+12m＝0， ∴m1＝0，m2＝﹣12．当m＝0时，原方程的解为x＝0（不符合题意，舍去）， ∴m＝﹣12． （来源：2026•红桥区校级开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $