精品解析：江苏宿迁市泗阳致远中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

致远中学2026-2027学年度高二第一次阶段检测 数学试卷 分值：150分 时间120分钟 一、单选题（本题共6小题，共30分） 1. 若直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得弦长为（ ） A. 8 B. C. D. 6 4. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若过点作圆的切线有两条，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是，则l的斜率为（ ）． A. B. C. D. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程是 B. 过点且垂直于直线的直线方程为 C. 直线在轴的截距是 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知平行直线，则.与的距离是__________. 13. 求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 14. 已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，则直线的斜率的取值范围是________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式方程． （1）过点，且斜率不存在的直线； （2）过点，平行于轴的直线； （3）直线在轴的截距为，在轴上的截距为，已知，求过的直线方程． 16. 已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 （1）当最大时，求直线方程； （2）当时，求直线方程； （3）求过且与圆相切的直线方程． 17. 已知圆和圆 （1）若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值 18. 已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，若圆C与y轴相切，与x轴交于A，B两点，且．直线l：． （1）求圆C的方程； （2）过直线l上的点P作圆的切线，切点为T，求当切线长最小时P点坐标； （3）M，N为圆C上两动点，且，求中点Q到直线l的距离的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知射线，.过点作直线分别交射线于点A，B. （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远中学2026-2027学年度高二第一次阶段检测 数学试卷 分值：150分 时间120分钟 一、单选题（本题共6小题，共30分） 1. 若直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用倾斜角求出直线的斜率，再把直线的一般式方程变形为斜截式，从中读出用表示的斜率表达式，最后建立两个斜率相等的方程，通过解方程求出参数的值. 【详解】 直线倾斜角 ， 直线斜率 ， 将直线方程化为斜截式：， ∴，即：， 直线斜率 ， 列等式：， ∴. 2. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得弦长为（ ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据相切求解半径，即可根据弦长公式求解. 【详解】由可得， 由于圆与轴相切，故圆的半径为， 圆心为，因此圆截轴所得弦长为. 4. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果. 【详解】将变形得， 所以是经过两直线和的交点的直线系. 设两直线的交点为，由得交点， 所以直线恒过定点， 于是点到直线的距离， 即点到直线的距离的最大值为. 故选：B. 5. 若过点作圆的切线有两条，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的标准方程为， 则，解得； 过点作圆的切线有两条，点在圆外， 点到圆心的距离大于圆的半径， 故，解得， 解得． 6. 若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线方程变形得曲线为半圆，由直线与半圆相切得的一个值，由直线过直径的一个端点又得一个值，结合图象可得的范围． 【详解】可化为且， 即曲线是以为圆心，1为半径的圆的下半圆， 作出曲线，如图， 作直线，而直线与直线平行， 当直线过时，， 当直线与半圆相切时，由得舍去）， 由图象可知的取值范围是． 故选：B． 7. 若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是，则l的斜率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，由线段PQ的中点是可求解，得到两点坐标，利用斜率公式即得解 【点睛】由题意，点P在直线上，点Q在直线上 设 故 解得： 故 则l的斜率为 故选：D 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定两条动直线的定点、，由两直线垂直得点的轨迹是以为直径的圆，将转化为点到定点的距离的平方，结合圆的性质求最小值. 【详解】由动直线过定点，得；由动直线过定点，即，得. 直线和直线， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，且，则； 点的轨迹为以为直径的圆，即圆心，半径，则点的轨迹方程为. 表示为点到点的距离的平方； ，即点在圆外； 圆上的点到Q点的最小距离； . 二、多选题:（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程是 B. 过点且垂直于直线的直线方程为 C. 直线在轴的截距是 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论，判断选项A；先求已知直线斜率，由垂直关系得所求直线斜率，再用点斜式求解，判断选项B；令直线方程中，所得y值即为y轴截距，判断选项C；先由的范围得直线斜率范围，再结合正切函数性质求倾斜角范围，判断选项D． 【详解】截距不为0时，设方程为，代入点得， 对应方程为； 截距为0时，直线过原点，方程为，故A错误； 直线的斜率，其垂直的直线斜率， 由点斜式得，整理得，故B正确； 直线，令，得，故交点为， 此时在轴的截距是，故C正确； 直线斜率，则， 设倾斜角为，，则， 当时，； 当时，， 故倾斜角的取值范围为，D正确． 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，即，令，即直线过定点， 又，点在圆内，所以直线与圆相交，必有两个交点，正确； 对于B，圆心到直线的距离为，圆的半径为2，为圆心到直线距离的两倍，所以圆上最多有三个点到直线的距离为1，错误； 对于C，圆的圆心为，半径为， 两圆心距离为5，当两圆有三条公切线时，两圆外切时满足，解得，正确； 对于D，设，若，则，结合化简可得，正确. 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知平行直线，则.与的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据求出，进而结合平行直线之间的距离公式计算即可. 【详解】因为，则，解得， 此时，即， 所以.与的距离是. 故答案为：. 13. 求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 【答案】（或整理为一般式） 【解析】 【分析】根据圆的几何性质列出关于圆心坐标的方程，即可求解. 【详解】设圆心， 由条件可知，直线的斜率为， 所以， 线段的中点为，线段的垂直平分线为， 则圆心在直线上，，所以， 所以圆心,, 所以圆的标准方程为. 14. 已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意直线的斜率，从而得到其方程，再根据题意得到圆心到直线的距离的范围，进而求解即可． 【详解】依题意可得圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，即垂直于轴，此时直线与圆相切，不符合条件． 则直线的斜率存在，且设为，又直线过点， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 若，则， 即，整理得，解得，或， 显然，即，整理得，解得， 综上直线的斜率的取值范围是． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式方程． （1）过点，且斜率不存在的直线； （2）过点，平行于轴的直线； （3）直线在轴的截距为，在轴上的截距为，已知，求过的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率不存在，直线垂直于轴； 直线过点，，即. 【小问2详解】 平行于轴，直线的斜率，即直线垂直于轴； 直线过点，，即. 【小问3详解】 当时，，此时直线方程为，同时直线过，则， 解得，得直线，即； 当时，，此时直线方程为，同时直线过， 则，解得，得直线，即； 综上所述，直线方程为或. 16. 已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 （1）当最大时，求直线方程； （2）当时，求直线方程； （3）求过且与圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内最长的弦为直径，且直径过圆心，进而即可求解； （2）根据点到直线的距离公式，及勾股定理即可求解； （3）分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，结合切线到圆心的距离等于半径即可求解． 【小问1详解】 依题意得圆的圆心为，半径为， 当最大时，即为直径，此时直线过圆心， 将代入直线的方程中，得，解得， 所以直线方程为． 【小问2详解】 结合（1）有圆的圆心为，半径为，又， 则圆心到直线距离为，即， 整理得，解得，或， 所以直线方程为或． 【小问3详解】 结合（1）有圆的圆心为，半径为，又直线过点， 当直线斜率不存在时，则直线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线距离为， 又直线与圆相切，则，即， 整理得，解得，此时直线方程为． 所以过且与圆相切的直线方程为，或． 17. 已知圆和圆 （1）若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线的方程； （2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结合根的判别式舍去不合要求的根. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相交于两点，则， 解得， 与相减得， 直线的方程为； 【小问2详解】 设，则联立， 得， 则， 则， ， ， 解得，或， 其中不满足，舍去，满足要去， 则实数的值为. 18. 已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，若圆C与y轴相切，与x轴交于A，B两点，且．直线l：． （1）求圆C的方程； （2）过直线l上的点P作圆的切线，切点为T，求当切线长最小时P点坐标； （3）M，N为圆C上两动点，且，求中点Q到直线l的距离的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，结合弦长公式即可求解， （2）根据垂直时距离最小，即可根据垂直关系求解直线方程，进而联立方程求解交点， （3）先得的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设圆的方程为：， 由于圆截轴所得的弦长，故， 结合，故， 因此圆的方程为. 【小问2详解】 由于圆心,圆心到直线的距离为， 因此直线与圆相离， 则， 要使最小，则最小即可，要使最小，则时，最小，此时，所在的直线方程为， 联立与的方程可得， 故 【小问3详解】 由于，且，是的中点， 故, 因此点在以为圆心，半径为的圆上， 由于到直线的距离为， 因此到直线的最小距离为. 19. 在平面直角坐标系中，已知射线，.过点作直线分别交射线于点A，B. （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出、，即可求得直线的方程； （2）根据题意求出面积的最小值时对应的点、的坐标，即可求出直线的方程． 【详解】解：（1）设，，则线段的中点为，； 所以，且， 分别化为：，． 解得，； 所以直线的方程为：，化为：． （2）设，，． 时，，，． ，时，， 又，化为， 所以，解得． 所以， 当且仅当时取等号． 综上可得：当的面积取最小值时，直线的方程为：，化为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $