第一章 二次函数单元检测卷-2026-2027学年浙教版数学九年级上册

浙教版九年级上册第一章 二次函数单元检测卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1 C． D． 2．抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x﹣5）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣1 3．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y的值 … ﹣22 ﹣7 2 5 2 … 当x＝3时，函数y的值是（　　） A．2 B．5 C．﹣7 D．﹣22 4．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 5．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上的动点．设x＝BD，，y2＝S△ACD，则y1，y2与对应的x满足的函数关系分别是（　　） A．二次函数，一次函数 B．二次函数，二次函数 C．一次函数、一次函数 D．一次函数、正比例函数 6．点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 7．下列表格是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x ﹣2.14 ﹣2.13 ﹣2.12 ﹣2.11 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A．﹣2＜x＜﹣2.14 B．﹣2.14＜x＜2.13 C．﹣2.13＜x＜﹣2.12 D．﹣2.12＜x＜﹣2.11 8．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 9．已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，则二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．则下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．c＞0 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．y关于x的二次函数y＝x2﹣2x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是___________ ． 12．如图二次函数与一次函数y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 ___________ ． 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是_______________ ． 14．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，y的取值范围是___________ ． 15．已知A（x1，2026），B（x2，2026）是二次函数y＝ax2+bx+2026图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2026的值为_________ ． 16．如图，两条曲线关于y轴对称，y轴左侧的部分可以用y＝（x+1）2（x≤0）表示．垂直于y轴的直线与两条曲线依次相交于点A，B，C，D．若AB＝BC＝CD，则AD的长为_____ ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点P（﹣1，4）是否在该二次函数的图象上． 18．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，它的图象顶点为A，并且与y轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当0＜x＜3时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围． 19．已知抛物线y＝ax2﹣4x+5经过点A（1，2）． （1）求a的值和图象的顶点坐标； （2）若点B（m，n）在该抛物线上，且3＜m＜5，求n的取值范围． 20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）． （1）当a＝1，b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）和C（2t﹣1，k）都在抛物线上，如果对于2at+b＝0，y1＜3＜k，都有y1＞y2，求t的取值范围． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 22．一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 23．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 24．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3（a≠0）． （1）若该抛物线经过点（1，0），求抛物线的顶点坐标． （2）若a＜0，点A（﹣3，y1），B（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若点P（x1，p），Q（1，q），M（x0，y0）均在该抛物线上，且对于任意x0，y0≤p始终成立，求证：pq≤12． 浙教版九年级上册第一章 二次函数单元检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．解：根据二次函数的定义自变量x的最高次数为2，且系数不为0． A：y＝3x﹣1，x的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B：y＝3x2﹣1，x的最高次数为2，且系数3≠0，符合定义，符合题意； C：，分母有未知数，不是二次函数，不符合题意； D：，分母有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 2．解：∵x轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵y轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴平移后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+1﹣2，即y＝（x﹣5）2﹣1． 故选：C． 3．解：由表格可知纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵x＝3关于直线x＝1的对称点为x＝﹣1， 由表格得x＝﹣1时，y＝﹣7， ∴当x＝3时，y＝﹣7． 故选：C． 4．解：根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质逐项分析判断如下： A、由二次函数解析式可知抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为 x＝h＝3，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为 （3，1），C错误，不符合题意； D、∵a＞0，开口向上， ∴当 x＜3 时，y随x的增大而减小， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 5．解：如图，作AE⊥BC于点E， 则BE＝2， ∴AE2， 设x＝BD， ∴CD＝4﹣x，DE＝2﹣x， ∴AE2+DE2＝12+（2﹣x）2， y2＝S△ACDCD×AE（4﹣x）×2x+4， ∴y1，y2与对应的x满足的函数关系分别是二次函数，一次函数． 故选：A． 6．解：点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则： ∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2， ∴对称轴为直线x＝﹣1，a＝﹣1＜0， ∴当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小， ∴A（﹣2，y1）点关于对称轴对称的点坐标为（0，y1）， ∵0＜1＜2， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 7．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根， 函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.01与y＝0.02之间， ∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12， 故选：C． 8．解：将y＝x2﹣2x﹣1配方得y＝（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴x＝3时函数取得最大值， 则y＝32﹣2×3﹣1＝2． 故选：D． 9．解：由条件可知a＜0，b＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx（a≠0）图象的开口向下，二次函数的对称轴， ∴对称轴应在y轴的右侧． 故选：C． 10．解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，A选项错误； a+b+c＝﹣4＜0，B选项错误； ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＜1时，y随x增大而减小，C选项正确； c＝﹣3＜0，D选项错误， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．解：已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2x+3， 则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，﹣2，3， 故答案为：1，﹣2，3． 12．解：∵当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方， ∴不等式x2+bx+c＜mx+n的解为﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，）， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 14．解：把二次函数解析式整理成顶点式形式可得：y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴二次函数的对称轴为：x＝2，且开口向上，最小值为﹣5， 当1＜x≤5时，y的取值范围是：﹣5≤y≤4； 故答案为：﹣5≤y≤4． 15．解：∵A（x1，2026），B（x2，2026）是二次函数y＝ax2+bx+2026图象上的两点， ∴A，B关于对称轴直线x对称， ∴x＝x1+x2， ∴y＝a（）2+b•（）+2026＝2026． 故选：2026． 16．解：设点A，B，C，D的纵坐标是a其中（a≥0），则（x+1）2＝a， 解得：，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 由关于y轴对称的点的坐标特征可知： 点D的坐标是，点C的坐标是， ∴，，， ∵AB＝BC＝CD， ∴， 解得：， ∴， ∴AB＝BC＝CD＝1， ∴AD＝AB+BC+CD＝3AB＝3． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 17．解：（1）由题知， 将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）在，理由如下： 将x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3得， y＝﹣1+2+3＝4， 所以点P在该二次函数的图象上． 18．解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， ∴A（2，﹣2）， 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）； （2）先利用对称性列表： x … 0 1 2 3 4 … y＝x2﹣4x+2 … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … 然后描点连线，得到y＝x2﹣4x+2的图象，作图如下， （3）二次函数y＝x2﹣4x+2， 当x＝0时，y＝2； 当x＝3时，y＝32﹣4×3+2＝﹣1， ∵二次函数的对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，ymin＝﹣2， ∴当0＜x＜3时，函数值y的取值范围﹣2≤y＜2． 19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5经过点A（1，2）， ∴a•12﹣4×1+5＝2， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）； （2）∵抛物线y＝x2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2，且开口向上， ∴当x≤2时，y随着x的增大而减小，当x≥2时，y随着x的增大而增大， ∵3＜m＜5， ∴当m＝3时，n＝2， 当m＝5时，n＝10， ∴2＜n＜10． 20．解：（1）当a＝1，b＝2时，抛物线为y＝x2+2x+3， ∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）； （2）∵2at+b＝0， ∴b＝﹣2at， ∴抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线xt， ∴点A（t﹣1，y1）到对称轴的距离小于B（t+2，y2）到对称轴的距离， ∵y1＞y2， ∴抛物线开口向下，a＜0， ∵点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）和C（2t﹣1，k）都在抛物线上，抛物线y＝ax2﹣2atx+3， ∴y1＝a（t﹣1）2﹣2at（t﹣1）+3＝﹣at2+a+3，k＝a（2t﹣1）2﹣2at（2t﹣1）+3＝﹣2at+a+3， ∵y1＜3＜k， ∴﹣at2+a+3＜3，﹣2at+a+3＞3， ∵a＜0， ∴t2﹣1＜0，2t﹣1＞0， 解得t＜1． 21．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵S1﹣S2＝5， ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5 ∴S△ACP﹣S△ABC＝5． 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵C（﹣1，0），A（4，0）， ∴AC＝5，OB＝OA＝4， ∴， ∴S△ACP＝15． 设P（t，﹣t2+3t+4）， ∴， ∴t＝1或t＝2， ∴设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，则P（1，6）或P（2，6）． 22．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵y＝﹣0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高度为h+1.82+0.2＝（h+2.02）m， ∴h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.23． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.23m． 23．解：（1）把点（4，5）代入y＝ax2+bx+5， 可得5＝16a+4b+5⇒16a+4b＝0⇒b＝﹣4a， 对称轴为， ； （2）当a＝1时，b＝﹣4， 所以抛物线为y＝x2﹣4x+5， 点（m﹣2，h）在抛物线上， 则h＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+5， 令t＝m﹣2， h＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1≥1， 当m＝4时等号成立， 故； （3）由b＝﹣4a， 把抛物线配方为顶点式：y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a 对称轴x＝2，顶点纵坐标为5﹣4a， 2﹣n≤x≤2+2n包含x＝2，且两个端点到对称轴的距离分别为n与2n（右端点更远）， 情形一：a＞0， 顶点是最低点， 故最小值在x＝2处： ， 当x＝2+2n时，y＝a（2n）2+5﹣4a＝4an2+5﹣4a， 将，y＝23代入上式， 所以6n2﹣1＝23⇒n2＝4⇒n＝2， 情形二：a＜0， 顶点是最高点，故最大值在x＝2处：， 当x＝2+2n时，y＝4an2+5﹣4a， 将，y＝﹣1代入上式， ． 综上所述，或． 24．（1）解：由题意，∵y＝ax2+2ax﹣3（a≠0）过点（1，0）， ∴a+2a﹣3＝0． ∴a＝1． ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4． ∴顶点为（﹣1，﹣4）； （2）解：由题意，∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小． 由题意得，对称轴是直线x1， ∵点A（﹣3，y1），B（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2， ∴|﹣3+1|＞|m+1|． ∴﹣3＜m＜1； （3）证明：由题意，∵P（x1，p），M（x0，y0）均在该抛物线上，任意x0，y0≤p始终成立， ∴当x＝x1时，函数取最大值为p． ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝x1＝﹣1时，p＝﹣a﹣3为最大值． 又∵当x＝1时，y＝q＝3a﹣3， ∴pq＝（3a﹣3）（﹣a﹣3）＝﹣3a2﹣9a+3a+9 ＝﹣3a2﹣6a+9 ＝﹣3（a+1）2+12≤12． ∴pq≤12． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $