第一章二次函数单元测试 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册数学二次函数单元测试，全面覆盖图像性质、平移、最值及实际应用，注重数学眼光、思维与语言的综合考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|顶点坐标、图像比较、交点坐标|结合图像辨析，考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|平移、最值、实际应用（飞机滑行）|设置分层问题，培养推理意识与数据观念| |解答题|8/72|解析式求解、面积问题、销售利润、综合探究（菱形存在性）|融入铅球运动、销售等真实情境，发展模型意识与应用能力|

2026-2027学年浙教版九年级上册数学第一章二次函数单元测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题(每题3分,共30分) 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 3．已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 4．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 7．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(每题3分,共18分) 11．抛物线的顶点坐标是________． 12．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 13．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 14．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 16．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 三、解答题(共72分) 17．(8分)已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 18．(8分)已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 19．(8分)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 20．(8分)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 21．(9分)如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．已知铅球落地时的水平距离为．    (1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？ (2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为时，此时铅球的水平距离是多少？ 22．(9分)已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为___________； (4)该函数图象向上平移___________个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 23．(10分)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个25元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种健身球每天的销售利润为W元． (1)如果销售单价定为32元，那么健身球每天的销售量是______个； (2)求W与x之间的函数关系式； (3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．(12分)已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年浙教版九年级上册数学第一章二次函数单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C D A B A B 1．C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 2．C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 3．B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 4．A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 5．C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 6．D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 7．A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 8．B 【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表中数据得当时，； 当时， 所以方程的解为． 9．A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 10．B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 11． 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 12． 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 13． 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 14． 【分析】首先写出抛物线的顶点坐标为，根据平移的方向和距离得到平移后的抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点坐标写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 平移后的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为 ． 15． 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 16． 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 17．(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 18．(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 19．(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 20．(1)， (2)或 【分析】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 21．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距远时，铅球离地面最高为 (2)此时铅球的水平距离为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度和高度为时铅球的水平距离在函数解析式中对应的变量是解题的关键． （1）将代入求得的值，再配方求出二次函数的最值即可； （2）将代入求出的值即可得． 【详解】（1）根据题意，将代入， 得， 解得， 当时， 答：当铅球出手后水平距离与这名同学相距远时，铅球离地面最高为． （2）令得， 解得（舍），， 答：此时铅球的水平距离为． 22．(1) (2) (3) (4)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点、连线，即可作图； （3）（4）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象经过点、，可得： ， 解得； （2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为，列表如下： x ….. 0 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. 该二次函数图象见答案； （3）解：由图象可知：当时，随的增大而增大， ∴的最小值为； （4）解：由图象可知：该函数的顶点坐标为，故该函数图象向上平移1个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 23．(1) (2) (3)销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）代入函数，求函数值即可； （2）根据销售利润单件利润销售量，计算即可； （3）根据二次函数的图象性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 则健身球每天的销售量是个； （2）解：根据题意，得； （3）解：，， 抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为， 当时，W取得最大值，为（元）， 则该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24．(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $