精品解析：江西省九江市修水县八校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级练习（三）数学 说明：1．范围：上册全册． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，两个顶点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的3倍．设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 6. 图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A. B. C. D. 的最小值是 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC：AB=________． 8. 已知在一个不透明的袋子里面装有红球和白球共25个，每个球除颜色外均相同，其中红球有n个．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则_____． 9. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且，则______． 10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 11. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，在中，两点分别在边上，，如果，求． 14. 共享经济已经遍布人们的生活，给我们带来了很多的便利．小明收集了自己感兴趣的个共享经济领域的图标（共享出行、共享服务、共享物品、共享知识），并制成编号为的四张卡片（除内容外其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享物品”的概率是多少？ （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享服务”的概率． 15. 在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法 原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 （1）小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； （2）写出该方程正确的解答过程． 16. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 17. 大课间活动时，小明同学看到教学楼外的参天大树，于是想利用数学知识测量这棵大树的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时，当他测量教学楼前大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得树干到教学楼的距离，大树在教学楼墙上的影长，求大树的高． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某中学食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干规格相同的碟子，一摞碟子中碟子的个数与碟子的高度的关系如下表： 碟子的个数 碟子的高度 … … （1）当桌子上叠放着个碟子时，请写出此时这摞碟子的高度关于的函数关系式； （2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三种视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度． 19. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … （1）在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 20. 如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）求点的坐标； （2）当的面积是面积的时，求t的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值； （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，其中点A的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）点P是反比例函数图象第一象限内的一个动点，点Q是一次函数图象上的一个动点，若轴且，求此时点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点． （1）求证：； （2）已知． ①当时，求的面积； ②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习（三）数学 说明：1．范围：上册全册． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案． 【详解】解：奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是， 故选：． 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，通过计算每个一元二次方程的判别式，判断根的情况，当时，方程无实数根． 【详解】解：A、，，，，有两个不相等的实数根； B、，，，，有两个相等的实数根； C、，，，，无实数根； D、，，，，有两个不相等的实数根． 故选：C． 3. 如图，在中，两个顶点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的3倍．设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点的坐标，根据题意可得与的位似比为，再根据点B在第一象限，点在第三象限即可得到答案． 【详解】解：∵以点O为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的3倍， ∴与的位似比为， ∵点B的坐标是， ∴点B的对应点的坐标是， 故选：D． 4. 如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，利用反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形面积公式是解题关键．设出点的坐标，结合图象确定线段、的长度，再根据三角形面积公式建立关于的等式，进而求出反比例函数的表达式． 【详解】解：设， 由图象可得，，， 则， ， 该双曲线的表达式为． 故选：． 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力，理解三视图是解决本题的关键． 根据口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”即可得到解答． 【详解】解：由三视图可知，该几何体共2行3列，其分布情况如图所示： ∴构成这个几何体的小正方体的个数是6个， 故选：B． 6. 图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点． 选项A：通过角度关系，证出，根据平行线的性质可判断出； 选项B：由特殊值法可判断，当点P与中点重合时，，显然； 选项C：通过角度等量关系，可证出，，即； 选项D：由，可得取最小值时，有最小值，即由垂线段最短可求解； 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； 当点P与中点重合时， 点与点重合， 此时，但，故选项B错误； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项C正确； ∵，，且， ∴四边形为矩形，连接，如下图，可得， 当最小时，即最小，即点到上的点的距离最小， 根据正方形的性质可判断，当点为中点时，最小， 此时的长度为对角线的一半， ∵正方形边长为， ∴对角线长度为， ∴， ∴的最小值为，选项D正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC：AB=________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,所以,所以，设AB=1，AC=X,所以，解方程得，因为x＞0，所以，即AC:AB=． 考点：1．黄金分割；2．一元二次方程． 8. 已知在一个不透明的袋子里面装有红球和白球共25个，每个球除颜色外均相同，其中红球有n个．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故答案为：10． 9. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，由根的和等于17列出关于的方程，求解即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得解． 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点位于第二象限，点位于第四象限， ，， ． 故答案为：． 11. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．根据题意求出，根据位似图形的概念得到，，进而得出，，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段______． 【答案】或或8 【解析】 【分析】先将点坐标代入反比例函数中计算出点的坐标，再分类讨论为等腰三角形的情况，分别算出点的坐标，最后求得不同情况的值即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限，且在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， 点坐标为， ， 点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形， 当以为腰时，如图所示三种情况， 由图可知，点的坐标为或或， 或8， 当以为底边时，如图所示， 设点的坐标为，则， 作轴交轴于， 在中， ，，，， 为等腰三角形，， ， 解得：， 点坐标为， ， 综上所述：或8或， 故答案为：或8或． 【点睛】本题主要考查反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，采用分类讨论的方法解题，是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，在中，两点分别在边上，，如果，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和相似三角形的判定和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）先移项，再利用提公因式法求解即可； （2）根据可得，再利用其性质并结合题干条件即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ． 又， ， ． ， ． 14. 共享经济已经遍布人们的生活，给我们带来了很多的便利．小明收集了自己感兴趣的个共享经济领域的图标（共享出行、共享服务、共享物品、共享知识），并制成编号为的四张卡片（除内容外其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享物品”的概率是多少？ （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享服务”的概率． 【答案】（1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享物品”的概率是 （2）（抽到的两张卡片中包含“共享服务”） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握古典概型的概率公式（概率符合条件的结果数总结果数），并通过列表或树状图列举所有可能结果是解题关键． （1）明确总卡片数和“共享物品”对应的卡片数，直接用古典概型公式计算概率； （2）通过画树状图列举出“不放回抽取两张卡片”的所有可能结果，再找出包含“共享服务”的结果数，代入概率公式求解． 【小问1详解】 解：共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为的四张卡片（除内容外其余完全相同）， 小明从中随机抽取一张卡片是“共享物品”的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片中包含“共享服务”的结果为种， （抽到的两张卡片中包含“共享服务”）． 15. 在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法 原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 （1）小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； （2）写出该方程正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）；该方程正确的解答过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）小琪第二步忽略了的值可以为0； （2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：小琪从第二步开始错误，理由是的值可以为0，方程两边不能直接同时除以； ∴从第②步开始出现错误； 故答案为：②． 【小问2详解】 解：原方程可化为：， 移项，得， 因式分解，得， ． 16. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】（1） 线段即为所求， （2） 点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 大课间活动时，小明同学看到教学楼外的参天大树，于是想利用数学知识测量这棵大树的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时，当他测量教学楼前大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得树干到教学楼的距离，大树在教学楼墙上的影长，求大树的高． 【答案】大树的高是 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点G作交于点H，先证明四边形是矩形，．接着利用求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图，过点G作交于点H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ． 由同一时刻物高与影长成比例，可得， ， ． 答：大树的高是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某中学食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干规格相同的碟子，一摞碟子中碟子的个数与碟子的高度的关系如下表： 碟子的个数 碟子的高度 … … （1）当桌子上叠放着个碟子时，请写出此时这摞碟子的高度关于的函数关系式； （2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三种视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度． 【答案】（1） （2）叠成一摞后的高度为 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，从三个方向看几何体，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力，找出碟子个数与碟子高度的关系式是解题的关键． （1）由表中数据可得出碟子个数与碟子高度的规律，每增加一个碟子，高度增加，然后写出函数关系式即可； （2）根据从三个方向看得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，一个碟子高，每增加一个碟子，高度增加， 当桌子上放有个碟子时，碟子的高度为， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题图可知共有个碟子， 叠成一摞的高度为． 答：叠成一摞后的高度为． 19. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … （1）在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 【答案】（1）硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 （2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数的性质． （1）由表格可推得：为定值，即当时，是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， 是x的反比例函数， ∴硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由如下： 当时，， ∵，， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值． 20. 如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）求点的坐标； （2）当的面积是面积的时，求t的值． 【答案】（1）点；点 （2）或3秒 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将和分别代入，即可求得答案； （2）通过勾股定理求得，根据题意，可知，接着证明，得到，从而表示出，通过列出方程，解出答案即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， 点； 当时，， ∴点． 【小问2详解】 解：点， ， ，， ∵动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒， ． 如图，过点Q作，易得， ， 即， ， ． ∵的面积是面积的时， ∴， 解得或3秒． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值； （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，解一元一次方程，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为，，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【小问1详解】 解： ①解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”， 综上，是“邻根方程”的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：解方程， 得，． 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 【小问3详解】 解：一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，设方程的两个根为，， ，，． 由，得， ， 即， ． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，其中点A的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）点P是反比例函数图象第一象限内的一个动点，点Q是一次函数图象上的一个动点，若轴且，求此时点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）当时，自变量x的取值范围是或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，与不等式的关系等知识点． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求出直线和双曲线的另一个交点，再根据图象即可求解； （3）设点，则点．由，得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 反比例函数的表达式为； 把点代入，得， 解得， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 点． 由函数图象可得，当时，自变量x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：设点． 轴， ∴点． ， ， 解得（负值舍去）， ∴或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点． （1）求证：； （2）已知． ①当时，求的面积； ②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②的值为或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练结合菱形性质推导角和边的关系，利用相似三角形的判定定理（两角对应相等）是解题关键． （1）利用菱形中得角相等，结合旋转性质及，推导角的等量关系，再通过“两角对应相等”证明三角形相似； （2）①借助菱形对角线垂直平分的性质，结合相似三角形的对应边成比例求出，再用三角形面积公式计算； ②通过证明三角形相似得到边的比例关系，结合面积比转化为线段比，分两种面积比例情况计算． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：①如图，连接与交于点， 在菱形中，与互相垂直平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， 解得， ； ②， ， ， ， ， ， ，即， ， 当，即时， ； 当，即时， ， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $