2.2有理数的乘法与除法 强化训练 -2026—2027学年人教版数学七年级上册

2.2有理数的乘法与除法 一、单选题 1．下列与相乘等于1的是（　　） A． B． C． D． 2．若等式(-4)□(-6)=2成立，则□内的运算符号为（　　） A．+ B．- C．× D．÷ 3．有理数a，b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b＝0 D．ab＞0 4．下列计算正确的是（　　） A．（-1）+（-6）=+7 B．（-3）-（-4）=-7 C．（-4）×（-3）=12 D．（-3） ÷2=-1 5．某校食堂买了5袋白菜，以每袋千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（       ） A．千克 B．2千克 C．千克 D．千克 6．2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是(　　) A．0 B．1 7．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2， (1011)2换算成十进制数应为： ， 按此方式，则(101)2+ (1111)2 =(　　) A．(10000)2 B．(10101)2 C．(1011111)2 D．(10100)2 二、填空题 8．计算的结果是_________． 9．若规定，例，则　 　． 10．已知，则a 　 　b（填“”“”“”号）． 11．“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了　 　元． 12．某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是． 13．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 若从中取出2张卡片，乘积的最大值是　 　.商的最小值是　 　. 14．在数轴上，大于﹣2且小于4的整数的和为　 　 ，积为　 　 15．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件　 　个； （2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工　 　套产品． 16．小王、小李两人分别从A、B两地同时相向而行，且小王到B地后不停留而是马上继续前行．当小王走出60千米时，小李恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距24千米，则A、B两地之间距离为　 　千米． 17．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少　 　天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是　 　万元． 18．已知a，b，c为有理数，且a+b-c=0，abc＜0，则 =　 　. 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． （1）求规定的工期为多少天？ （2）甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？ 21．小红的妈妈在某模具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种模具280个，平均每天生产40个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是小明妈妈某周的生产情况(超产记为正、减产记为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 +9 -13 -4 +8 -1 +7 0 （1）根据记录的数据可知小红妈妈星期三生产模具　 　个； （2）根据记录的数据可知小红妈妈本周实际生产模具　 　个； （3）该厂实行“每日计件工资制”.每生产一个玩具可得工资6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖4元；少生产一个则倒扣2元，那么小红妈妈这一周的工资总额是多少元? （4）若将上面第(3)问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多?请说明理由. 22．某超市在“元旦”期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物金额 优惠办法 不超过100元的部分 不予优惠 超过100元（含100元）但不超过500元的部分 九折优惠 超过500元（含500元）的部分 八折优惠 （1）李明的爷爷一次性购200元的保健食品，他的妈妈一次性购300元的衣服问：他俩应该分别付款多少元? （2）小杨在该超市一次性购元的生活用品，当x大于或等于500时她应付款多少元?（用含x的代数式表示，写最简的结果） （3）如果小杨两次购物货款合计900元第一次购物的货款为a元，两次购物小杨实际付款多少元?（用含a的式子表示） 23．气象资料表明，高度每上升1千米，气温大约下降6℃． （1）我国著名风景区黄山的天都峰高约1700米，当地面温度约为16℃时，求山顶气温； （2）小明和小颖想出一个测量某山峰高度的方法：小颖在山脚，小明在峰顶，同时在上午10点测得山脚和山峰顶的气温分别为22℃和．你知道该山峰大约高多少千米吗？ 24．《浮生六记》中说：“佛手乃香中君子”，佛手闻起来沁人心脾，泡茶喝止咳润肺，备受人们害爱．某地种植佛手已有600多年的历史，某果农采摘了8个佛手，每个佛手的质量以为标准，超过部分的质量记为正数，不足部分的质量记为负数．记录如下：（单位：） （1）该果农采摘的8个佛手中，质量最重的一个比最轻的一个重多少千克？ （2）与标准质量比较，这8个佛手总计超过或不足多少千克？ （3）若佛手的售价为42元，则该果农售出这8个佛手可赚多少元？ 25．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： （1）若数轴上两点M、N表示的数分别为， ①M、N之间的距离可用含x的式子表示为__________； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________． （2）的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________； （3）若，则的最小值为_________． 26．任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则． （1）填空：______，_____，_____． （2）若，求m和n的值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、 (-4)+(-6) =-10，故不符合题意； B、 (-4)-(-6) =2，故符合题意； C、 (-4)×(-6) =24，故不符合题意； D、 (-4)÷(-6) =，故不符合题意； 故答案为：B. 【分析】将各项中的运算符合填入其方框内，计算后即可判断. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由数轴上点的位置得：a<-1<0<b<1，且|a|>|b|， A、a+b<0，正确，符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、 ，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据数轴上点的位置得出a<-1<0<b<1，且|a|>|b|，然后根据有理数的加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，据此即可判断A；用小数减去大数，差为负，据此可判断B、C；根据有理数的乘法法则，异号两数相乘，积为负数，可判断D. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A、（-1）+（-6）=-7 ，故A不符合题意； B、（-3）-（-4）=-3+4=1，故B不符合题意； C、（-4）×（-3）=12 ，故C符合题意； D、（-3） ÷2=-，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用有理数的加法法则，可对A作出判断；根据减去一个数等于加上这个数的相反数，可对B作出判断；利用同号两数相乘，得正，把绝对值相乘，可对C作出判断；利用有理数除法法则进行计算，可对D作出判断. 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】【解答】解：第一式： 2024减去它的 =； 第二式： 2024减去它的 ，再减去余下的 =； 第三式： 2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 =； … 以此类推 第2023式：2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的 =. 故答案为：B. 【分析】先求出前3个式子，从中找出规律，再利用规律求解. 7．【答案】D 8．【答案】3 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】28 【解析】【解答】解：根据题意，节省了140×（1﹣80%）=28元． 【分析】节省部分就是减少的部分，原来的20%. 12．【答案】143549 13．【答案】24；﹣7 【解析】【解答】解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：（﹣8）×（﹣3）＝24， 则商的最小值是：（4）÷(-1)＝﹣4， 故答案为：24，﹣7. 【分析】根据同号得正，异号得负的乘法法则只需要找出绝对值最大的两个负数即可；根据同号得正，异号得负的除法法则只需要用最大的正数除以最大的负数即可. 14．【答案】5；0 【解析】【解答】解：∵大于﹣2且小于4的整数是：﹣1、0、1、2、3， ∴它们的和是﹣1+0+1+2+3=5， 它们的积是（﹣1）×0×1×2×3=0． 【分析】先求出大于﹣2，并且小于4的整数，再求出它们的和与积． 15．【答案】24；106 16．【答案】48或112 【解析】【解答】解：分两种情况： （1）当两人相遇前相距24千米时， （60+24）÷（1） ＝84 ＝84 ＝112（千米）； （2）当两人相遇后相距24千米时， （60﹣24）÷（1） ＝36 ＝36 ＝48（千米）， 则A、B之间的距离为48或112千米． 故答案为：48或112． 【分析】根据题意分当两人相遇前相距24千米时，当两人相遇后相距24千米时两种情况求出A、B之间的距离即可． 17．【答案】86；38 18．【答案】1 【解析】【解答】解：∵abc＜0， ∴a、b、c三个数中有奇数个负数， ∵a+b-c=0， ∴b-c=-a，a-c=-b，a+b=c， ∴ ， 若c是正数，则a、b有一个是负数，不妨设a是负数， 原式= =1-1+1=1， 若c是负数，则a、b都是负数， 原式= =1+1-1=1， 综上所述，代数式的值为1． 故答案为：1． 【分析】根据有理数的乘法法则判断出a、b、c三个数中有奇数个负数，再表示出b-c，a-c，a+b，然后分情况去绝对值符号，求解即可． 19．【答案】 20．【答案】（1）20天 （2）方案③施工费用最少 21．【答案】（1）36 （2）286 （3）解：286×6+（9+8+7）×4+（13+4+1）×（-2） =1716+96+（-36） =1776（元） 答：小明妈妈这一周的工资总额是1776元； （4）解：286×6+6×4 =1716+24 =1740（元） 答：在此方式下小明妈妈按日计件的工资比按周计件的工资多． 【解析】【解答】解：（1）星期三生产模具数=40-4=36（个）； 故答案为：36. （2） 根据记录的数据可知小红妈妈本周实际生产模具 =407+9-13-4+8-1+7+0=286（个）； 故答案为：286. 【分析】(1)星期三小红妈妈生产的模具数为-4，每天按照40个为基数，所以用40-4即可求出； （2）小红妈妈一周7天生产的总模具数等于表格中7天生产的模具数总和再加上7天每天生产40个模具； （3）根据表格可知，星期一、星期四和星期六三天生产的模具超额完成，星期二、星期三和星期五生产的模具不足，一周总费用=一周生产的模具数每生产一个玩具可得工资+超额生产的模具数4+少生产模具数（-2），然后根据有理数的混合运算计算即可； （4）一周生产的总模具数为286个，若是按周计算，超出6个，则超出部分的奖励为64=24（元），总的工资等于总模具数6加上奖励的部分，计算结果与（3）的结果相比较即可. 22．【答案】（1）李明的爷爷付款190元；他的妈妈付款280元； （2）； （3）当时 两次购物小杨实际付款元，当时．两次购物小杨实际付款830元． 23．【答案】（1） （2）4千米 24．【答案】（1） （2）与标准质量比较，这8个佛手总计超过 （3）该果农售出这8个佛手可赚元 25．【答案】（1）①；②或1 （2）8， （3） 26．【答案】（1），，； （2）解：∵，，，∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，． 【解析】【解答】解：（1）依题意得：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 【分析】（1）根据新运算进行计算即可； （2）由和F(n)的非负性得到，，再根据可得出答案． （1）解：依题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $