精品解析：江苏省宜兴中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年度第一学期第一次月度独立练习 高二 数学 试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 如图，平面，四边形为正方形，是的中点，是上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 10. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 B. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成角为 C. 已知，，，为为空间向量的一个基底，则向量，，也能作为空间向量的一个基底． D. 在四面体中，若，，则． 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分 12. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为___________； 13. 在四面体中，为的重心，，，分别为侧棱，，上的点，若，，，与平面交于点，则________ 14. 我们学过与直线“”平行的直线可表示为“”，与之垂直的直线可表示为“”，这些可称为“直线系”方程，“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，有时可用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线．已知，是直线系：中的两条直线，若，则，之间的距离为________ 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 16. 已知直线：与直线：的交点为. （1）求过点且与直线：平行的直线的方程. （2）求过点，且点(4，0)到它的距离为3的直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值. （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次月度独立练习 高二 数学 试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用计算即可. 【详解】表示圆的充要条件是，即. 故选：C． 【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题. 2. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 3. 如图，平面，四边形为正方形，是的中点，是上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，因为四边形为正方形， 则，设， ，， 当时，，解得， 所以 4. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜率公式数形结合可得. 【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足． 故选：D. 5. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为点为的重心， 所以连接并延长交于点，则为的中线， 所以，且， 所以 . 6. 直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据直线方程求出直线的斜率，即可求出倾斜角；对于B，根据分母不为0，可得两个方程的区别；对于C，设出直线的点斜式方程，求出在，轴上的截距，根据截距互为相反数，列出方程即可求解斜率，即可求直线方程；对于D，根据空间中四点共面的条件即可求解. 【详解】对于A，将直线化为斜截式为：， 斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B，对于方程，因为，所以， 所以方程表示的直线不含点， 而方程过点， 所以二者不同，故B错误. 对于C，因为直线过点且在，轴上有截距， 所以直线斜率存在，且斜率不为0， 设直线方程为， 令，得， 令，得， 所以，即， 解得或， 所以直线方程为或， 即或，故C错误. 对于D，根据空间中四点共面的条件， 因为， ，所以，，，四点共面，故D正确. 10. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 B. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成角为 C. 已知，，，为为空间向量的一个基底，则向量，，也能作为空间向量的一个基底． D. 在四面体中，若，，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过举反例时，，可判断A错；通过计算直线l与平面α所成角为，可判断B错；由空间向量的线性运算得，知向量共面，可判断C错；作平面于点，连接，，，证明平面即可可判断D正确. 【详解】对于选项A：若，方向是任意的，不是平面α的法向量，故A错误； 对于选项B：若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于， 则直线l与平面α所成角为，故B错误； 对于选项C：因为， 设，则， 因为不共面，则，解得， 即，所以向量共面，不能作为空间向量的一个基底，故C错误； 对于选项D：如图，作平面于点，连接，，， 则，，分别为，，在平面上的射影． 因为平面，平面，则， 又因为，且，平面， 所以平面，且平面，则， 同理可证，可知是的垂心，则， 因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 且平面，所以，故D正确； 故选：ABC. 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分 12. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 在四面体中，为的重心，，，分别为侧棱，，上的点，若，，，与平面交于点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，，求解即可. 【详解】设的中点为，连接，，设与相交于，连接，则，， 因为，，三点共面，平面，平面，平面，所以与相交， 又因为平面，与平面交于点，所以与相交于点， 设，， 因为，，，所以， 因为，，三点共线，所以，解得， 由重心的性质可得，所以， 所以， 所以， 因为，，三点共线，所以， ，即，所以. 14. 我们学过与直线“”平行的直线可表示为“”，与之垂直的直线可表示为“”，这些可称为“直线系”方程，“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，有时可用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线．已知，是直线系：中的两条直线，若，则，之间的距离为________ 【答案】6 【解析】 【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】不妨设，， 因为，所以，所以， 由题意，所以或， 不妨设，此时，即， 由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 【答案】(1) 或 （2） 【解析】 【分析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可． (2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以 （1），， 因为， 所以， 整理得， 解得或， 所以的值为或. (2) 设直线的单位方向向量为， 则 由于， 所以， 所以点N到直线PM的距离 【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题. 16. 已知直线：与直线：的交点为. （1）求过点且与直线：平行的直线的方程. （2）求过点，且点(4，0)到它的距离为3的直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）先求得点的坐标，利用待定系数法求得所求直线方程. （2）分成斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得所求直线方程. 【详解】（1）联立直线和起的方程有：，解得：，即点(1.2) 设该直线的方程为：， 将(1，2)代入得：，所以， 所以该直线方程为：. （2）①当直线斜率存在时，设直线方程为：，即为， 设点(4，0)到该直线的距离为，则，解得， 即该直线方程为：，化简成一般式为：， ②当直线斜率不存在时，则该直线方程为：， 此时点(4，0)到直线的距离恰好等于3，符合题意. 综上：满足题意的直线方程有：或. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值. （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅱ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得 ，由此列式求得当时，M点即为所求． 详解：(1)取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. 因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AC＝CD，所以CO⊥AD. 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则，， 设为平面PCD的法向量， 则由，得，则． 设PB与平面PCD的夹角为θ，则=； (2) 假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1）， 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），， 则有，可得M（0，1﹣λ，λ）， ∴， ∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量， ∴，即，解得． 综上，存在点M，即当时，M点即为所求． 点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，由，可得，再根据斜率公式列式，联立方程，解出坐标即可； （2）设，则边的中点，由边上的高所在直线过点C，及边的中点在上，列式求出点C坐标，求出边所在直线的斜率，利用点斜式方程即可求解； （3）求出、所在直线方程，设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，结合点到直线的距离公式列式即可求解. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线：经过点A，所以， 因为边上的高所在直线的方程为：， 所以，即， 又，所以，即， 由得 所以点A的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的高所在直线：经过点C， 所以． 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上， 即，所以， 由得 所以点C的坐标为． 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 因为：过B，C两点， 所以边所在直线的方程为． 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即． 所以或． 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点， 所以的角平分线所在直线的斜率， 所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）存在点，使得直线，是定积直线，理由如下： 由题意可得联立，解得，且，故存在点，使得直线，是定积直线，且. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，且，计算即可； （3）设直线，直线，计算得，利用基本不等式即可求得取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题可设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为， 由题可得，即，解得或， 因为点在第一象限，所以，，所以不符题意，舍去， 因为直线与二次函数的图象交于点， 所以，解得（舍去负值），所以点坐标为. 【小问3详解】 由题可设直线，直线， 则由点到直线的距离公式得，， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $