25.2.1 配方法（第2课时 配方法） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦配方法解一元二次方程，通过回顾完全平方公式、配方凑形练习及直接开平方法，搭建旧知支架，衔接二次项系数为1与不为1的方程求解，梳理配方法完整流程。 此设计以“化移配整开解”六步流程归纳培养推理能力，通过根的情况判断（k>0、k=0、k<0）发展模型意识，结合分层练习与中考真题拓展应用，帮助学生规范步骤、深化转化思想，为教师提供清晰教学路径与分层资源，提升课堂效率。

25.2.1 配方法（第2课时：配方法） 教学设计 课题 25.2.1 配方法（第2课时：配方法） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 （1）熟练掌握用配方法解二次项系数为 1、不为 1 的一元二次方程的完整步骤；能通过配方将方程化为 (x+h)²=k 的标准形式，并根据 k 的取值判断方程根的情况； （2）经历「观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解」的探究过程，归纳配方法通用流程，提升代数变形、归纳总结、逻辑推理能力； （3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性，通过分层探究与合作交流增强自主探究意识和学习自信心。 教学重点 用配方法解一元二次方程的通用步骤，熟练求解二次项系数为 1 与不为 1 的一元二次方程。 教学难点 二次项系数不为 1 时「先化系数为 1」的变形；配方时准确确定「一次项系数一半的平方」；根据配方后常数项正负判断根的三种情况。 教学方法 讲授法、探究法、类比迁移、小组合作、分层练习 教学准备 多媒体课件、学案 课后练习 必做：课本习题25.2第1(1、2)、课堂练习2(3、4、5)；探究性：25.2第1(3、4) 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景， 引入新课 1. 回顾完全平方公式： ；(a−b)²=a²−2ab+b²。 2. 配方凑形：对下列式子填空，使左边成为完全平方式：x²+6x+9=(x+3)²；x²−4x+4=(x−2)²。（口答需加多少：一次项系数一半的平方） 3. 提问：如何用直接开平方法解方程 ？学生口答：，即 。 教师过渡：若方程左边不是一个现成的完全平方式，可先通过配方「凑」成完全平方式再开方，这就是配方法。今天系统学习它解一元二次方程。（板书课题） 回顾 ，完成配方凑形，直接开方解 得 唤醒旧知，巩固「一次项系数一半的平方」的配方核心规律，回顾直接开平方法逻辑，为复杂方程的配方变形搭建支架。 二、探究点1： 二次项系数为1的配方 探究点1：探究二次项系数为 1 的方程配方解法。活动1：用配方法解方程 。 追问1：能否将方程转化为 的形式？转化的关键是什么？ 学生交流：可以转化，关键是利用完全平方公式把左边配成一个完全平方式。 追问2：怎样把左边配成完全平方式、右边化为常数？你能说明理由吗？ 学生按步骤口述，教师板书： 1. 移项：将常数项移到等号右边，得 ； 2. 配方：两边同时加一次项系数一半的平方 ，得 ； 3. 凑完全平方：； 4. 开方求解：，解得 。 师生小结：二次项系数为 1 的方程，配方核心是移项后再两边加一次项系数一半的平方。 完整配方 x2+8x+1=0：移项、加 得 ，开方得 从简单熟悉的方程入手，让学生完整经历配方流程、初步建立规范步骤，理解配方的本质是凑完全平方式，突破基础认知。 三、探究点2： 二次项系数不为1的配方 探究点2：探究二次项系数不为 1 的方程配方解法。活动2：用配方法解方程 。 追问1：此方程与上面讲的方程有何不同？学生回答：二次项系数不为 1。 追问2：如何转化为熟悉的方程形式并解出它？学生自主解题： 1. 化系数为 1：方程两边同时除以 2，得 ； 2. 移项：； 3. 配方：两边加一次项系数一半的平方 1，得 ； 4. 开方求解：，解得 。 教师强调：二次项系数不为 1 时，须先整体除以二次项系数化为 1，再移项配方。 将 2x2−4x+1=0 化系数为 1 得 ，配方得 ，求解 以对比设问引发认知冲突，让学生自主发现「二次项系数不为 1 需先化简」的关键步骤，突破本节课核心难点。 四、探究点3： 归纳配方法六步 探究点3：归纳配方法通用解题步骤。 活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程的步骤。学生交流讨论，教师归纳： 1. 化：二次项系数化为 1（方程两边同除以二次项系数）； 2. 移：常数项移到方程右边； 3. 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4. 整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项； 5. 开：根据平方根的意义开平方； 6. 解：解两个一元一次方程，得出方程的根。 归纳配方法六步：化系数→移项→配方→整理→开方→求解 通过归纳把零散过程系统化、流程化，培养归纳概括能力，形成标准化解题思维。 五、探究点4： 配方后根的情况 探究点4：探究方程根的情况。活动4：配方后方程为 ，k 的取值对根有什么影响？ 学生交流讨论，师生共同总结： 1. 当 时，方程有两个不相等的实数根 ； 2. 当 时，方程有两个相等的实数根 ； 3. 当 时，方程无实数根。 教师点拨：这为后续学习根的判别式 Δ 埋下伏笔。 讨论 中 k>0、k=0、k<0 三种情形对应根的三种情况 延伸配方应用价值，初涉根的判别知识，为后续课时学习埋下伏笔，完善知识体系。 六、典例精讲 【典型例题】 例1 解下列方程：(1) ；(2) ；(3) 。 【分析】(1) 二次项系数为 1，直接配方；(2) 二次项系数为 2，移项后两边同除以 2 再配方；(3) 类似配方，注意配方后右边符号。 【详解】解：(1) 移项，得 ；配方，得 ，即 ，由此可得 ，即 。 (2) 移项，得 ；二次项系数化为 1，得 ；配方，得 ，由此可得 ，即 。 (3) 移项，得 ；配方，得 ，因右边为负数，原方程无实数解。 教师用课件展示答案，强调配方所得右边为负即无实根、无需继续。 解 得 −3±2√2、 得 、 无实根 落实重点知识，规范含分数、根号及无实根情形的书写过程，提升分析解决问题能力。 七、当堂检测 1. 课本课堂练习（P8）第 1 题、第 2 题（1、2、3）。 2. 阅读材料（换元思想）：解方程 。 解：设 （y≥0），原方程化为 ，配方法得 ，解得 y=4 或 3；则 或 ，所以原方程的解为 、。 应用：已知 ，求 x²+x 的值。设 t=x²+x，则 ，配方得 ，解得 t=2 或 4，即 x²+x 的值为 2 或 4。 3. 中考真题（1）（2025·阿克苏·校考）解方程：。 解：移项得 ，配方得 ，则 ，解得 x=3 或 −1。 （2）（2025·宁国·校考）用配方法解方程 ，判断方程根的情况。 解：移项得 ，配方得 ，∵ 平方数非负、常数 ，∴ 方程无实数根。 教师巡视、个别指导，讲解换元与无实根判断，强调开方保留正负、化系数整除。 换元设 解 得 、；配方法解 、 通过课堂巩固、换元拓展与中考真题，强化记忆、反馈学情，让学生明确考点方向、熟悉题型、提升应考能力。 八、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分二次项系数为 1、不为 1 两种；（2）通用六步：化系数→移项→配方→整理→开方→求解；（3）配方后右边正、零、负决定根的三种情况。 2. 思想方法：核心为转化思想——将一般一元二次方程转化为可直接开方的完全平方方程，实现「降次求解」。 3. 易错提醒：（1）系数不为 1 必须先整体除以二次项系数再配方；（2）配方必须两边同加常数，只加左边破坏恒等性；（3）加的是化简后一次项系数一半的平方；（4）移项变号、开方勿漏正负号；（5）配方后右边为负直接判无实根。 　化移配整开解　平方非负。 回顾六步解题流程与 判根，整理转化思想与易错点 对本课知识总结，强化六步流程、公式恒等变形与根的情况判断等易错点，增强学习主动性与连贯性。 九、课后作业 必做题：课本习题 25.2 第 1（1、2）题、课堂练习 2（3、4、5）题。 探究性作业：课本习题 25.2 第 1（3、4）题；自主整理一道「配方后无实根」的错题并规范重做。 完成分层作业，规范六步书写，整理无实根错题 通过分层练习巩固配方法，帮助学生规范步骤、查漏补缺。 板书设计 25.2.1 配方法（第2课时：配方法） 主板书 一、核心依据 加「一次项系数一半的平方」 二、解题步骤 化 → 移 → 配 → 整 → 开 → 解 系数≠1 先整体除以系数 三、根的情况 配方得 k>0 两不等实根；k=0 两相等；k<0 无实根 四、易错警示 两边同加；移项变号；开方留± 右边为负即无实根 副板书 例1三小题示范 · 学生板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $