4.1线段、射线、直线常见的九种题型 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

4.1线段、射线、直线常见的九种题型 目　录 题型一　直线、射线、线段的定义与表示（概念辨析） 题型二　几何图形与语言描述（观察图形、点与图形的位置关系） 题型三　基本事实与性质的应用（两点确定一条直线、两点之间线段最短） 题型四　线段的中点与和差计算（含分类讨论） 题型五　线段的计数与车票问题 题型六　直线相交的交点个数（两两相交规律） 题型七　尺规作图（作射线、直线、线段及延长） 题型八　线段动点问题（含数轴动点） 题型九　线段的综合应用（折叠、对折、特殊定义、数轴整点、阅读） 题型一　直线、射线、线段的定义与表示（概念辨析） 【解题技巧】直线：用两个大写字母或一个小写字母表示，无端点，可向两端无限延伸，不能度量长短；射线：用端点和射线上一点表示，端点字母写在前面，有一个端点、只能向一端无限延伸、不能度量；线段：用两个端点表示，有两个端点、不延伸、可以度量。判断概念说法对错时重点核对：直线/射线能否度量、射线的端点与方向是否相同、两条射线/直线是否为同一条（端点相同且方向一致的射线才是同一条射线）。 1．下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 2．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 3．下列说法中，①射线的长度为1000m；②孙悟空飞了一条十万八千里的直线；③过点A，B可以画两条不同的直线，分别是直线和直线；④射线的端点是A点．其中正确的个数为（ ） A．3 B．0 C．1 D．4 4．下列叙述正确的是（　　） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 5．下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 6．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 7．如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上，点在直线外 B．射线与射线不是同一条射线 C．直线还可以表示为直线或直线 D．图中有直线3条，射线2条，线段1条 8．下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短； ②若线段．则点是线段的中点； ③连接两点的线段叫做这两点的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有______（填序号）． 题型二　几何图形与语言描述（观察图形、点与图形的位置关系） 【解题技巧】把几何语言与图形对应时，先抓住文字中的关键词：“延长线”“反向延长线”“经过点”“相交于点”“在直线上/外”，再到图中确认点的位置（在线段上、延长线上、直线外）。判断“射线是否经过某点”，看该点是否在射线延伸方向上；判断“两条射线是否为同一条”，看端点是否相同且方向一致；数图中直线、射线、线段时，直线按条数、射线按端点和方向、线段按端点数对，逐个不重不漏。 1．观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 3．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 4．如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．延长线段到C   B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 6．下列有4种，，三点的位置关系，则点在射线上的是(   ) A． B． C． D． 7．下列几何图形与相应语言描述相符的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三　基本事实与性质的应用（两点确定一条直线、两点之间线段最短） 【解题技巧】本章两个基本事实：①两点确定一条直线（过两点有且只有一条直线），用于“固定木条、摆桌椅、弹墨线、植树成行、站成一排”等；②两点之间，线段最短，用于“改直河道、缩短路程、蚂蚁爬行最短路线、剪掉角后周长变小”等。解题时先判断现象对应的是哪个基本事实，再据此选择答案或说明理由。 1．值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 2．下面的现象可以用“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．天空划过一道流星 B．用两颗钉子在墙上固定一根木条 C．把弯曲的河道改直 D．经过平板上两点能弹出一条笔直的墨线 3．某班同学在操场上站成笔直的一排．只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过两点有一条线 C．两点确定一条直线 D．过不共线的三点可以确定三条直线 4．下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银本叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）    A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．直线是向两方无限延伸的 D．两点之间线段最短 6．如图，把弯曲河道改直，能够缩短航程．这样做的根据是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段 7．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有______（填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 8．要在墙上定一根木条，至少要用两颗钉子，这是因为______________． 9．在乡村的田野间，有一条连接村庄A和农田B的弯曲小路．为了方便村民们日常耕作、缩短从村庄到农田的通行距离，村民们决定将这条弯曲的小路改直．这一做法依据的数学基本事实是______． 10．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是______． 11．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 题型四　线段的中点与和差计算（含分类讨论） 【解题技巧】线段的中点把线段分成相等的两条线段。求线段长的一般步骤：先画出示意图并标出已知长度，再根据中点的定义、线段的和差倍分关系列出等式，代入已知量求解。注意“点在直线上”时可能有两个位置（在线段上或在延长线上），需分类讨论；“对折、剪断、中点间距离”等题也要考虑端点或对折点的不同情形，不要漏解。 1．已知在一直线上有、、三个点，且线段，，点是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，根据某机器零件设计图纸上的信息判断，点，在线段上，且，点为的中点，若，则（   ）． A． B． C． D． 3．如图，，，，则与之比为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 5．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 6．如图，C，D是线段上两点，若cm，cm，且D是的中点，则的长等于_______． 7．已知点、、在同一条直线上，线段，线段，点是的中点，则线段__________． 8．如图，是线段上的点，是线段的中点，是线段的中点，若，则长为______． 9．如图，已知B、C在线段上．    (1)图中共有 条线段； (2)若． ①比较线段的大小： （填：“>”、“=”或“<”）； ②若，，M是的中点，N是的中点，求的长度．    10．如图，，为线段上一点，点为的中点，且，．    (1)图中共有______条线段． (2)求的长． (3)若点E在直线上，且，直接写出的长． 11．如图，点、在线段上，，为线段的中点． 求线段的长，补全下面过程： ∵ ， ∴_____________， ∵ 为线段的中点， ∴_______ _______（理由：______________）， 12．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，且，求的长． 13．如图，点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． (1)求线段的长； (2)如果点在直线上，，求线段的长度． 14．如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 题型五　线段的计数与车票问题 【解题技巧】直线上有 n 个点，共有 条线段。数线段用“固定端点法”（以每个点为起点依次向后数）做到不重不漏。票价问题＝线段条数（同一两点间票价相同）；车票问题要考虑往返方向，种数是线段条数的 2 倍；握手、比赛场次等“每两人组合一次”的问题同样等于组合数。 1．在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（    ）条线段． A． B． C． D． 2．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 3．往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备_______种不同的车票 4．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为______． 5．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个． 6．（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 7．平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 题型六　直线相交的交点个数（两两相交规律） 【解题技巧】平面内两两相交的 n 条直线，交点最多有 1+2+3+…+(n−1)= 个；当所有直线都交于同一点时，交点最少为 1 个。解答时由特殊（2、3、4 条直线）归纳到一般规律；注意“两两相交”“最多”“最少”“不可能有几个交点”等关键词，作分类讨论。 1．在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 2．已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 3．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 4．2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有_______个交点． 6．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则______． 7．如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______． 8．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 题型七　尺规作图（作射线、直线、线段及延长） 【解题技巧】尺规作图使用无刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法。基本操作：作射线（以某点为端点画线并向一端延伸）；作直线（过两点画线向两端延伸）；作线段等于已知线段（用圆规在射线上截取）；延长线段并截取相等线段；作线段的和差（连续截取）。题目常要求“先作图再计算”，作图后按图中的线段关系（中点、和差）代入求值。 1．小明进行了如下操作，下列说法中错误的是（   ） ①作射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取； ④分别找到线段的中点E， A． B．      C．      D． 2．已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面内有 A，B，C三点，请在图中回答下列问题：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上任取一点D (不同于 B，C)，连接，并延长至点 E，使； (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 4．按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 5．如图，线段和点C． (1)尺规作图：作射线，并在射线上分别确定点D，E，使，点C是的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 6．如图所示，已知线段AB，点O为AB中点，点P是线段AB外一点． (1)按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹； ①作射线AP，作直线PB； ②延长线段AB至点C，使得． (2)在（1）的条件下，若线段AB＝2cm，求线段OC的长度． 7．如图，已知平面内四个点A，B，C，D分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹）    (1)连结，作直线； (2)作射线，并在射线上找点F使得； (3)若要在线段上建一所供电站O，向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 ． 8．如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到点，使，延长线段到点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，为的中点，求线段的长． 请将推理过程填写完整： 由题意得_______， 因为为的中点， 所以_______， 因为， 所以__________________． 9．如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小：_______． 10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图并回答问题． (1)分别画直线、射线，连接，延长到，使； (2)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是__________． 11．按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 12．如图，已知线段a、b，点D是线段的中点，C是线段上的点且． (1)作线段，使得（保留作图痕迹）； (2)若，求线段的长度． 题型八　线段动点问题（含数轴动点） 【解题技巧】线段动点问题先明确各点运动的方向、速度与起点，用含时间 t 的式子表示各点走过的路程及在某时刻的位置；再根据“某点为中点”“两点间距离”列方程求 t。注意分类讨论：点到达端点后可能折返、点在直线上可能有多种位置、“是否相遇”要分相遇前与相遇后。数轴上的动点则用数轴上两点间距离 |a−b| 列式。 1．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 2．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 3．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 4．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 5．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 6．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 7．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 题型九　线段的综合应用（折叠、对折、特殊定义、数轴整点、阅读） 【解题技巧】综合应用题往往把多个知识点结合（对折、中点、和差、分类讨论、阅读理解、新定义等）。对折问题：先确定对折点，剪断后按各段长度分类讨论；折叠凳、实际情境问题：从图中读出线段关系列式；数轴整点问题：考虑端点与整点是否重合两种情况；阅读题：先读懂材料中定义的算法或情境，再按示例步骤迁移求解，注意多解情形不要遗漏。 1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 3．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022 4．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 6．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有，，，四点，线段，，为线段的中点，求线段的长． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，为线段的中点， 所以____________． 因为， 所以______． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 任务： (1)将小华的解答过程补充完整． (2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长． (3)有两根木条，一根长，一根长．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端占重合，那么这两根木条的中点间的距离是______． 参考答案 题型一　直线、射线、线段的定义与表示（概念辨析） 1．B 【详解】解：A．射线和射线是两条不同射线，故此选项错误，不符合题意； B．两点之间，线段最短，此选项正确，符合题意； C．经过三个点（不重合）最多可画一条直线，此选项错误，不符合题意； D．直线上有三个点A、B、C，若,则点C是线段的中点（此时点C位于之间），点C也可能不是的中点（此时点C位于的延长线上,如图），此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．C 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．C 【详解】解：射线无法度量，故①错误； 直线无法度量，故②错误； 两点确定一条直线，故③错误； 射线的端点是A点，故④正确； 故选C． 4．A 【详解】A.线段可表示为线段，故说法正确，符合题意； B. 射线不可以表示为射线，故说法错误，不符合题意； C.直线不可以比较长短，故说法错误，不符合题意； D.射线不可以比较长短，故说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．D 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．C 【详解】解：平角是由公共端点的两条射线组成的角，直线无端点，故A项错误． 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，故B项错误． 用两个钉子固定木条，应用的是“两点确定一条直线”的公理，故C项正确． 高速公路取直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”的性质，故D项错误． 故选：C． 7．D 【详解】解：A、点在直线上，点在直线外，说法正确，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，说法正确，不符合题意； C、直线还可以表示为直线或直线，说法正确，不符合题意； D、图中直线有1条，线段有1条射线有2条，说法错误，符合题意； 故选D． 8．B 【详解】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短，①正确； 当点C不在线段上时，但C不是的中点，②错误； 连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，③错误； 将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，④正确； ∴正确的有①和④，共2个． 故选：B． 9．①③/③① 【详解】解：①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线，正确； ②射线是以A为端点，向无限延伸，射线是以点B为端点，向无限延伸， ∴射线和射线表示的不是同一条射线，故②错误； ③单项式的次数是3，正确； ④有理数分为正有理数，0和负有理数，错误； 综上所述，其中正确的说法有①③． 故答案为：①③． 题型二　几何图形与语言描述（观察图形、点与图形的位置关系） 1．B 【详解】（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）线段和线段是同一条线段，原说法错误，不符合题意； （3）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，也可能有1个交点，原说法错误，不符合题意； 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 2．B 【详解】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A，故本选项不符合题意； B、由图可得，点C在线段的上方，故点A不在线段上，故本选项符合题意； C、由图可得，射线与线段有交点，故射线与线段有公共点，故本选项不符合题意； D、由图可得，点A为直线a、b的公共点，故直线a、b相交于点A，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．C 【详解】选项A：图①中，点C在线段的延长线上，而非线段的延长线上，该选项错误； 选项B：图②中，射线的延伸方向不经过点A，该选项错误； 选项C：图③中，直线a和直线b相交于点A，该选项正确； 选项D：图④中，射线延伸后会与线段有交点，该选项错误． 故选： C． 4．D 【详解】解：A、点A在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 5．C 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 6．D 【详解】A.点C在射线BA外，不符合题意； B.点C在射线AB外，不符合题意； C.点C在射线BA上，不符合题意； D.点C在射线AB上，符合题意． 故选D． 7．B 【详解】由第1个图可知，直线a、b相交于点A，正确，符合题意； 由第2个图可知，射线与线段有公共点，故原说法错误，不符合题意； 由第3个图可知，延长线段和图示相符，符合题意； 由第4个图可知，直线不经过点A，故原说法错误，不符合题意； 故几何图形与相应语言描述相符的有2个． 故选B． 题型三　基本事实与性质的应用（两点确定一条直线、两点之间线段最短） 1．B 【详解】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点， ∴这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B 2．C 【详解】解：A、天空划过一道流星，点动成线解释，故此选项错误； B、用两颗钉子在墙上固定一根木条，根据两点确定一条直线解释，故此选项错误； C、弯河道改直是根据两点之间，线段最短解释，正确； D、平板弹墨线，根据两点确定一条直线解释，故此选项错误； 故选： C． 3．C 【详解】解：∵只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了， ∴依据是：两点确定一条直线． 故选：C． 4．C 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是两点确定一条直线，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是两点之间，线段最短，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是两点确定一条直线，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是两点之间，线段最短，符合题意； 故选：C． 5．D 【详解】用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短， 故选：D． 6．B 【详解】解：把弯曲河道改直，能够缩短航程．这样做的根据是两点之间，线段最短； 故选B． 7．③ 【详解】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，依据“两点确定一条直线”； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，依据“两点确定一条直线”； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，依据“两点之间，线段最短”． 故答案为：③ 8．两点确定一条直线 【详解】解：由直线的性质知：在墙上固定一根木条至少要两个钉子，这是因为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 9．两点之间，线段最短 【详解】解：村庄A和农田B是两个点，弯曲小路是曲线，改直后成为线段，依据数学基本事实“两点之间，线段最短”，从而缩短通行距离． 故答案为：两点之间，线段最短． 10．两点之间线段最短 【详解】解：他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 11．(1) 如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． (2) 如图，即为所求最短路线． 或 或或 【详解】（1）略 （2）略 题型四　线段的中点与和差计算（含分类讨论） 1．C 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选：C． 2．A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 3．B 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．D 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 5．C 【详解】解：由，得， ， ， E、F分别是的中点， ，， ， 解得：， ， 故选：C． 6．5 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：5． 7．或 【详解】解：如图1， 当点A在线段上时，， ∵点M是的中点， ∴， ∴； 如图2， 当点A在线段延长线上时， ， ∵点M是的中点， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或﹒ 8．5 【详解】解：∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 9．(1)6 (2)①；②17 【详解】（1）解：图中的线段有，共6条， 故答案为：6． （2）解：①，， ， 故答案为：； ②，， ， 是的中点，是的中点， ， ， ． 10．(1)6 (2) (3)或 【详解】（1）解：图中共有6条线段； 故答案为：6； （2）点为的中点， ， ， ， 且，， ； （3）当在点的左边时， 则且，， 当在点的右边时， 则且，， ． 综上，或． 11．，10，，5，线段中点的定义 【详解】解：求线段的长，补全下面过程如下， ∵ ， ∴ ， ∵ 为线段的中点， ∴ （线段中点的定义）； 故答案为：，线段中点的定义． 12．(1) (2)或 【详解】（1）解：∵，点C是的中点，点D是的中点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，又， ∴， 当点在点的左边时，， 当点在点的右边时，． 综上：的长为或． 13．(1) (2)或 【详解】（1）解：点、分别是、的中点，，， ，， ， ． 故答案为：． （2）解：①当点在线段上，，则在线段间，且靠近点， 有． 点分别是的中点，， ． ，， ． ， ． ②当点在线段的反向延长线上，则靠近点，有， ， ． 综上所述：如果点在直线上，线段的长度为13cm或7cm． 故答案为：13cm或7cm 14．(1)2 (2)7 【详解】（1）解：∵点C在线段上，，， ∴，    ∵点M是的中点， ∴． （2）∵M是的中点，     ∴，    ∵点N在线段上，，     ∴， 又∵，     ∴， ∴． 题型五　线段的计数与车票问题 1．C 【详解】解：这个点可以构成：（条）， 故选：C． 2．B 【详解】解：（种）， ∴要为这次列车制作的单程火车票6种． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直线、射线、线段，掌握同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分是解答本题的关键． 3．20 【详解】解：此题相当于一条线段上有3个点， 有多少种不同的票价即有多少条线段：4＋3＋2＋1＝10； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2＝20． 故答案为：20 4．或 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 5．5 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 6．（）；（）；（）；（）①种；②种 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 7．(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 题型六　直线相交的交点个数（两两相交规律） 1．A 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 2．B 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个， 故选：B． 3．C 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 4．A 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点； 3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点； … ∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有． 故选A． 5． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 6． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 7．1个或2个或3个 【详解】当平行于或时，交点的个数为2个； 当与和都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个． 故答案为：1个或2个或3个． 8． 5050个交点， 思考过程：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【详解】略 题型七　尺规作图（作射线、直线、线段及延长） 1．D 【详解】解：由作图可知，，， ， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， 因此，选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 2．C 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 3．(1) 如图所示，直线即为所求； (2)如图所示，射线即为所求； (3)如图所示，线段即为所求； (4)如图所示，线段和线段即为所求；    (5)共有8条线段 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，线段和线段，共有8条线段． 4．(1)点M在直线l外 (2) 如图1，射线即为所求； (3)如图1，直线即为所求； (4)9 【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外； 故答案为：M在直线l外； （2）略 （3）略 （4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域． 故答案为：9． 5．(1) 射线，点D，E即为所求： (2)8 【详解】（1）略 （2）解：是的中点，， ， ， ， ． 6．(1)①如图，射线AP，直线PB即为所求； ②如图，点C即为所求； (2) 【详解】（1）解：①略 ②略 （2）解：∵点O为AB中点， ∴ ， ∵， ∴． 7．(1) 解：如图，线段，直线即为所求；    (2) 如图，线段即为所求， (3) 点O即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．(1) 如图所示， (2)，，OC，BC，3 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 故答案为：，，，， 9．(1) 解：如图所示．   (2) 解：如图，点即为所求．   (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ∵、、三点不共线， ∴、、可构成；   根据三角形三边关系，得；   又∵， ∴． 故答案为：． 10．(1) 如图1，直线、射线，点即为所求； (2)如图2，连接，交于点，点即为所求，画图依据是两点之间线段最短． 【详解】（1）略 （2）略 11．(1) 解：如图所示，线段即为所求； (2)①6；②； ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 【详解】（1）略 （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③略 12．(1) 如图所示：线段即为所求； (2) 【详解】（1）解：略； （2）解：如图 ，，点D是线段的中点， ∴， ，， ， ． 题型八　线段动点问题（含数轴动点） 1．(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 2．(1)， (2)①或；② 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    3．(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 4．(1) (2) 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 5．(1)2cm (2) 解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)或 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）略 （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 6．（1），；（2）①；②或1 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 7．（1）12；（2）4cm；（3）或 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12； 故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即， 所以． （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为， 所以，所以； 如图，当点在的延长线上时， ， 综上所述，的长为或． 题型九　线段的综合应用（折叠、对折、特殊定义、数轴整点、阅读） 1．D 【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，的长度大于正方形的边长但小于d的长度， 所以长度最长的是d． 故选：D． 2．A 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 3．C 【详解】解：依题意得： ①当线段AB起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2020cm长的线段盖住2021个整点， ②当线段AB起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2020cm长的线段盖住2020个整点． 故选C． 4．C 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 5．C 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 6．(1)；5；2 (2) 当点在线段的延长线上时，如图3所示： (3)或 【详解】（1）解：因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 故答案为：；5；2； （2）解：线段，点为线段的中点， ， 又， ； （3）解：设木条，木条，，在同一条直线上， 端点，重合，的中点为，的中点为， 分两种情况讨论如下： 当点在线段上时，如图4所示： 的中点为， ， 又，的中点为， ， 端点，重合， ； ②当点在线段的延长线上时，如图5所示： 的中点为， ， 又，端点，重合， ， ． 综上所述：这两根木条的中点间的距离是或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $