第一章二次函数章检测2026—2027学年浙教版数学九年级上册（浙江专用）

2026—2027学年上学期九年级数学第一章二次函数章检测（浙江专用） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（    ） A．y＝2x﹣3 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x） 3．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 6．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 8．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 10．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为____． 13．如果函数是关于x的二次函数，则_________． 14．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 15．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 16．二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 5 12 … 则当时，y满足的范围是______． 3、 简答题（本题共8小题，共72分） 17．（6分）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标． 18．（6分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 19．（6分）某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式． 20．（8分）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 21．（8分）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 22．（9分）已知是二次函数，求a的值． 23．（9分）在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l． 24．（20分）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级数学第一章二次函数章检测（浙江专用） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B A D D A A 1．D 【分析】先由一次函数的图象得到字母a、c的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，由二次函数的图象开口向下可知：，不一致，不符合题意； B、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，二次函数的图象开口向上可知：，不一致，不符合题意； C、由直线的图象经过第二、三、四象限可知：，由二次函数的图象开口向上可知：，不一致，不符合题意； D、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，由二次函数的图象开口向下可知：，符合题意；两函数图象交点在y轴上同一点，说明且相等，符合题意． 2．D 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A．y=2x-3，不是二次函数，故不符合题意； B．，不是二次函数，故不符合题意； C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函数，故不符合题意； D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函数，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 3．C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 4．B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 6．A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 7．D 【分析】根据二次函数表达式即可判断； 【详解】解：∵， ∴顶点坐标，对称轴， ∵， ∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上， ∴A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 8．D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 9．A 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 10．A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 11．10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 【详解】解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 12．（-1011，10112） 【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y=x，A1（-1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线A1A2为y=x+2， 解 得或， ∴A2（2，4）， ∴A3（-2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线A3A4为y=x+6， 解， 得或， ∴A4（3，9）， ∴A5（-3，9） …， ∴A2021（-1011，10112）， 故答案为（-1011，10112）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 13．0 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得． 故答案为：0． 14． 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 15．或 【分析】根据图象判断抛物线高于直线的区间即可． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线， ∴当或时，． 16． 【分析】运用待定系数法求出二次函数解析式，判断图象开口方向，求出对应的函数值，从而可判断出y的取值范围． 【详解】解：取（-3，0），（-2，-3），（0，-3）代入，得 解得， ∴ ∵ ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（-1，-4） 当时， ∴当时，y满足的范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键． 17．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）． 【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案； （2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点， 由此联立方程即可求得答案； （3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，，， ∴的“N”函数的表达式为； （2） ， 同理：， ∴与关于原点成中心对称， 又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点， ∴的图像与的图像只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：，， ∴k的值为3或－1； （3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数， 则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称， ∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点， ∴点，点O为AB的中点， ∴设（），则， 当时，， ∴点C（0，）， ∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点， ∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°， 当∠ACB＝90°时， 又∵点O为AB的中点， ∴AB＝2OC， ∵AB＝， ∴OC＝， ∴点C的坐标为（0，）， 当∠BAC＝90°时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为（0，5）， 综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 19． 【分析】根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一月份的销售额为50万元即可求出函数解析式． 【详解】解：根据题意可得二月份的销售额为万元， 则三月份的销售额为万元， 即 20．(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 21． 【分析】先由题意得到抛物线的顶点式，再将点代入解析式解方程即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线经过点， ，解得， 则这个二次函数的解析式为． 22．2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 23．运动员到篮筐正下方的距离为 【分析】根据图中给出的数据，结合二次函数解析式，列出一元二次方程，然后进行求解． 【详解】解：当时，， 解得（舍去）， ∴， ∴运动员到篮筐正下方的距离为． 24．(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $