第1章　三角形　单元测试　2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026年苏科版数学八年级上册第一单元测试 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.如图，数轴上点A，B，C，D对应的数分别是-1，1，x，7，点C在线段 BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列说法中，正确的是 ( ) A.周长相等的两个直角三角形全等 B.周长相等的两个钝角三角形全等 C.周长相等的两个等腰三角形全等 D.周长相等的两个等边三角形全等 3.在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图(其中C'是点C的对应点)，其中线段 AD一定是△ABC的中线的是 ( ) 4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点 D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B= ( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 5.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=62°,AB+BD=CD,则∠BAC的度数为 ( ) A.87° B.88° C.89° D.90° 6.如图所示,在锐角三角形ABC中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且C'D∥EB'∥BC,BE,CD交于点 F.若∠BAC=40°,则∠BFC的大小是 ( ) A.105° B.100° C.110° D.115° 7.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P从点A出发，沿边AB向点B运动，同时点Q从点B出发，沿边B C向点 C运动，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP相交于点M，连接PQ.设运动的时间为 ts.给出下面四 个结论:①BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度数不变,始终等于 60°;④当 或 时，△PBQ 为直角三角形. 其中正确的是 ( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 8.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E为 BA延长线上一点,DF⊥DE 交射线AC于点 F,连接EF,则BE+CF与EF的大小关系为 ( ) A. BE+CF>EF B. BE+CF=EF C. BE+CF<EF D.以上都有可能 二、填空题(每小题3分，共30分) 9.“三角形具有稳定性”这个事实说明了 .(从“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”中选填一个) 10.如图,已知点A,D,B,F在一条直线上,AC=EF,BC=DE,要使△ABC≌△FDE,还需添加一个条件，这个条件可以是 . 11.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶3，则这个等腰三角形顶角的度数为 . 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,点 E 是AB 的中点,∠DCE :∠B=1∶2,则∠A的度数为 . 13.已知∠α=30°,线段a=5cm,作△ABC,使得∠A=30°,AB=5cm,BC=b cm,如果只能作出唯一的三角形，则线段b的长度为 . 14.如图,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE,且∠CAD=10°,∠EAB=120°,直线BC与AD,DE分别交于点F,G,则∠DGB 的度数为 . 15.如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点 P是三条内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点,P,O 同时在△ABC 的内部,若∠BPC=121°,则∠BOC= . 16.如图,∠AOB=90°,M,V两点分别在射线OB,OA上,连接MN,以MN为边在MV右侧作△MNP且满足PN=PM,∠P=40°,若∠MNO=α,点O 关于MV的对称点落在△PMV的内部(不包括边界)，则α的取值范围是 . 17.如图,AB=12,C为AB边上一动点(不与点A,点B 重合),以AC为边在AB的上方作等边三角形ACD，过点C作CD的垂线，E为垂线上任意一点，连接DE，F为DE的中点，连接BF，则 BF的最小值是 . 18.如图,△DEF为锐角三角形,测得∠F=30°,DE=200 m,△DEF 的面积为则可求得△ABC的周长最小 值为 . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点P,Q,R分别在AB,BC,AC上,且PB=QC,QB=RC.求证:点Q在 PR 的垂直平分线上. 20.(6分)实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图,在筝形ABCD中,AB=AD,CB=CD. 【操作应用】(1)如图①，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ 的顶点 R重合，AB，AD分别放置在角的两边 RP,RQ上,并过点A,C画射线AE. 求证:AE是∠PRQ 的平分线; 【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图②，在仪器上的点A 处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点 B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点 C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗?请说明理由. 21.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作 EF的垂线,垂足为C,H. (1)求证:△AGE≌△CHF. (2)连接AC交GH于点O,点O是线段AC,GH的中点吗? 22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,AC<BC. (1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点 E，使得直线 ED平分△ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若DE分Rt△ABC的面积为1:2两部分,请探究AC与BC的数量关系. 23.(8分)【问题探索】 (1)如图①,在△ABC中,AB=AC,AE平分∠BAC交BC于点E,过点B作BD⊥AC交AC于点D,BD与AE相交于点 F,若AD=BD,求证:AF=2BE; 【问题应用】 (2)如图②,某城市的公园有一块形状为等腰直角三角形的绿植区ABC(AB=AC,∠BAC=90°)种植藤蔓植物.为引导藤蔓攀爬，在BC上取点 D安装平铺支撑网杆DE，要求BE⊥DE，∠EDB= DE与AB交于点 F.为了确保支撑网稳固且贴合藤蔓生长轨迹，需要知道BE与FD的长度关系，求 BE与FD之间的数量关系. 24.(10分)【观察】(1)如图①,AB和CD 交于点O,且AB和CD互相平分,则AC BD.(填“>”“=”或“<”) 【应用】(2)如图②, ,AC和EF交于点O,且AC和EF互相平分, ,则∠EAB 的度数为 。 (3)如图③,点 D,E在BC上,E为CD的中点,AD平分 求证：AC=BD. 【拓展】(4)如图④,在△ABC中, 边AB上的中线长为4.5,P,Q分别为边AB，AC上的两个动点，在运动过程中始终保持.AP+AQ=AB,,连接BQ,CP,且.BQ+CP=m，请求出整数m的值. 25.(10分)【阅读学习】 阅读1 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”.这条线段叫作这个三角形的“两分线”. (1)判断:在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,则△ABC “可两分三角形”.(填“是”或“不是”) (2)画图和计算： 如图①②中的两个三角形都是“可两分三角形”.请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数.(画出一种情况即可) 阅读2 如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”.如图③，线段BD，CE将顶角为36°的等腰三角形ABC 分成了三个等腰三角形,则线段BD,CE是△ABC的“三分线”. (3)画图和计算：请你在图④中，画出顶角为45°的等腰三角形ABC 的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数. (4)画图和计算:在△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的“三分线”,点D在BC边上,点 E在AC边上,且AD=BD,DE=CE.设∠C=x°,试画出示意图,并求出x的值. 26.(10分)如图①，以等腰直角三角形ABC的腰BC边为边作等边三角形BCD，封其中∠ACB=90°,连接AD. (1)求∠BAD 的度数; (2)如图②,CD交AB于点 F,延长CA,BD 交于点E,求证:AE=CF; (3)在(2)的条件下,作DH⊥BE交CE 于点 H,点G在HD的延长线上,连接EG,BG,点 P 在线段CH上,若点P在线段BG的垂直平分线上,连接PG,BH,HP=4,CP=6,BC=a,求△EHG的面积(用含a的代数式表示). 答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B A B C A 9. SSS 10.∠ACB=∠FED(答案不唯一) 11. 或108° 12. 54° 13. b=2.5或b≥5 14. 65° 15. 124° 16. 20°<α<70° 17. 6 18. 500m 19.连接PQ,∵AB=AC,∴∠B=∠C. (2分) 在△BQP 和△CRQ中 (4分) .. QP=QR,∴点Q在PR的垂直平分线上. (6分) 20.(1)在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS),(2分) ∴∠BAC=∠DAC,∴AE是∠PRQ 的平分线 (3分) (2)实践小组的判断对,理由如下:∵AB=AD,由(1)知:AC平分∠BAD,∴AC⊥BD. ⋯⋯⋯⋯⋯ (4分) ∵AC是铅锤线，∴BD是水平的，..门框是水平的，∴实践小组的判断对.⋯⋯⋯⋯⋯(6分) 21.(1)∵ AG⊥EF,CH⊥EF,∴ ∠G=∠H= 90°.∵ AD∥BC,∴∠DEF = ∠BFE.∵ ∠AEG =∠DEF, ∠CFH = ∠BFE,∴∠AEG=∠CFH.…………………………………………………………………………………… (2分) 在△AGE和△CHF中∴△AGE≌△CHF(AAS). …………………………………………………………………………………………………… (4分) (2)点 O 是线段 AC,GH 的中点.理由:由(1)得△AGE≌△CHF,∴AG=CH. 在△OGA 和△OHC 中, ∴△OGA≌△OHC(AAS),⋯⋯⋯ (6分) ∴OG=OH,OA=OC,即O是线段AC,GH的中点. (8分) 22.(1)如图①,点 E 即为所求. (3分) (2) 如图②,连接DC.∵点 D 是AB的中点,∴ S△ADC=S△BCD……(4分) 设 (5分) 1:2,∴2(x-y)=x+y, 即x=3y,……(6分) ∴点E为BC的三等分点,即BC=3EC.由(1)知BE=EC+AC, ∴EC=AC,∴BC=3AC. (8分) 23.(1)在△ABC中,AE平分∠BAC交BC 于点 E,AB=AC,∴BC=2BE,AE⊥BC.又∵BD⊥AC,∴∠DAF=90°-∠C=∠DBC. (1分) 在△AFD 和△BCD中, (2分) ∴△AFD≌△BCD(ASA),∴AF=BC,∴AF=2BE.…… (3分) (2)如图,AB=AC,∠BAC=90°,过点D作DG∥AC,交BE 的延长线于点 G,与 AF 相交于点 H,∴∠BHD =∠BAC=90°,∠GDB=∠C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分) 90°,∴∠BED=∠BHD.∵ ∠EFB=∠HFD,∴∠EBF=∠HDF. ∵AB=AC,∠BAC=90°,∵∠C=∠ABC=45°∴ DG= AC,∴∠GDB=∠C=45°,∴∠GDB=∠ABC=45°,∴BH=DH.…… (5 分) 在△BGH 和△DFH 中, △BGH≌△DFH(ASA),∴BG=DF. ……(7分) 在△BDE 和△GDE 中, △BDE≌△GDE(ASA)∴BE=GE, (8分） 24.(1)= 解析:∵AB 和 CD互相平分,∴AO=BO,CO=DO.在△AOC 和△BOD 中, ∴ △AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分) (2)26° 解析:∵AC和EF互相平分,∴AO=CO,EO=FO.在△AOE 和 △COF 中, ∴ △AOE ≌△COF(SAS),∴∠EAO=∠FCO=50°.∵BC=AD,BC∥AD,∴∠BCA=∠DAC.在△BCA 和△DAC 中, ∴ △BCA≌△DAC(SAS),∴ ∠ACD =∠BAC =24°,∴ ∠EAB =∠EAO-∠BAC=50°-24°=26°⋯(4分) (3)如图①,E是DC的中点,延长AE到点 F,使得EF=AE,连接CF,∴DE=EC.在△ADE和△FCE中. .△ADE≌△FCE(SAS),∴∠DAE=∠CFE,AD=FC.……(5分) ∵AD 平分∠EAB,∴ ∠DAE=∠BAD,∴ ∠CFE =∠BAD.在△ADB 和△FCA 中, △ADB≌△FCA(AAS),∴AC=BD⋯(7分) (4)如图②,过点B作BE∥AC,且BE=AC,在BA上截取 BH=AP,连接CH,HE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) ∵AB=AC,AP+AQ=AB,AB=AP+BP,AC=AQ+CQ,∴AQ=BP,CQ=AP=BH.∵AC∥BE,∴∠A=∠EBH.∵ AC=BE,AP=BH,∴△ACP≌△BEH(SAS),∴ CP= HE.∵ CB =BC,∠ABC=∠ACB,CQ=BH,∴△CBQ≌△BCH(SAS),∴ CH=BQ,…………(9分) ∴BQ+CP=CH+HE,∴当点 C,E,H共线时,BQ+CP有最小值.此时∵AC∥BE,∴∠HAC=∠HBE.∵∠AHC=∠BHE,AC=BE,∴△ACH≌△BEH(AAS),∴AH=BH,CH=HE,∴H是AB的中点,此时m的值最小,最小值为2×4.5=9.∴m=BQ+CP<BC+BE=11, 9≤m<11,. 整数m的值为9或10. ……………… (10分) 25. (1)是 解析，如图①，△ABC可以分别成两个小的等腰三角形,∴△ABC 是“可两分三角形” (1分) （2）答案不唯一，如如图②，图③所示. (5分) （3）如图④,图⑤所示 (7分) (4)当AD=AE时,如图⑥,∴ 解得x=20;……(8分) 当AD=DE时,如图⑦,∴ 解得x=40;(9分) 当AE=DE 时,如图⑧,∵90°-x°+x°≠60°,∴这种情况不成立. 综上,x的值为20或40 (10分) 26.(1)∵△ACB是等腰直角三角形,∠ACB=90°, ∴AC=BC,∠CAB=∠ABC=45°, (1分) ∵△BCD 是等边三角形,∴ BC = CD = BD,∠BCD = 60°, ∴∠ACD=30°,AC=CD,∴ ∠CAD=∠CDA=75°,∴ ∠BAD=75°-45°=30°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分) (2)∵∠ECB=90°,∠EBC=60°,∴∠E=30°.由(1)知∠DCE=30°,∠CAD=∠CDA,∴∠E=∠DCE,∴ED=CD=CA,∠EDA=45°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) ∵∠EDA=∠CAF=45°,∴△AFC≌△DAE(ASA),∴AE=CF.………………………………………………………………………………………………………………………… (5分) (3)如图,连接PB,作 PM⊥GH于点 M,PN⊥BH 于点 N,由 (2)知DE=CD=BD,∴DH垂直平分 BE,∴∠EHD=∠BHD=60°,∠DEH=∠DBH=30°,∴∠GHB=∠BHC=∠MHC=60°,即HP平分∠MHN,∴PM=PN. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) ∵点 P 在 BG 的垂直平分线上,∴ PG=PB,∴ Rt△PMG≌Rt△PNB(HL),∴∠MGP=∠NBP.………………………………………… (7分) ∵∠1=∠2,∴∠GPB=∠GHB=60°,∴△GPB 是等边三角形,∴BP=BG. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) ∵DH 垂直平分 BE,∴ EG = BG = BP.∵ ED = BD = BC, ∴ Rt△BCP≌Rt△EDG(HL),∴DG=CP=6,DE=BC=a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分) ∵∠CBH=∠DBH=30°,BD=BC,BH=BH,∴△DBH≌△CBH(SAS),∴DH=CH=CP+HP=10,∴ GH=16, ∴ ……(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $