专题02 一元二次方程 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题02一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，准确写出一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项。 2.掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特点选择简便解法。 3.理解根的判别式的意义，会用Δ=b2-4ac判断一元二次方程实数根的情况。 4.掌握根与系数的关系（韦达定理），在方程有实数根的前提下，不解方程求代数式的值、构造方程。 5.会列一元二次方程解决实际问题（增长率、面积、利润、传播、比赛握手问题），检验解的实际意义，舍去不合理解。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义 题型2.将一元二次方程化成一般式 题型3.根据一元二次方程的定义求参数 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 题型5.根据方程的解求参数 题型6.估算一元二次方程的解 题型7.直接开平方法解一元二次方程 题型8.配方法解一元二次方程 题型9.配方法的应用 题型10.公式法解一元二次方程 题型11.因式分解法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.利用判别式判断方程根的情况 题型14.根据方程根的情况求参数 题型15.一元二次方程根与系数关系 题型16.传播、握手循环赛问题 题型17.增长率类问题 题型18.数字问题、图形面积类问题 题型19.营销利润类问题 题型20.动态几何类问题 ✵核心知识梳理 知识点一、认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 ★三大判定条件： ①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 ★核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。。 知识点二：一元二次方程的四种解法 方法一.直接开平方法 定义：如果=16,则x=±，即x=±4，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二.配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◈化二次项系数为1； ◈使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◈方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◈如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三.公式法 公式法的定义：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四.因式分解法 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ●移项，将方程的右边化为0； ●化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ●转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ●求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点三、根的判别式 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点四、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点五、一元二次方程的应用 1.列方程解应用题标准步骤 审：读懂题意，找出已知量、未知量，梳理等量关系； 设：合理设未知数（直接设或间接设，带单位）； 列：根据等量关系，列出一元二次方程； 解：选择合适方法解方程，得到两个根； 检（双重检验，重点） ① 检验根是不是原方程的解； ② 检验根是否符合实际意义，舍去负数、超出范围等不合理解； 答：规范作答，带上单位，回答题目问题。 2.核心应用题型 增长率/下降率问题 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于连续两次的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 传播与裂变问题 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 图形面积问题 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型： 矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 组合计数问题 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 ✵易错提醒 1.判断一元二次方程，一定要注意a≠0；含参数题目，这个条件极易漏掉。 2.用配方法时，如果二次项系数不为1，先化为1，移项注意符号。 3.求根公式、韦达定理使用前，方程先整理成一般形式；韦达定理必须满足Δ≥0。 4.解方程时，不要直接两边同时除以含有未知数的代数式，容易丢失根。 5.实际应用题算出的根必须检验，负数根、不符合现实意义的正数根要舍去。 6.一元二次方程有两个相等实数根，不能说成只有一个实数根。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此判断即可． 【详解】解：、方程中含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，是一元一次方程．不是一元二次方程，不符合题意； 、方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 2．一元二次方程的各项系数之和等于________． 【答案】 【分析】方程已经是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数、一次项系数、常数项后相加即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程符合一般形式（） ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为 各项系数之和为 ． 3．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当公共根时，；当公共根时， 【详解】（1）解：一元二次方程①：的“换位方程”是． （2）解：∵方程①与其“换位方程”有公共根， ∴，， 两个方程相减得， 根据“换位方程”定义可得，即， ∴同时除以得，解得； 当公共根时，代入得，解得； 当公共根时，代入得，解得． 综上所述，当公共根时，；当公共根时，． 题型2.将一元二次方程化成一般式 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（     ） A．3，5 B．3，1 C．， D．3， 【答案】D 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再对应确定二次项系数与一次项系数． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数为，一次项系数为． 2．一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为_____，常数项为_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程化成一般形式为， 各项分别为， ∴一次项为，一次项系数为；常数项为 3．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (2)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (3)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (4)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 【分析】通过移项，合并同类项，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则，把方程转化成一元二次方程的一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】（1）解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （2）解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （3）解：， 去括号，得：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （4）解：， 左边展开，得：， 移项，合并同类项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项． 题型3.根据一元二次方程的定义求参数 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 2．若是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为，即， 解得． 3．已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 【答案】(1)当时，该方程为一元一次方程． (2)当时，该方程为一元二次方程． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，令二次项系数为0且一次项系数不为0求解． （2）根据一元二次方程的定义，令二次项系数不为0求解． 【详解】（1）解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数为0，且一次项系数不为0， 即，且， 解得． （2）解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， 解得． 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 1．有下列各数：①；②；③；④．其中是一元二次方程的根的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：当时，，故不是一元二次方程的根； 当时，，故是一元二次方程的根； 当时，，故不是一元二次方程的根； 当时，，故是一元二次方程的根； 综上所述，方程的根为和，对应序号②④. 2．已知A是方程的一个根，试求的值_______． 【答案】2029 【分析】由A是方程的一个根，将代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵A是方程的一个根， ∴，即，， 则 ． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3) 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 题型5.根据方程的解求参数 1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】将根代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 2．是方程的一个根，的值是______． 【答案】 【分析】已知方程的根，将其代入方程后等式成立，从而建立关于未知数的方程求解． 【详解】解：将代入方程，得， 即，解得． 3．已知是方程的根，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵是方程的根 ∴，即， ∴， ∴ ． 题型6.估算一元二次方程的解 1．根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的取值正负变化，确定方程根的所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 2．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果越接近时，说明未知数的值越接近方程的根． 利用时，，而时，可判断当时，． 【详解】解：的解，即为当时的取值， 由表知，当时，， 当时，， ∴在时，， 故答案为：． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 题型7.直接开平方法解一元二次方程 1．方程的根是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项得， 开平方得，即，. 2．方程的根是___________． 【答案】 【分析】利用直接开平方法求解． 【详解】解：开平方得， 即． 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)： 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式因式分解，即可求解； （2）将方程左边整理为完全平方式，用直接开平方法即可求解． 【详解】（1）解：对原方程移项得 ， 提取公因式得 ， 可得或， 解得，． （2）原方程变形得， 开方得 ， 解得，． 题型8.配方法解一元二次方程 1．用配方法解方程，下列变形中正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解：， 配方，得， 即． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 【答案】8 【分析】将原方程移项、配方化为的形式，得到和的值，计算即可． 【详解】解： ， ， ， 整理得， 对比，可得 ，， 因此． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，． 题型9.配方法的应用 1．已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差配方，利用平方的非负性判断差的符号，进而比较与的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 即， ∴． 2．用配方法将一元二次方程变形为，则_________，______． 【答案】 【分析】按照配方法的步骤变形，将方程整理为目标形式后，对比即可得到和的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同除以，将二次项系数化为，得， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 左边整理为完全平方形式，右边计算得， 将上式整理为题目要求的 的形式，得， ∴对比得，． 3．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)求的最小值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)的最小值为． (2)的值为． 【分析】（1）将代数式配方为完全平方式加常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）将等式左边配方为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求，的值，进而计算． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即的最小值为． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， 解得， ∴． 题型10.公式法解一元二次方程 1．若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根算式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为． 2．对于一元二次方程，若，则方程的两根为_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴方程的两根为． 3．按要求解题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)， 【详解】（1）解：原式 （2）， ，，， ， ， 题型11.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用因式分解法解答即可求解． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得. ∴或， ∴． 2．方程的根为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 3．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程可化为， 或， 解得，． （2）解：原方程可化为， 或， 解得，． 题型12.换元法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法可得一元二次方程必有一解满足，求解即可． 【详解】整理，得， ∵关于的一元二次方程有一解为， ∴一元二次方程必有一解满足， 解得． 2．若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 【答案】， 【分析】把看作整体，利用换元法对应原方程的解，即可求出新方程的解． 【详解】解：令，则方程可化为， ∵原一元二次方程的解为，， ∴的解为，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴一元二次方程的解为，． 3．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可； （）仿照题例“换根法”解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， ∵已知方程的根不为零， ∴，，， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为． 题型13.利用判别式判断方程根的情况 1．下列方程中有实数根的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式依次计算四个选项中方程的判别式值，根据时方程有实数根、时无实数根的规则判断出符合要求的选项即可． 【详解】解：分别计算各选项一元二次方程的根的判别式： 选项：． 选项：． 选项：． 选项：． 综上所述：只有选项的方程有实数根． 2．一元二次方程根的判别式为_______，当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程_______实数根． 【答案】 两 不相等 两 相等 没有 【分析】根据一元二次方程根的判别式定义和根的判别式，直接填充对应内容即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其根的判别式定义为． 根与判别式的关系为： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 3．新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． (1)判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（     ） ②与；（     ） ③与；（     ） (2)若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； (3)若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②， (3) 【分析】（1）紧扣新定义，对比两个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，满足，，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，即可判定． （2）①一元二次方程有两个相等实数根，首先保证二次项系数不为0，再利用根的判别式列方程求解参数．②先根据定义写出方程，分别求出的根与的根，代入代数式计算的值． （3）先把原方程整理成标准形式，写出它的一次和零方程；设公共实数根，两方程相减求出公共根，代回原方程求出，检验是否满足题意“有且只有一个公共实数根”． 【详解】（1）①，对应；，对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． ②，对应；它的一次和零方程应该是，即，而常数项改变，不符合定义，打×． ③，对应；对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． （2）①是一元二次方程， ，即． 方程有两个相等实数根，． 解得（舍去），． ． ②当，， 对照定义，， 则一次和零方程． 解方程：，，得． 解方程：，，得． ． （3）先整理原方程： 它的一次和零方程：． 设公共实数根为，代入两个方程： 两式相减，得． 情况1：，即，此时两个方程完全相同，公共实数根不唯一，不符合“有且只有一个公共实数根”，舍去． 情况2：，得． 把代入原方程：，解得． 检验：当时，原方程为，根为； 一次和零方程为，根为． 两个方程仅有公共根，满足题目条件． ． 题型14.根据方程根的情况求参数 1．关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得. 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】方程左边是实数的平方，恒大于等于0，若方程无实数根，则右边的代数式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 对任意实数，都有，方程没有实数根， ∴ ， 解得 ． 3．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； (2)若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． (3)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______． 【答案】(1)①；②或3 (2)3 (3)5或13 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）先根据一元二次方程的定义得出，则且，再由求根公式求出，，再根据“幸运方程”的定义及的取值范围确定的值； （3）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可． 【详解】（1）解：①当时，为， 此时， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； （2）解：∵是一元二次方程， ∴， ∴且， ∵， ∴方程的根为， ∴，， ∵为“幸运方程”， ∴两根都为整数， 又∵为正整数，且，， ∴m的值为3； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或64或81， 解得或或13， ∵m为整数， ∴或13， 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 综上所述，的值为5或13． 题型15.一元二次方程根与系数关系 1．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需求一元二次方程两根之和，利用根与系数的关系可直接计算，无需解方程求根． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得． 2．已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 3．关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在符合条件的实数，理由如下： 设方程两根为， 由根与系数的关系，得， ∵方程的两个实数根的倒数和等于， ∴， ∴，即， 解得， 由（）知需满足且， ∴不符合要求， 故不存在这样的实数． 【分析】（）根据根的判别式及二次项系数不为列不等式解答即可； （）设方程两根为，由根与系数的关系得，进而由两根倒数和为得到，即得，再结合（）的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 又∵二次项系数不能为， ∴， ∴的取值范围为且； （2） 略 题型16.传播、握手循环赛问题 1．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：． 2．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 【答案】 【分析】设这个年级共有个班，根据循环赛规则，每两个班之间仅比赛一场，总场次可表示为，据此列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设这个年级共有个班， 根据题意列方程，得 整理，得 解得，（舍去） 即这个年级共有个班． 3．某省城市足球联赛以“一市一队”的形式组织，每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行场比赛，求该省共有多少个市？ 【答案】该省共有个市． 【分析】在单循环赛制球赛问题中，，即可列方程，解出即可． 【详解】解：设该省共有个市，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴该省共有16个市． 题型17.增长率类问题 1．年南国书香节某分会场在月至月举办图书展销活动，销售额呈增长趋势，其中月份的营业额为万元，月份的营业额为万元．设月份到月份销售额的月平均增长率为，则依题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月到月共经历次增长，结合月平均增长率的意义表示月营业额，即可列出方程． 【详解】解：∵月份营业额为万元，月平均增长率为， ∴月份营业额为万元，月份营业额为万元， ∵月份营业额为万元， ∴可列方程为． 2．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 3．问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)日平均增长率为 (2)下调后每份套餐的售价为30元 (3)能，每份套餐应降价10元 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解； （2）根据总利润=每份利润×销售量列方程，结合“尽可能多售空库存”的要求选择对应解； （3）令总利润为1600元，通过一元二次方程的解的情况判断是否可达到目标利润． 【详解】（1）解：设该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）. 答：日平均增长率为； （2）解：设每份套餐降价x元， ∵套餐食材成本为20元/份，原定价为50元/份， ∴降价后每份套餐的利润为元，即元， ∵售价每降低2元，平均每天多售出8份， ∴降价x元后，平均每天的销售量为份，即份， ∵平均每天的销售利润为1200元， ∴， 整理得， 解得（不符合下调售价的要求，舍去），， ∵要尽可能多售空库存，需销售量最大，即降价幅度最大， ∴符合要求， 此时售价为（元）. 答：下调后每份套餐的售价为30元； （3）解：设每份套餐降价y元时，平均每天获利1600元. 则： ， 整理得， 解得，符合下调售价的要求． 答：该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 题型18.数字问题、图形面积类问题 1．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C．或4 D．1或4 【答案】D 【详解】解：设这个数为， 由题意得， ，． 2．的两边长分别是方程的根，则的面积为________． 【答案】 或 【分析】先解一元二次方程得到三角形两边长为和，分两种情况讨论：和都是直角边；为斜边，为直角边，分别计算面积． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，，即的两边长为和， 分两种情况计算面积： 当和都是直角边时，面积； 当是斜边，是直角边时， 由勾股定理得，另一条直角边长为， ∴ 面积． 综上，的面积为或． 3．利用一面长为米的墙和40米的篱笆围成如图所示的矩形菜地，菜地有2个1米宽的门，门用其他材料． (1)如何搭建使矩形菜地的面积为120平方米？ (2)能不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米？ 【答案】(1)当垂直于墙的篱笆长为米，平行于墙的长为米时，可使矩形菜地的面积为120平方米 (2)不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米 【分析】（1）设垂直于墙的篱笆长为米，则平行于墙的长为米，利用矩形面积求法得出答案； （2）根据根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：设垂直于墙的篱笆长为米，则平行于墙的长为米， 可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：当垂直于墙的篱笆长为米，平行于墙的长为米时，可使矩形菜地的面积为120平方米； （2）解：根据题意可得 化简得， ， 则方程无解， 故不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米． 题型19.营销利润类问题 1．某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：涨价后每件利润为元，涨价后每天的销售量为件， 根据总利润为2200元，列方程得． 2．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 【答案】 【分析】设涨价元，表示出每件商品的利润和每星期的销售量，根据总利润列出方程求解，结合顾客得实惠的要求选取符合条件的解，得到销售单价． 【详解】解：设涨价元，则销售单价为元，每星期销售量为件， 每件商品的利润为元， 总利润等于每件利润乘以销售量， 列方程得，整理方程得， 因式分解得， 解得，， 要让顾客得实惠，需选择更低的销售单价，应取较小的， 取，此时销售单价为元． 3．某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【分析】先求出该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元，根据利润每袋的利润数量列方程即可求解． 【详解】解：（袋）， 该农产品每袋降价元，销售量可增加袋， 设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元， 根据题意得， 整理得， 解得（舍去），， 答：当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 题型20.动态几何类问题 1．如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设点E、F运动的时间为，根据矩形的性质和已知条件用含t的式子表示出的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设点E、F运动的时间为， 由题意得，， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴符合题意，不符合题意， ∴点E、F运动的时间为． 2．如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过______秒，四边形的面积等于． 【答案】 【分析】设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，利用列出方程求解即可． 【详解】解：设经过秒，四边形的面积等于根据题意，得， 点运动到点时停止， 且 即 整理得 解得， 时，点Q和点C重合，与四边形矛盾， ． 3．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据点速度为和点速度为即可求解； （2）由点到点停止，可确定时间范围为；矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、中用勾股定理表示、，根据列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点的速度为，运动时间为， ， ∵点的速度为， ， 又∵， ． （2）解：点运动到点时两点同时停止， ， 解得， 又， 的取值范围为； ∵四边形是矩形， ， 在中，， 将，，代入其中， 得， ， ， ， 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于． （3）解：连接，，如图： ∵四边形是矩形， ，，， ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ∵以为底边的三角形为等腰三角形， ， 则，即， 整理得， 解得（舍去）或； ∴符合条件的的值为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且. 解得． 2．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解： ∴， 其中， ∴， ∴． 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得，. ∴ 原式． 4．2026年“闽超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段．某地经过层层筛选，最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛56场，设参加比赛的球队有支，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设有支球队参赛. 双循环赛制下每两支球队之间进行2场比赛，每支球队需与其余支球队各进行2场比赛， 因此总比赛场数为， ∵ 小组赛阶段共比赛56场， ∴ ． 二、填空题 5．填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 【答案】 ， 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）， ， 或， ∴，． 6．已知关于的一元二次方程的一个根是，则_________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：． 7．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出和的关系，代入所求分式计算即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵方程是倍根方程， ∴分两种情况讨论： 第一种情况：，即，可得， 代入得：； 第二种情况：，即，可得， 代入得： 综上，的值为． 8．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 【答案】 【分析】设每年市政府投资的增长率为，根据到2026年投资亿元人民币建设廉租房，列方程求解． 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为， ∵ 2024年投资亿元，每年增长率为， ∴ 2025年投资为亿元， ∴ 2026年投资为亿元， ∵ 预计2026年投资亿元， ∴ 列方程得． 三、解答题 9．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 【答案】(1)方程有两个实数根 (2)另一根为， 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式（，方程有两个实数根；方程没有实数根）即可知道方程根的情况． （2）将方程的其中一个根代入方程即可求出的值，将值代入方程，利用直接开平方法解出即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：， ， 方程有两个实数根． （2）解：将代入方程得：， ， 将代入方程得：， ， ，， 方程的另一根为． 10．为了增强学生的劳动意识，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃．为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断．如图，篱笆要全部用完且靠墙的一边不需要围篱笆．若围成的矩形花圃面积为，求的长． 【答案】 【分析】设的长为．根据围成的矩形花圃面积为列方程并解方程，求出的长的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：设的长为． 解得， 由题意可得，， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意； 答：的长为． 11．某景点前年十月一日国庆节旅游人数为万人，由于该景点知名度的扩大与服务质量的提高，今年十月一日国庆节旅游人数预计达到万人． (1)该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为多少？ (2)该景点销售一种纪念品，平均每天可售出件，每件盈利元．若每件降价元，则平均每天可多售出件，在平均每天要盈利元，且降价幅度不超过元的情况下，那么每件应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为，由题意得，然后解方程并检验即可； 设每件应降价元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为； （2）解：设每件应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价幅度不超过元， ∴舍去， 答：每件应降价元． 12．已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或者3秒 【分析】（1）速度乘以时间等于行走的距离，据此列式即可； （2）结合（1）的结论，根据三角形的面积公式，列出关于t的一元二次方程，解方程即可作答． 【详解】（1）解：根据运动可知：，， ∴； （2）解：结合（1）的结果，根据题意有：， ∴， 解得： ，， 即：那么2秒或者3秒后，的面积等于 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，准确写出一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项。 · 2.掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特点选择简便解法。 · 3.理解根的判别式的意义，会用Δ=b2-4ac判断一元二次方程实数根的情况。 · 4.掌握根与系数的关系（韦达定理），在方程有实数根的前提下，不解方程求代数式的值、构造方程。 · 5.会列一元二次方程解决实际问题（增长率、面积、利润、传播、比赛握手问题），检验解的实际意义，舍去不合理解。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义 题型2.将一元二次方程化成一般式 题型3.根据一元二次方程的定义求参数 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 题型5.根据方程的解求参数 题型6.估算一元二次方程的解 题型7.直接开平方法解一元二次方程 题型8.配方法解一元二次方程 题型9.配方法的应用 题型10.公式法解一元二次方程 题型11.因式分解法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.利用判别式判断方程根的情况 题型14.根据方程根的情况求参数 题型15.一元二次方程根与系数关系 题型16.传播、握手循环赛问题 题型17.增长率类问题 题型18.数字问题、图形面积类问题 题型19.营销利润类问题 题型20.动态几何类问题 ✵核心知识梳理 知识点一、认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 ★三大判定条件： ①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 ★核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。。 知识点二：一元二次方程的四种解法 方法一.直接开平方法 定义：如果=16,则x=±，即x=±4，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二.配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◈化二次项系数为1； ◈使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◈方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◈如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三.公式法 公式法的定义：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四.因式分解法 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ●移项，将方程的右边化为0； ●化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ●转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ●求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点三、根的判别式 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点四、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点五、一元二次方程的应用 1.列方程解应用题标准步骤 审：读懂题意，找出已知量、未知量，梳理等量关系； 设：合理设未知数（直接设或间接设，带单位）； 列：根据等量关系，列出一元二次方程； 解：选择合适方法解方程，得到两个根； 检（双重检验，重点） ① 检验根是不是原方程的解； ② 检验根是否符合实际意义，舍去负数、超出范围等不合理解； 答：规范作答，带上单位，回答题目问题。 2.核心应用题型 增长率/下降率问题 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于连续两次的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 传播与裂变问题 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 图形面积问题 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型： 矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 组合计数问题 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 ✵易错提醒 1. 判断一元二次方程，一定要注意a≠0；含参数题目，这个条件极易漏掉。 2. 用配方法时，如果二次项系数不为1，先化为1，移项注意符号。 3. 求根公式、韦达定理使用前，方程先整理成一般形式；韦达定理必须满足Δ≥0。 4. 解方程时，不要直接两边同时除以含有未知数的代数式，容易丢失根。 5. 实际应用题算出的根必须检验，负数根、不符合现实意义的正数根要舍去。 6.一元二次方程有两个相等实数根，不能说成只有一个实数根。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的各项系数之和等于________． 3．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 题型2.将一元二次方程化成一般式 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（     ） A．3，5 B．3，1 C．， D．3， 2．一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为_____，常数项为_____． 3．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.根据一元二次方程的定义求参数 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程，则______． 3．已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 1．有下列各数：①；②；③；④．其中是一元二次方程的根的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．已知A是方程的一个根，试求的值_______． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 题型5.根据方程的解求参数 1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（     ） A．1 B． C．3 D． 2．是方程的一个根，的值是______． 3．已知是方程的根，求的值． 题型6.估算一元二次方程的解 1．根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 2．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 题型7.直接开平方法解一元二次方程 1．方程的根是    （   ） A． B． C． D． 2．方程的根是___________． 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)： 题型8.配方法解一元二次方程 1．用配方法解方程，下列变形中正确的是(     ) A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 3．解方程： (1)； (2)． 题型9.配方法的应用 1．已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（        ） A． B． C． D． 2．用配方法将一元二次方程变形为，则_________，______． 3．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)求的最小值． (2)已知，求的值． 题型10.公式法解一元二次方程 1．若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 2．对于一元二次方程，若，则方程的两根为_______． 3．按要求解题： (1)计算：； (2)解方程：． 题型11.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根为（     ） A． B． C． D． 2．方程的根为_________． 3．解方程 (1)； (2)． 题型12.换元法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 3．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 题型13.利用判别式判断方程根的情况 1．下列方程中有实数根的是（     ） A．B． C． D． 2．一元二次方程根的判别式为_______，当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程_______实数根． 3．新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． (1)判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（     ） ②与；（     ） ③与；（     ） (2)若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； (3)若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 题型14.根据方程根的情况求参数 1．关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 3．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； (2)若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． (3)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______． 题型15.一元二次方程根与系数关系 1．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则的值为______． 3．关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型16.传播、握手循环赛问题 1．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 2．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 3．某省城市足球联赛以“一市一队”的形式组织，每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行场比赛，求该省共有多少个市？ 题型17.增长率类问题 1．年南国书香节某分会场在月至月举办图书展销活动，销售额呈增长趋势，其中月份的营业额为万元，月份的营业额为万元．设月份到月份销售额的月平均增长率为，则依题意可列方程（     ） A． B． C． D． 2．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 3．问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 题型18.数字问题、图形面积类问题 1．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C．或4 D．1或4 2．的两边长分别是方程的根，则的面积为________． 3．利用一面长为米的墙和40米的篱笆围成如图所示的矩形菜地，菜地有2个1米宽的门，门用其他材料． (1)如何搭建使矩形菜地的面积为120平方米？ (2)能不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米？ 题型19.营销利润类问题 1．某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 3．某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 题型20.动态几何类问题 1．如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 2．如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过______秒，四边形的面积等于． 3．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 4．2026年“闽超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段．某地经过层层筛选，最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛56场，设参加比赛的球队有支，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 6．已知关于的一元二次方程的一个根是，则_________． 7．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 8．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 三、解答题 9．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 10．为了增强学生的劳动意识，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃．为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断．如图，篱笆要全部用完且靠墙的一边不需要围篱笆．若围成的矩形花圃面积为，求的长． 11．某景点前年十月一日国庆节旅游人数为万人，由于该景点知名度的扩大与服务质量的提高，今年十月一日国庆节旅游人数预计达到万人． (1)该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为多少？ (2)该景点销售一种纪念品，平均每天可售出件，每件盈利元．若每件降价元，则平均每天可多售出件，在平均每天要盈利元，且降价幅度不超过元的情况下，那么每件应降价多少元？ 12．已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $