25.2.2公式法第1课时教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.2 公式法（第1课时） 教学设计（2026—2027学年 人教版九年级数学上册） 课题名称 25.2.2 公式法（第1课时） 课型 新授课 教学资源 课件 教学 内容解析 内容：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程 内容解析：《公式法》是在学生学习了直接开平方法和配方法解一元二次方程的基础上，推导一元二次方程的求根公式，并用公式法解一元二次方程。公式法是解一元二次方程的一般方法，它适用于所有一元二次方程，是初中代数中最重要的公式之一。通过配方法推导求根公式，体现了从特殊到一般的数学思想；通过根的判别式判断根的情况，渗透了分类讨论的数学思想。本节内容既是对配方法的深化，也为后续学习因式分解法、实际问题与一元二次方程奠定基础，起着承上启下的作用。 目标与 目标解析 单元整体目标 本章主要学习一元二次方程的概念、解法及其应用。一元二次方程是中学数学的核心内容之一，它在现实世界中有着广泛的应用。通过本章学习，学生应理解一元二次方程的概念，掌握配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的方法，能根据方程的特征选择适当的解法；能利用一元二次方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。 对应课标要求： ①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法（数字系数）解数字系数的一元二次方程； ②经历估计方程解的过程； ③能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 课时目标（核心素养导向） 1.【数学眼光】经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，体会从特殊到一般的数学思想，发展抽象概括素养和推理能力，感受数学公式的简洁美与统一美。 2.【数学思维】理解求根公式和根的判别式，能运用求根公式解一元二次方程，提升运算能力和逻辑推理素养，养成严谨求实的科学态度。 3.【数学语言】能规范书写用公式法解一元二次方程的步骤，能清晰表达解题思路，发展数学表达与交流素养，体会公式法的程序化思想。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能跟随教师的引导，完整经历从 ax²+bx+c=0 出发，通过配方推导求根公式的全过程。 达成目标2的标志：学生能正确运用求根公式解2—3道一元二次方程，步骤规范，结果准确；能根据判别式的值判断方程根的情况。 达成目标3的标志：学生能口述用公式法解方程的步骤（化一般式→定系数→算判别式→代公式→写根），书写过程条理清晰。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构看，学生已经学习了直接开平方法和配方法解一元二次方程，掌握了配方法的基本步骤，具备了推导求根公式的知识基础。九年级学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，能够进行含字母系数的代数变形。但学生在推导过程中容易出现以下困难：①配方时对一次项系数一半的平方处理不当；②根号下的式子变形容易出错；③确定a、b、c的符号时容易出错；④对判别式的意义理解不深刻。 困惑点或探索点 ①求根公式是怎样推导出来的——理解配方法在一般式中的应用； ②为什么要讨论 b²−4ac 的符号——理解根的判别式的意义； ③用公式法解方程时怎样正确确定a、b、c的值——注意各项系数的符号。 教学 重难点 教学重点 求根公式的推导过程；用公式法解一元二次方程。 教学难点 求根公式的推导；根的判别式与根的情况的关系。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：公式法是解一元二次方程的一般方法，适用于所有一元二次方程，是初中代数最重要的公式之一。掌握公式法，不仅能提高解方程的效率，也为后续学习二次函数、根与系数的关系等内容奠定基础。 学什么：求根公式的推导；求根公式的形式；根的判别式及其与根的情况的关系；用公式法解一元二次方程的步骤。 怎么学：采用“复习导入—探究推导—例题精讲—练习巩固—归纳总结”的教学方式。通过复习配方法引入，引导学生自主推导求根公式；通过例题精讲和变式练习，掌握公式法解方程的步骤；在探究过程中渗透分类讨论、从特殊到一般的数学思想。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 与设计意图 新知导入 （复习回顾） 【复习回顾】 问题1：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ ①化为一般形式；②移项；③二次项系数化为1； ④配方（两边加一次项系数一半的平方）；⑤开平方求解。 问题2：用配方法解方程 2x²−4x−1=0。 解：移项，得 2x²−4x=1； 【提出课题】 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）。能不能像配方法解具体方程那样，推导出一个通用的公式，直接代入求解呢？今天我们就来研究这个问题。 师：提出问题，引导学生回顾配方法。 生：回忆配方法的步骤，独立完成解方程。 师：点评学生的解题过程，强调配方的关键步骤。 师：追问——既然所有一元二次方程都可以写成 ax²+bx+c=0 的形式，能不能推导出一个通用公式？ 生：思考、猜想，进入新课学习。 评价要点：设计意图： 学生能否准确回忆配方法的步骤； 能否正确完成配方法解方程。 通过复习配方法，为推导求根公式做好铺垫；通过提出问题，激发学生探究欲望，体会从特殊到一般的思想。 概念探究 （新知建构） 【探究1】推导求根公式 任何一元二次方程都可以写成一般形式： ax²+bx+c=0（a≠0） 下面我们用配方法来解这个方程： 第一步：移项 ax²+bx = −c 第二步：二次项系数化为1 第三步：配方（两边加一次项系数一半的平方） 整理得： 第四步：开平方 ∵ a≠0，∴ 4a²>0。当 b²−4ac≥0 时，两边开平方得： 第五步：求解 这就是一元二次方程的求根公式。 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 【探究2】根的判别式 由上面的推导可知，一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况由 b²−4ac 的符号决定。 我们把 b²−4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 Δ 表示。 ①当 Δ=b²−4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 Δ=b²−4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； ③当 Δ=b²−4ac < 0 时，方程没有实数根。 【例1】用公式法解方程：2x²−x−1=0 解： ③ 代入求根公式： ④ 写出方程的根： 【方法总结】用公式法解一元二次方程的步骤：化一般式→定系数→算判别式→代公式→写根。 【例2】用公式法解方程：x²−2√2 x+2=0 解： ∴ x = 即 x₁ = x₂ = √2 【方法总结】当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，注意要写成x₁=x₂=…的形式。 师：引导学生一起推导求根公式，每一步提问。 生：跟随教师引导，一步步完成配方推导。 师：强调配方的关键步骤和注意事项。 师：引导学生讨论判别式与根的情况的关系。 生：思考、讨论，归纳三种情况。 师：出示例1，示范用公式法解方程的步骤。 生：观察教师示范，记录解题步骤。 师：出示例2，让学生尝试独立完成。 生：独立完成，指名板演。 师：点评板演，强调规范书写。 评价要点：设计意图： 学生能否跟随推导求根公式； 能否说出判别式与根的情况的关系； 解题过程是否规范，结果是否准确。 通过推导求根公式，培养学生从特殊到一般的推理能力； 通过判别式的讨论，渗透分类讨论思想； 通过例题示范，规范解题步骤，培养良好的书写习惯。 课堂练习 （知识巩固） 【基础练习】 1. 用公式法解方程：x²−4x−7=0 【答案】 x = 2. 用公式法解方程：3x²−6x−2=0 【答案】 x = 【提升练习】 3. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）2x²+3x−4=0； （2）16y²+9=24y； （3）5(x²+1)−7x=0。 【答案】 （1）a=2，b=3，c=−4 Δ=3²−4×2×(−4)=9+32=41>0，方程有两个不相等的实数根。 （2）化为一般式：16y²−24y+9=0 a=16，b=−24，c=9 Δ=(−24)²−4×16×9=576−576=0，方程有两个相等的实数根。 （3）化为一般式：5x²−7x+5=0 a=5，b=−7，c=5 Δ=(−7)²−4×5×5=49−100=−51<0，方程没有实数根。 师：布置练习，巡视指导。 生：独立完成基础练习，同桌互查。 师：指名学生口答第1、2题答案，点评易错点。 生：第3题独立完成，指名板演。 师：针对板演中的问题进行讲解，强调先化一般式再算判别式。 生：订正错误，反思解题过程。 评价要点：设计意图： 学生运算的准确率； 解题过程的规范性； 能否正确判断根的情况。 通过分层练习，由易到难，巩固公式法解方程的技能； 通过判断根的情况，深化对判别式的理解，培养分类讨论意识。 反思总结 （课堂小结） 【课堂小结】 1. 求根公式是什么？ （b²−4ac≥0） 2. 根的判别式是什么？它与根的情况有什么关系？ Δ=b²−4ac Δ>0：两个不相等的实数根； Δ=0：两个相等的实数根； Δ<0：没有实数根。 3. 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 化一般式→定系数→算判别式→代公式→写根。 4. 本节课你学到了什么数学思想方法？ 从特殊到一般的思想、分类讨论思想、程序化思想。 师：引导学生回顾本节课所学内容。 生：自主发言，总结收获与困惑。 师：归纳总结，强调重点和易错点。 生：整理笔记，提出疑问。 评价要点：设计意图： 学生能否系统梳理本节课知识； 能否说出求根公式和判别式的意义。 通过自主总结，培养学生归纳概括能力； 通过梳理知识脉络，形成完整的知识体系。 板书设计 25.2.2 公式法（第1课时） 一、求根公式： （b²−4ac≥0，a≠0） 二、根的判别式：Δ=b²−4ac Δ>0 → 两个不相等实根 Δ=0 → 两个相等实根 Δ<0 → 无实数根 三、解题步骤： 化一般式→定系数→算Δ→代公式→写根 四、例题示范：（略） 学科网（北京）股份有限公司 $