第2章· 一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第2章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的定义，能根据定义求参数的值 · 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能灵活选择 · 理解根的判别式，能根据判别式判断根的情况并求参数范围 · 掌握韦达定理（根与系数关系），能进行代数式求值与综合应用 · 能列一元二次方程解决传播、营销、数字、图形与动点等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的定义与解法 定义：只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式ax²+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：适用于(x+m)²=n（n≥0）型方程 配方法：将方程化为(x+m)²=n的形式，是推导公式法的基础 公式法：x=，适用于所有一元二次方程 因式分解法：将方程化为(x-x₁)(x-x₂)=0的形式，是最常用的简便方法 概念辨析例题：用配方法解方程 x²-4x-5=0 答案：x₁=5，x₂=-1 解析：移项得x²-4x=5，配方得x²-4x+4=9，即(x-2)²=9，开方得x-2=±3，故x=5或x=-1。 ☆ 2.根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时无实数根 根据根的情况求参数范围：注意二次项系数a≠0的隐含条件 判别式常与一次函数、二次函数、新定义问题结合考查 判别式的逆用：已知根的情况反推参数取值范围 概念辨析例题：若关于x的方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围 答案：m<1 解析：Δ=(-2)²-4m=4-4m>0，解得m<1。 ☆ 3.根与系数关系（韦达定理） 若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，则x₁+x₂=-，x₁x₂= 常见变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；+= 韦达定理常与二次函数、代数式化简、新定义问题综合考查 应用韦达定理前必须先验证Δ≥0（有实根的前提） 概念辨析例题：已知方程x²-3x-1=0的两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的值 答案：11 解析：由韦达定理x₁+x₂=3，x₁x₂=-1，故x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9-2×(-1)=11。 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：初始量×(1+x)²=最终量（两轮传播） 营销问题：单件利润×销售量=总利润，注意降价/涨价对销量的影响 数字问题：设未知数表示两位数/三位数，根据数字关系列方程 图形与动点问题：利用面积公式、勾股定理、行程关系列方程 面积问题：注意道路宽度、边框宽度等对图形面积的影响 概念辨析例题：某厂1月生产零件50万个，3月生产72万个，求月平均增长率 答案：20% 解析：设月均增长率为x，则50(1+x)²=72，(1+x)²=1.44，1+x=1.2，x=20%。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必须不为0 求根公式 x= 先算判别式判断是否有实根 判别式 Δ=b²-4ac Δ>0两不等根；Δ=0两等根；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=-，x₁x₂= 前提是Δ≥0 配方法 方程两边加一次项系数一半的平方 二次项系数先化为1 应用题步骤 设未知数→列方程→解方程→检验→作答 检验根是否符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的定义与解法（第1-11题） · 根据定义求参数：最高次数为2且二次项系数不为0 · 直接开平方法：形如(x+m)²=n，n≥0时直接开方 · 配方法：先化二次项系数为1，再配方 · 因式分解法：提取公因式、平方差、完全平方公式 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是给定的整数，记，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 6．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 7．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题． (1)解方程： 解：原方程可变形为 所以方程的解为 ． (2)解方程： (3)如图， 已知矩形的长， 宽，点 P 在边上， 连接，；若，求的长． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作……得到了如下运算记录表：根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：______（保留3位小数）， ②随着运算次数的增加，______（从下列选项中选择） A．运算结果越来越大            B．运算结果越来越小        C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为，则输出值为______，根据规律②可以构造一个方程：______（保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解. 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：______，______，______，整个正方形的面积，所以______，注意，开方后解得______． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：）． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 (1)江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①     ② 【考点2】根的判别式与新定义问题（第12-21题） · 判别式判断根的情况：Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 · 根据根的情况求参数：注意a≠0的隐含条件 · 新定义问题：读懂定义，转化为判别式或韦达定理问题 · 判别式与函数结合：抛物线与x轴交点个数由Δ决定 12．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 15．（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 16．（2023·辽宁盘锦·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 18．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点N为该一元二次方程的生成点． (1)直接写出方程的生成点的坐标为______； (2)已知关于x的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程生成点的坐标（用含有的代数式表示）； (3)已知不论为何值，关于的方程的生成点始终在直线上，求的值． 19．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 20．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 21．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【考点3】根与系数关系（韦达定理）（第22-33题） · 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a · 代数式求值：将所求式变形为含x₁+x₂和x₁x₂的形式 · 韦达定理与二次函数：抛物线与x轴两交点距离=√Δ/|a| · 应用韦达定理前先验证Δ≥0 22．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 23．（25-26九年级上·天津红桥·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 26．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有___________（填序号）． 27．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为______． 28．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 29．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 30．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直线l：经过点P，将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 31．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数． (1)①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； (2)若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； (3)当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． 32．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于点（点在点左边），，其顶点为．将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为．    (1)直接写出的值，点坐标，点坐标及抛物线的解析式； (2)点是轴上一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点坐标； (3)如图，抛物线与轴交于，与轴交于点，点在第一象限的抛物线图象上，，交对称轴于，，分别交对称轴于，求值． 33．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第34-45题） · 传播问题：初始量×(1+x)²=最终量 · 营销问题：单件利润×销量=总利润 · 面积问题：利用面积公式列方程，注意道路/边框宽度 · 动点问题：用时间t表示线段长度，根据面积/距离列方程 34．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 36．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 37．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，是矩形对角线的交点，，，点在边上，连接并延长交于，若，且与不平行，则的长为（    ） A． B． C． D．1 38．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为________． 39．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 40．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，，．D为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接．当为等腰三角形时，则的长为________． 41．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 42．（22-23八年级上·全国·期末）若直线过点，在该直线上有一动点P，请求出使为等腰三角形的所有点P的坐标． 43．（24-25八年级下·海南三亚·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（与点A、B不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积： (3)当时，求函数的最大值和最小值之差； (4)当函数且线段的值最小时，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，请直接写出线段的值． 44．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 45．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记四种解法的适用场景，根据方程特点选择最简便的方法 · 判别式问题别忘了二次项系数a≠0的隐含条件 · 韦达定理应用前先验证Δ≥0，再将所求代数式变形 · 应用题务必检验根是否符合实际意义（如长度不能为负） · 新定义问题先读懂定义，再转化为已学的判别式或韦达定理 【作业1】．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【作业2】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（2023·四川凉山·模拟预测）已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【作业4】．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（2026·江苏无锡·二模）定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 【作业6】．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【作业7】．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为__________． 【作业8】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【作业9】．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【作业10】．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）设是方程的两个实数根，则的值为________． 【作业11】．（21-22九年级上·广东东莞·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 【作业12】．（23-24九年级下·安徽·开学考试）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【作业13】．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有_________种． 【作业14】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相反，则称点P为沉毅点．例如：点，，…都是沉毅点． (1)判断二次函数的图象上是否存在沉毅点，若存在，求出其沉毅点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个沉毅点． ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为，求实数m的取值范围． 【作业15】．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 问题解决： (1)任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． (2)任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． (3)任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的定义，能根据定义求参数的值 · 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能灵活选择 · 理解根的判别式，能根据判别式判断根的情况并求参数范围 · 掌握韦达定理（根与系数关系），能进行代数式求值与综合应用 · 能列一元二次方程解决传播、营销、数字、图形与动点等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的定义与解法 定义：只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式ax²+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：适用于(x+m)²=n（n≥0）型方程 配方法：将方程化为(x+m)²=n的形式，是推导公式法的基础 公式法：x=，适用于所有一元二次方程 因式分解法：将方程化为(x-x₁)(x-x₂)=0的形式，是最常用的简便方法 概念辨析例题：用配方法解方程 x²-4x-5=0 答案：x₁=5，x₂=-1 解析：移项得x²-4x=5，配方得x²-4x+4=9，即(x-2)²=9，开方得x-2=±3，故x=5或x=-1。 ☆ 2.根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时无实数根 根据根的情况求参数范围：注意二次项系数a≠0的隐含条件 判别式常与一次函数、二次函数、新定义问题结合考查 判别式的逆用：已知根的情况反推参数取值范围 概念辨析例题：若关于x的方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围 答案：m<1 解析：Δ=(-2)²-4m=4-4m>0，解得m<1。 ☆ 3.根与系数关系（韦达定理） 若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，则x₁+x₂=-，x₁x₂= 常见变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；+= 韦达定理常与二次函数、代数式化简、新定义问题综合考查 应用韦达定理前必须先验证Δ≥0（有实根的前提） 概念辨析例题：已知方程x²-3x-1=0的两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的值 答案：11 解析：由韦达定理x₁+x₂=3，x₁x₂=-1，故x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9-2×(-1)=11。 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：初始量×(1+x)²=最终量（两轮传播） 营销问题：单件利润×销售量=总利润，注意降价/涨价对销量的影响 数字问题：设未知数表示两位数/三位数，根据数字关系列方程 图形与动点问题：利用面积公式、勾股定理、行程关系列方程 面积问题：注意道路宽度、边框宽度等对图形面积的影响 概念辨析例题：某厂1月生产零件50万个，3月生产72万个，求月平均增长率 答案：20% 解析：设月均增长率为x，则50(1+x)²=72，(1+x)²=1.44，1+x=1.2，x=20%。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必须不为0 求根公式 x= 先算判别式判断是否有实根 判别式 Δ=b²-4ac Δ>0两不等根；Δ=0两等根；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=-，x₁x₂= 前提是Δ≥0 配方法 方程两边加一次项系数一半的平方 二次项系数先化为1 应用题步骤 设未知数→列方程→解方程→检验→作答 检验根是否符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的定义与解法（第1-11题） · 根据定义求参数：最高次数为2且二次项系数不为0 · 直接开平方法：形如(x+m)²=n，n≥0时直接开方 · 配方法：先化二次项系数为1，再配方 · 因式分解法：提取公因式、平方差、完全平方公式 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误； ，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是给定的整数，记，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知式子的值，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了绝对值的性质，因式分解方法解一元二次方程和求和的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据绝对值定义，分类讨论与的大小关系，简化的表达式，当时，；当时，，设为整数，分情况讨论，只有当时，才符合题意，求得，令其等于 解方程，并排除无效解，然后即可求解； 【详解】∵ ， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 为整数，下面分情况讨论， 时的值， 当时：此时，都满足，那么， ∴，这种情况不成立； 当时：此时， 都满足，则， 那么 ， ∵， ∴， ∴这种情况不成立， 当时，此时 ， ∵， ∴，即， 即， 解得：，（舍去）， 综上所述，， 故选：C 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ． ，且与等高， ， ， ． ， 在中，， ，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， 的值是． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．作于点，设，求得，推出，由勾股定理得，据此列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：作于点，设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴的值为， 故选：B． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 6．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 7．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】连接，由直角三角形的性质得到，；可证明垂直平分，得到；设，则；由勾股定理得，，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，是的中线， ∴，； ∵， ∴垂直平分， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 【答案】6 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中，运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得，在中，再次利用勾股定理得到，代入整理得：，利用因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的半径为6． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题． (1)解方程： 解：原方程可变形为 所以方程的解为 ． (2)解方程： (3)如图， 已知矩形的长， 宽，点 P 在边上， 连接，；若，求的长． 【答案】(1)， (2)， (3)的长为， 【知识点】无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解解一元二次方程和根号方程的解法，解题的关键是要注意带根号的方程要检验； （1）根据题意得到三个一元一次方程，求解即可； （2）先根据转化思想，把根号方程转化成整式方程，再进行求解即可； （3）先根据题意列出方程，根据上面的过程进行求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解为： （3）解：设的长为x， 由题意可列方程为：， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 所以的长为． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作……得到了如下运算记录表：根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：______（保留3位小数）， ②随着运算次数的增加，______（从下列选项中选择） A．运算结果越来越大            B．运算结果越来越小        C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为，则输出值为______，根据规律②可以构造一个方程：______（保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解. 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：______，______，______，整个正方形的面积，所以______，注意，开方后解得______． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：）． 【答案】【发现规律】0.618，C； 【验证规律】； 【应用规律】构造方程，即 构造图形: 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了规律探索与应用．熟练掌握运用现代工具重复计算探索规律，及图形面积法探索验证规律，完全平方公式的几何意义，是解题的关键． 发现规律：①观察选的3个数第40次运算结果趋近的数为0.618；②多次运算的结果接近输入数 验证规律：输出的值，构造方程为，转化为，构造正方形解得； 应用规律：构造方程，即，构造正方形，解得，约2.414． 【详解】解：发现规律 ①选0.7的第40次运算结果， 选0.5的第40次运算结果， 选0.3的第40次运算结果， ∴任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：0.618 ②由①知，随着运算次数的增加，输入和输出的值越来越接近，选C； 故答案为：①0.618；②C； 验证规律 多次运算后某次运算输入值为，则输出值为，根据规律②可以构造一个方程：，规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 取． 故答案为：，，，x，，，； 应用规律： ，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 (1)江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①     ② 【答案】(1) 把两边平方，得，设，又因为，所以， 所以， 整理得：，解得，， 当时，，， ∵，， ∴，； 当时，，， ∵，， ∴，； 综上，，或，． (2) ① ；② 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据题干中的方法列出关于的一元二次方程，解方程即可； （2）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①设（，）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． ②设（）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． 【考点2】根的判别式与新定义问题（第12-21题） · 判别式判断根的情况：Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 · 根据根的情况求参数：注意a≠0的隐含条件 · 新定义问题：读懂定义，转化为判别式或韦达定理问题 · 判别式与函数结合：抛物线与x轴交点个数由Δ决定 12．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、其他问题(二次函数综合) 【分析】先由二次函数解析式得出其对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时的和抛物线过点时的，最终确定c的取值范围为． 【详解】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点， 如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、整式的判断、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查整式的概念、一元二次方程的判别式以及绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质判断结论． 结论①涉及单项式的判断，结论②利用平方和为零得出系数关系并验证方程有实解，结论③通过绝对值相等和整数条件确定整式的个数． 【详解】解：∵ 且 ， ① 若为单项式，除了一个系数外，其他系数必须为零，由可排除 故有、、 共3个，结论正确． ② ∵ ， ∴ 且 ， 结合，得，， 若 ，则一次方程有实解；若，则判别式，恒有实解，结论正确． ③ 设，设个系数为，个系数为， 则（其中）， 当时，，得； 当时，，有4种选择负系数的位置， 故共5个整式，结论正确． 综上，三个结论均正确． 故选：D． 14．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一次函数的定义求参数、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】设点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，表示出点的坐标，分别计算各三角形面积，通过解二元一次方程判断①②；利用勾股定理逆定理判断③；分类讨论是等腰三角形的情况，结合是等腰三角形则，判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，，，， 设点的坐标为，， ∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将，代入， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴，即， ， ， 若，则， 整理得，， 解得，或（舍去，∵） ∴当时，，， 故①正确； ， ， 若， 则， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴均不符合题意， 故②错误； 当点的纵坐标为时，， ，， ∴，， 过点作轴，点作轴，，交于点，则， ， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； 若是等腰三角形， 当时，， 解得，或（舍去，∵） 此时，， 则是等腰三角形， 当时，, ∴， 化简得， 若是等腰三角形，则， ∴， 解得， （舍去，∵） 当时，，矛盾， ∴当时，不是等腰三角形， 故④错误． 15．（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求反比例函数解析式 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合 求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 16．（2023·辽宁盘锦·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程有实数根，得出其根的判别式大于等于0，列不等式求解即可，特别注意二次项系数不为零． 根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，特别注意二次项系数不为零，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 即，解得且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据概率公式计算概率、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点N为该一元二次方程的生成点． (1)直接写出方程的生成点的坐标为______； (2)已知关于x的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程生成点的坐标（用含有的代数式表示）； (3)已知不论为何值，关于的方程的生成点始终在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② (3)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据生成点的定义即可求出点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②解方程后，根据生成点的定义即可写出点坐标． （3）根据题意将直线转化为，求出定点坐标，即生成点坐标为，求解出两个根后，再利用根与系数的关系公式即可解出答案． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， ∵，， ∴的生成点为， 故答案为：． （2）解：①略 ②解方程， 解得：，， ∵，， ∴生成点的坐标为； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∴生成点坐标为， 根据生成点的定义可得，， 解得：，， ∴方程的两个实数根为，， ∴，， 解得：，． 19．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】(1) (2) 方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3) 【知识点】实数运算的实际应用、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）略 （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 20．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，等腰三角形的定义，计算一元二次方程根的判别式，进而得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴该三角形是等腰三角形． 21．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 【考点3】根与系数关系（韦达定理）（第22-33题） · 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a · 代数式求值：将所求式变形为含x₁+x₂和x₁x₂的形式 · 韦达定理与二次函数：抛物线与x轴两交点距离=√Δ/|a| · 应用韦达定理前先验证Δ≥0 22．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求角的正切值 【分析】这道题主要考查了三角形的内切圆性质、解直角三角形以及等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用． 先根据已知条件判断出的形状，求出，把，看作是一元二次方程的两个根，求出，，再结合三角函数的定义求出的值． 【详解】解：由是的中线，，，如图， ∴，， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ， 设内切圆的半径为r，圆心为O， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵在直角中，， ∴， ∴直角三角形内切圆的半径， 依题意得，①，又②， ①式两边平方得，， ，是一元二次方程的两个根， 又因为， 所以，， 故． 故选：C． 23．（25-26九年级上·天津红桥·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断点所在的象限 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 24．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、根据一次函数增减性求参数 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 25．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 26．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有___________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、根与系数的关系及函数的最值等知识． 根据对称轴为直线可得，判断②正确；由和与轴交点位置可得，从而，判断①正确；根据根与系数的关系可得，判断③错误；代入后不等式不恒成立，判断④错误；由函数值符号可得和，判断⑤正确． 【详解】解：∵对称轴为直线，∴，即，故，②正确； ∵，∴， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，另一个交点关于对称轴对称，在之间， ∴两根之积，又，∴， 故，①正确； 由根与系数的关系，，故③错误； 将代入不等式：， ∵， ∴等价于，解为或，不恒成立，故④错误； 由函数值符号：当时，；当时，， ∴，故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 27．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 28．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 解：的值为定值，理由如下： 由题意设点，，， 直线过，设直线解析式为， 联立与，可得： ，整理得：， 直线与抛物线交于，， 由根与系数的关系可得：，， 由（2）图可得，， 结合点，，， 可得恒在上方，恒在下方， 可得，， ， 代入，， ． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式、顶点坐标、直线与抛物线交点问题、三角形面积计算以及定值问题，解题关键是利用点的坐标、直线方程与抛物线方程的联立求解，结合韦达定理处理交点问题． （1）根据已知线段长度确定抛物线上关键点坐标，用待定系数法求解析式，再通过配方法求出顶点坐标； （2）先求出抛物线与轴交点坐标，由点与顶点重合得到直线解析式，联立直线与抛物线方程求出点坐标，再用割补法计算的面积； （3）设点横坐标为，利用直线过定点，联立方程并结合韦达定理得到、横坐标的数量关系即，，再结合，，最后代入化简判断是否为定值（化简过程涉及因式分解）． 【详解】（1）解： ，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点， ，， 将，，代入抛物线： ，解得：， 抛物线解析式为：， 将解析式配方为顶点式：， 顶点的坐标为； （2）解：令，即，解得，， 点在点左侧， ， ，，且点与顶点重合，即， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得：，， 直线解析式为； 联立与，可得， 整理得：，解得（即点），， 将代入直线方程，得，即， 设交于点，作轴，轴分别交于点，， 联立与，可得，解得，即， ，，， ； （3）略 29．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3) 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）略 30．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直线l：经过点P，将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法直接求解抛物线解析式即可； （2）设，分别表示出与的面积，利用进行求解即可； （3）先求出一次函数解析式，设交点，（M在N的左侧），过点作轴，过点作轴，先证明，表示出，联立一次函数与二次函数的解析式得到，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图所示， 设， ， 设为，把B，P两点代入， ， 解得：， ， ，即， ， 或， 是第二象限内抛物线上一点， ，， ； （3）解：经过点， ， 解得：， ， 设交点，（M在N的左侧）， 过点作轴，过点作， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 将直线l向下平移m个单位后得到的解析式为， ∵将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点， ∴联立可得， ，， ， 整理得：， 解得：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合题目，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的求解以及根于系数的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键． 31．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数． (1)①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； (2)若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； (3)当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． 【答案】(1)①；② (2)因为该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，， 所以，， 令，则， 所以， 因为函数顶点坐标为， 所以， 所以 所以； (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）①将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出结果；②由①可得函数顶点坐标为，再结合函数图象顶点落在轴上计算即可； （2）由题意可得，，令，则，，由函数顶点坐标为，求出，从而即可得证； （3）分四种情况：①若，函数最大值为，最小值为时，②若，函数最大值为，最小值为时，③若，函数最大值为，最小值为时，④若，函数最大值为，最小值为时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：① 所以函数图象对称轴为直线．   ②函数顶点坐标为， ∵函数图象顶点落在轴上， ∴， 解得； （2）略 （3）解：①若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ②若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ③若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ④若，函数最大值为，最小值为时， 所以； 综上，函数最大值与最小值的差的最小值为． 32．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于点（点在点左边），，其顶点为．将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为．    (1)直接写出的值，点坐标，点坐标及抛物线的解析式； (2)点是轴上一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点坐标； (3)如图，抛物线与轴交于，与轴交于点，点在第一象限的抛物线图象上，，交对称轴于，，分别交对称轴于，求值． 【答案】(1)；；；； (2)，； (3)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（）根据及的对称轴求出点的坐标，再用待定系数法即可求解； （）分点在轴正半轴和点在轴负半轴两种情况，利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求解； （）分别设出直线、直线、直线、直线的解析式，与二次函数解析式联立成方程组，根据一元二次方程根和系数的关系分别求出的纵坐标即可求解． 【详解】（1）解：设点在轴上对应的数为， 则有， ∴， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即抛物线解析式为； （2）解：如图，   当点在轴正半轴时，过作轴于，则，， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， ，， 由点的平移可知，； 当点在轴负半轴时，同理可得，， 故点坐标为，； （3）解：由题意可得，，， 设直线解析式为， 联立函数得，， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，设直线解析式为，可得，， 设直线解析式为， 联立函数式得， 整理得，， 则，可得，， 同理，设直线解析式为，可得，， 故，，从而， 又，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，中心对称图形的性质，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根和系数的关系，相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 33．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 【答案】(1) (2)= (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把直接代入中，求出的值即可； （2）联立方程组，求解得，，得出点、的坐标，求出，的值，再进行比较即可； （3）设平移后的解析式为，与联立得，设，，得到，，求得，，代入得，求出，，进行验证可得结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例解析式为； （2）解：联立方程组， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴； （3）解：设平移后的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设，，则，， 由得，， 又代入得， 令，则， 解得或 ∴，，其中不合题意，舍去， ∴或， ∴，，（反之也成立） 将代入，则，解得． 所以，平移后直线n的表达式为． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第34-45题） · 传播问题：初始量×(1+x)²=最终量 · 营销问题：单件利润×销量=总利润 · 面积问题：利用面积公式列方程，注意道路/边框宽度 · 动点问题：用时间t表示线段长度，根据面积/距离列方程 34．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、解非直角三角形 【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键．本题属于几何压轴题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 36．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、动态几何问题(一元二次方程的应用)、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 37．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，是矩形对角线的交点，，，点在边上，连接并延长交于，若，且与不平行，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】利用全等三角形得到线段关系，设未知数，利用中位线和勾股定理列方程，解方程，舍去不符合题意的解即可． 【详解】解：∵是矩形对角线交点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 即． 设，已知， 则， 由得． 过作于， ∵是中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理：， ∵， ∴ 即， 解得或． 当时，为中点，为中点，此时，与题目条件矛盾，舍去， 因此． 38．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为________． 【答案】 / 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出设所求的矩形的两边分别是和，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 39．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 【答案】或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 40．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，，．D为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接．当为等腰三角形时，则的长为________． 【答案】2或 【知识点】公式法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】分两种情况，①当时，过点作于点，先由含角的直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，然后证，得出，则是等腰直角三角形，最后由勾股定理求出，即可求出；②当时，证是等腰直角三角形，推出点与点重合，即可得出结果． 【详解】解：分两种情况：①当时，如图1，过点作于点， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：（负值已舍去）， ， ； ②当时，如图2， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点与图1中的点重合， ， 综上所述，的长为 2 或， 故答案为： 2 或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 41．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】由题意推出为等腰直角三角形，结合用勾股定理求出，过点作，垂足为，设，，其中，，，通过同角的余角相等证，故，，推出，，在中由勾股方程解得，在中由勾股定理解出和，利用矩形对角线中点性质得为的中位线，得出的长，从而可得出． 【详解】解：由题意得， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ，解得， 如图，过点作，垂足为， ， 设，，其中，，， 四边形是矩形，对角线，相交于与点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 化简得， 因式分解得， ，， ， ， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 点和点分别为，的中点， 为的中位线， ， ， ． 42．（22-23八年级上·全国·期末）若直线过点，在该直线上有一动点P，请求出使为等腰三角形的所有点P的坐标． 【答案】点坐标为 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】根据等腰三角形的定义分为或或三种情况并结合图形进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 点在直线上， ∴设的横坐标为，则点坐标为， 当时，如图，过点作轴于点， 则，， 在中，， ， ∴ 解得，， 当时，，此时与点重合，无法构成三角形，舍去； 当时，，得点； 当时，过点A作轴，过点作，交于点，如图， 则，， 在中，， ， ∴， ∴ 解得， ∴当时，，得； 当时，，得； 当时，如图， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴， ∴点； 综上所述，点坐标为． 43．（24-25八年级下·海南三亚·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（与点A、B不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积： (3)当时，求函数的最大值和最小值之差； (4)当函数且线段的值最小时，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，请直接写出线段的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据的顶点坐标求出底和高，利用三角形面积公式求解； （3）先判断一次函数图象增减性，进而求出最大值、最小值，作差即可； （4）当时，取最小值，利用三角形面积法求出，设，则，，根据求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解： ，，， ，， ； （3）解： 中，一次项系数， y随x的增大而增大， 在范围内，当时，函数取最小值，最小值为：， 当时，函数取最大值，最大值为：， 最大值和最小值之差为：； （4）解：如图，当时，取最小值，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，交x轴于点H， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，勾股定理，垂线段的性质，解一元二次方程等，正确计算是解题的关键． 44．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 45．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设停车场内车道的宽度为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记四种解法的适用场景，根据方程特点选择最简便的方法 · 判别式问题别忘了二次项系数a≠0的隐含条件 · 韦达定理应用前先验证Δ≥0，再将所求代数式变形 · 应用题务必检验根是否符合实际意义（如长度不能为负） · 新定义问题先读懂定义，再转化为已学的判别式或韦达定理 【作业1】．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 【作业2】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：． 【作业3】．（2023·四川凉山·模拟预测）已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 【作业4】．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式；利用根与系数的关系和给定的根的比例关系，代入求解即可． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系可得：，， 又 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 将 代入： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：D． 【作业5】．（2026·江苏无锡·二模）定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 【答案】 是 或 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）过点作交于点，则四边形是平行四边形，再由勾股定理求解，即可得到；（2）分类讨论，根据“等邻四边形”的定义，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是等邻四边形； （2）若点分别在边上时，则，而，故四边形邻边不可能相等，故不成立； 若分别在边上时， 当时，过点作于点， ∵， ∴， 由垂线段最短可得，，故这种情况不成立； 当时，符合题意； 当时，过点作于点，则 则 ∵ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 整理得， ， ，故这种情况不成立； 当 时，过点作于点， 则 ， 同理可得四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴ 整理得， 解得， （舍）， 综上：所有可能的值为或． 【作业6】．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 【作业7】．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为__________． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程、换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．设，将原方程转化为关于的方程，再对关于的方程去分母整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 方程， 方程转化为关于的方程为， 整理得：， 原方程转化为关于的整式方程为． 故答案为：． 【作业8】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 【作业9】．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业10】．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）设是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业11】．（21-22九年级上·广东东莞·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根的判别式，完全平方公式的应用等知识点，解决此题的关键是合理的利用完全平方公式； （1根据一元二次方程的有两个不相等的实数根，判断出根的判别式大于0，即可得到答案； （2）根据完全平方公式对要求的式子进行变形，运用整体思想代入即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知： 解得：， ∴的取值范围； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：； ∴， ∴， 【作业12】．（23-24九年级下·安徽·开学考试）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， ∴根据第二天总利润为元可得， ， 整理得，， 解得，， 当时，，， ∵， ∴符合题意； 当，， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴， 故选：． 【作业13】．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有_________种． 【答案】3 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题． 【详解】解：， 一组数的积要小于， ，， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数， 没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、） 其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个， 当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割， 则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 【作业14】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相反，则称点P为沉毅点．例如：点，，…都是沉毅点． (1)判断二次函数的图象上是否存在沉毅点，若存在，求出其沉毅点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个沉毅点． ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为，求实数m的取值范围． 【答案】(1)和 (2)①；②实数m的取值范围为 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键． （1）设函数的沉毅点为，代入求解即可； （2）①将点代入，再由有且只有一个根，，两个方程联立即可求、的值； ②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意． 【详解】（1）解：存在沉毅点，沉毅点的坐标为，； 设函数的沉毅点为， 可得 ， 解得， 沉毅点为和； （2）解：①根据题意得点在的图象上， ∴ ， ∵二次函数的图象上有且只有一个沉毅点， ∴有且只有一个根， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； ②由①得， ∴ ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最大值， ∴当时， ， 解得， 若时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为． 【作业15】．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 问题解决： (1)任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． (2)任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． (3)任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 【答案】(1) (2)令，则． 将代入，得 整理得． 把看作是关于的一元二次方程， 由得， 解得， ， 的最大值为； (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据一元二次方程根的情况求参数、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）利用素材中的判别式法求解； （2）根据素材中思路求解即可； （3）过点作于点，表示出，，然后利用勾股定理得到，令，然后利用判别式法求出的最大值为26，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：令， 整理得． 令，即， 解得，故的最小值为； （2）略； （3）解：如图，过点作于点． 根据题意，，，． ∵在中，， ，， ． ∵在中，，即． 整理得． 令，则，将之代入上式得到关于的一元二次方程， 由得，解得， 的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得，， 整理得， 解得． ∴当的值最大时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $