25.2.1 配方法 （第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.1 配方法（第2课时） 一、教材分析 上节课学生已经会用直接开平方法解 x²=p 与 (x+n)²=p 两类方程，但像 x²+6x+4=0 这样的方程，左边不是现成的完全平方式，开平方这条路一下子走不通——这正是本课要跨过的第一道坎。本课的任务是借完全平方公式把左边“补”成平方式，让新方程重新回到上节课能开平方的形状，并把上节课的方法接在后面，串成一套完整的解题流程；再把二次项系数不是1的情形纳入，最后对配成的 (x+n)²=p 按 p 的符号分三种情况说清根的个数。 全课最容易出问题的地方有两处：一是补的常数——它应当是“一次项系数一半的平方”，学生常常只取一半忘了平方；二是二次项系数不是1时，必须先把两边同除以这个系数再补常数，跳过这一步，等式两边加的就不是同一个数。 二、学情分析 从往届随堂批改看，补常数环节出错最集中：约四分之一的学生在 x²+5x 后面补成 25/2（取一半后忘记平方），还有学生补成 5 本身；填 a²−2ab+b²=(　)² 时照搬加法式填 a+b 的也不少，错因是只看平方项、不核对中间项的符号。 二次项系数不是1的方程，约三分之一的学生会直接在 2x²−3x=−1 两边补 ，左边加的数乘过2、右边没有，等式悄悄变了形。开平方漏负号的旧毛病在本课还会复发，例题里要专门设一道让学生自己撞上。 三、教学目标 1. 给定 x²+px 型的二次式，能独立补上一次项系数一半的平方，并用语言说出补数的规律。 2. 能说出配方法的定义，按“移项、系数化1、补常数、开平方”四步，独立解二次项系数为1的一元二次方程。 3. 对二次项系数不是1的方程，能先把系数化为1再配方，正确解出两个根，或判定方程没有实数根。 4. 给定 (x+n)²=p，能按 p>0、p=0、p<0 三种情况分别说出根的情况，并说明 p<0 时无实数根的理由。 四、教学重点与难点 重点：用配方法解一元二次方程的完整四步。练到“每一步写得出依据、常数项一个不错、开平方根成对出现”。 难点：二次项系数不是1时的处理。学生卡在两个环节：一是想不到先除以二次项系数，二是除完以后一次项系数变成分数，补常数时通分出错。教学中先用填空把“一半的平方”练熟，再让学生自己发现“系数不是1先除”，教师不先说。 五、教学环境与资源准备 多媒体投影一套；印好的配方填空学案（含探究四个填空与当堂检测全部题目）；人教版九年级数学上册教材；红粉笔两支，用于圈出所补常数与开平方的±号；图1知识结构图制成投影片，供课堂总结使用。 六、设计思想 这节课不从定义讲起。先用两道完全平方公式填空把工具备好，接着四个填空让学生自己数出“补的数=一次项系数一半的平方”这条规律，再用它去解 x²+6x+4=0，让配方在学生手里自然发生。例1三小题按“系数为1、系数不为1、配方后无实根”三层排布，三种结局都见到，方法才算完整。学生的错误先暴露在黑板上，由同伴纠错，教师只在关键处追问。当堂检测覆盖选择、解方程与一道分组配方的拓展题，用红笔圈常数项的习惯贯穿全课。 七、教学过程（共六个环节，45分钟） 环节一 复习导入（约5分钟） 【师】黑板上两道填空，请两位同学上来补全，其他同学在学案上写：(1) a²+2ab+b²=(　　)²；(2) a²−2ab+b²=(　　)²。 【生甲】(1) 填 a+b，得 (a+b)²。 【生乙】(2) 我填 a+b——不对，展开中间项是 +2ab，和题目里的 −2ab 对不上。 【生丙】(2) 应该填 a−b：(a−b)²=a²−2ab+b²，中间项符号正好。 【师】（预设错误：填(2)时照搬第(1)题写成 a+b，错因是只核对平方项、不核对中间项的符号；纠正时让出错的学生把两个式子都展开，对着 −2ab 找括号里的符号。）完全平方公式就是今天的工具。上节课用直接开平方法解了 x²=p 和 (x+n)²=p，如果左边不是现成的平方式，还能开平方吗？这节课就解决它。（板书课题） 环节二 探究配方法（约12分钟） 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1) x²+10x+＿＿=(x+＿＿)²；(2) x²−12x+＿＿=(x−＿＿)²；(3) x²+5x+＿＿=(x+＿＿)²；(4) x²−(2/3)x+＿＿=(x−＿＿)². 【师】先做(1)(2)，做完想一想：补进去的数和一次项系数之间是什么关系？ 【生甲】(1) 补 25，得 (x+5)²；(2) 补 36，得 (x−6)²。补的数是“一次项系数一半的平方”。 【师】(3)(4) 一次项系数是奇数、分数，还适用吗？(4) 谁来说？ 【生乙】(3) 5 的一半是 5/2，平方是 25/4，所以 。 【生丙】(4) 2/3 的一半是 1/3，平方是 1/9，。 （预设错误：第(3)题有学生把常数补成 25/2，只取了一半、忘了再平方；纠正时把动作拆成“先取一半，再平方”两步，让出错学生对着 5/2 的平方重算一遍。）四个空填完，规律就摆在黑板上了：补的数=一次项系数一半的平方。 想一想 怎样解方程 x²+6x+4=0？能不能把方程 x²+6x+4=0 变成 (x+n)²=p 的形式呢？ 【师】左边 x²+6x 跟哪个平方式只差一点点？差多少？ 【生甲】差 9：x²+6x+9=(x+3)²。两边同时加 9：x²+6x+4+9=9，也就是 x²+6x+9=−4+9=5，即 (x+3)²=5。 【师】右边 p=5，接下来用什么方法？ 【生乙】直接开平方：x+3=±√5，x1=−3+√5，x2=−3−√5。 【师】回代验算 x1=−3+√5：x²+6x+4=(−3+√5)²+6(−3+√5)+4=9−6√5+5−18+6√5+4=0，左边等于右边，根是对的。刚才这套动作——“把左边配成完全平方式再开平方”——就是今天的主角。 环节三 归纳配方法（约6分钟） 【师】（板书定义）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。二次项系数为1时，补数有一条现成的公式：。那要是二次项系数不是1呢？ 【生甲】先把两边同除以二次项系数，化成1再配。 【师】对。（预设错误：有学生不除系数直接配，在 2x²−3x=−1 两边各加 ——左边加的数是右边加的数的2倍，等式已经不成立了；纠正时把两边加的数各自算出来比一比。）配成 (x+n)²=p 之后，根的情况由 p 决定，谁来把三种情况说全？ 【生乙】p>0 时有两个不等的实数根 x1=−n+√p，x2=−n−√p；p=0 时有两个相等的实数根 x1=x2=−n；p<0 时没有实数根，因为 (x+n)²≥0 永远成立，不可能等于负数。 【师】三种情况齐了。p=0 时“一个根”的说法要改成“两个相等的实数根”，这跟上节课 x²=0 的结论是一脉相承的。 环节四 例题精讲（约10分钟） 例1 解下列方程：(1) x²−8x+1=0；　(2) 2x²+1=3x；　(3) 3x²−6x+4=0. 【师】(1) 我板书，全班口述每步：移项得 x²−8x=−1；配方，两边加 ，得 (x−4)²=15；开平方 x−4=±√15；所以 x1=4+√15，x2=4−√15。第(2)题和(1)比，多了什么障碍？谁上来板演？ 【生甲】（板演）二次项系数是2，先化成1：移项得 2x²−3x=−1，两边除以2得 ，补 ，得 ，即 1/16，开平方 x−3/4=±1/4，得 x1=1，x2=1/2。 【师】验算 x2=1/2：，，左右相等。第(3)题大家独立完成，同桌互查。 【生乙】(3) 除以3得 x²−2x=−4/3，补1得 。负数开不了平方，(x−1)²≥0，所以这个方程没有实数根。 【生丙】我一开始把 −1/3 开方写成 继续算了，忘了负数没有平方根。 【师】（预设错误：把 p<0 的情形硬开平方，错因是只顾流程不看符号；纠正时回到环节三的结论——先看 p 的符号再动手。）三小题合起来正好是配方法的全貌：系数为1直接配，系数不为1先化1，配完先看 p 的符号再开方。 环节五 当堂检测（约8分钟） 完成下面四组题，同桌交换互查，教师巡视记录错例： 1. 一元二次方程 x²−6x−5=0 配方后变形为（　　） A. (x−3)²=14　　B. (x−3)²=4　　C. (x+3)²=14　　D. (x+3)²=4 2. 对 2x²−3x+1=0 配方，变形正确的是（　　） A. ，　B. ，　C. ，　D. 以上都不对 3. 解方程：(1) x²+10x+9=0；(2) x²−x−7/4=0；(3) 3x²+6x−4=0；(4) 4x²−6x−3=0；(5) x²+4x−9=2x−11；(6) x(x+4)=8x+4. 4. 拓展题（不作全班统一要求）：已知 2x²+y²+4x−6y+11=0，x、y 均为实数，求 xy 的值。提示：分组配方，利用平方的非负性，若干非负数相加为 0，则每一项都为 0。 【师】巡视发现三类问题：第1题有同学选C——(x+3)² 配对了，但右边 −5+9 算成 4；第3(5)题移项后常数算成 −20；第3(6)题展开 x(x+4) 后忘记把 8x 移过去合并。第2题错得最多：先除以2再配，除完一次项系数是 −3/2，配的是 9/16，选B的同学把 1/16 又乘了一次2。逐题答案与验算见“参考答案与解析”，对照订正。 环节六 总结与作业（约4分钟） 【生甲】配方法四步：移项、二次项系数化为1、两边加一次项系数一半的平方、开平方求解。 【生乙】配成 (x+n)²=p 后：p>0 两不等根，p=0 两相等根，p<0 无实数根。 【师】补两条：补常数之前先确认二次项系数已经化为1；开平方之前先看 p 的符号。今天例1的三小题，正好对应系数为1、系数不为1、无实数根三种情形。（出示图1，对照结构图把五步再读一遍。）作业：1. 教材习题25.2相关题目；2. 同步练习相应课时训练。 图 1 用配方法解一元二次方程的步骤结构 八、板书设计 25.2.1 配方法（第2课时） 一、配方规律：　（补“一次项系数一半的平方”） 二、四步：移项，二次项系数化为1，配方，开平方求解 三、根的三种情况：(x+n)²=p 　　p>0：两不等根 x1=−n+√p，x2=−n−√p；p=0：两相等根 x1=x2=−n；p<0：无实数根 四、例1：(x−4)²=15；； 无实数根 九、教学反思 环节二填空比预设顺利，但第(4)题 有6个学生把 1/9 写成 1/6，错因是把“一半的平方”做成了“除以3”，这说明分数情形还要单独再练。例1(2)约五分之一学生把 −1/2+9/16 算成 5/16，通分不过关；当堂检测第2题仍有近三分之一选B，除以2这一步在脑子里没扎下根——下次把“先除后配”写在学案顶端，检测前再口头提醒一次。第3(5)题移项出错的有8人，常数 −9+11 算成 −20，符号训练要回到课前3分钟小练。拓展题只有两个小组做完，xy=(−1)³=−1 的结果出来了，但多数学生卡在把 2x²+4x 拆成 2(x+1)²−2，分组配方的示范板书下次要提前备好。 参考答案与解析 第1题：答案 A。解析：移项得 x²−6x=5，两边加 ，得 (x−3)²=14。验算：把 (x−3)²=14 展开得 x²−6x+9=14，即 x²−6x−5=0，与原方程一致；C 的 (x+3)²=14 展开是 x²+6x−5=0，一次项符号不符。 第2题：答案 C。解析：2x²−3x=−1，两边除以2得 ，两边加 9/16，得 ，即 1/16。验算：把C式两边乘2，得 ，展开 2x²−3x+9/8=1/8，即 2x²−3x+1=0，与原方程一致；而B式 展开得 2x²−3x=−17/16，与原方程矛盾，故B错。 第3题： (1) (x+5)²=−9+16=16，x+5=±4，x1=−1，x2=−9。验算：1−10+9=0；81−90+9=0，两根均使左边为0。 (2) x²−x=7/4，补 ，得 ，，，。验算： 时，，其值为 2−1/4=7/4，方程成立。 (3) 两边除以3：x²+2x=4/3，补1得 ，，，。验算：，平方为 21/9=7/3，方程成立。 (4) 两边除以4：，补 9/16，得 ，其中 3/4+9/16=21/16，，，。验算：，平方为 21/16，方程成立。 (5) 移项合并得 x²+2x+2=0，补1得 (x+1)²=−1<0。因为 (x+1)²≥0 恒成立，所以原方程无实数根。验算：左边配方的每一步均为等式变形，判定依据是 p<0 的情形，结论可靠。 (6) 展开 x(x+4)=x²+4x，移项得 x²−4x−4=0，即 x²−4x=4，补4得 (x−2)²=8，x−2=±2√2，x1=2+2√2，x2=2−2√2。验算：x1=2+2√2 时，x²−4x−4=(x−2)²−8=8−8=0。 第4题（拓展题）：把原式按 x、y 分组配方：2x²+4x+11+y²−6y=2(x²+2x+1)+(y²−6y+9)+0=2(x+1)²+(y−3)²，即 2(x+1)²+(y−3)²=0。两个非负数之和为0，则 2(x+1)²=0 且 (y−3)²=0，得 x=−1，y=3，所以 xy=(−1)³=−1。验算：把 x=−1，y=3 代回原式：2×1+9−4−18+11=0，成立。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $