专题06 相似多边形及三角形相似的条件 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题06相似多边形及三角形相似的条件期中复习讲义 1.理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质；能识别相似多边形，找准对应顶点、对应边与对应角，会求相似多边形的相似比，明确相似比具有顺序性。 2.掌握相似多边形的判定：边数相同，对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似；会利用性质进行边长、角度的计算。 3.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法，找准相似三角形的对应边、对应角，能由相似写出比例式。 4.熟练掌握三角形相似的三个判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；能根据题干条件灵活选择判定方法证明三角形相似。 5.能结合图形，从复杂图形中找出相似三角形的基本模型（A 字型、8 字型等），利用相似三角形的判定进行推理、计算线段长度。 6.厘清易错点：判定相似时注意 “夹角相等”，不是任意一角；写相似三角形时顶点字母要对应；区分全等与相似的关系，全等是相似比等于 1 的特殊相似。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 题型一：成比例线段 1．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 2．已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 3．一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：相似多边形 4．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C．D． 5．已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 题型三：相似多边形的性质 7．在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 8．如图，四边形四边形，则的度数是____________． 9．如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：利用两角对应相等判定相似 10．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 11．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 12．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型五：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 15．满足下列条件的各对三角形中，相似的两个三角形是（   ） A．，，；，， B．，，；，， C．，，；， D．，且 题型六：利用三边对应成比例判定相似 16．和满足下列条件,其中能使与相似的是(　　) A． B． C． D． 17．在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 18．如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C．D． 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 19．如图，点D是中上一点，连接．以下条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 21．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 题型八：相似三角形的判定综合 22．与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______． 24．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 题型九：黄金分割 25．如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 26．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 27．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 解答题 28．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 29．如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 30．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 31．阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 32．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 33．课本内容再探索： (1)将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． (2)将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似多边形及三角形相似的条件期中复习讲义 1.理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质；能识别相似多边形，找准对应顶点、对应边与对应角，会求相似多边形的相似比，明确相似比具有顺序性。 2.掌握相似多边形的判定：边数相同，对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似；会利用性质进行边长、角度的计算。 3.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法，找准相似三角形的对应边、对应角，能由相似写出比例式。 4.熟练掌握三角形相似的三个判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；能根据题干条件灵活选择判定方法证明三角形相似。 5.能结合图形，从复杂图形中找出相似三角形的基本模型（A 字型、8 字型等），利用相似三角形的判定进行推理、计算线段长度。 6.厘清易错点：判定相似时注意 “夹角相等”，不是任意一角；写相似三角形时顶点字母要对应；区分全等与相似的关系，全等是相似比等于 1 的特殊相似。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 题型一：成比例线段 1．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 【答案】 【分析】已知四条线段按顺序成比例，根据成比例线段定义列比例式求出的厘米数，再转换单位为米即可得到结果． 【详解】解：∵、、、是成比例线段 ∴ ∵，， 代入得 解得 ∵ ∴． 2．已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 【答案】答案不唯一，或或其中一个即可． 【分析】四条线段成比例未确定顺序，需分类讨论，根据比例的基本性质计算未知线段长即可． 【详解】解：设这条线段的长为， 根据成比例线段的定义，分三种情况列等式： 若， 由比例的基本性质得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 综上所述，这条线段的长可以为或或． 3．一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同列出关于的比例式，最终解得的值． 【详解】解：由题意得，，解得或（舍去）． 故选：B． 题型二：相似多边形 4．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 5．已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将转化为，将转化为，然后求得四边形与四边形相似比即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为，四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的相似比为． 6．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 题型三：相似多边形的性质 7．在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案】42 【详解】解：∵ ， ∴ 四边形与四边形的周长比为， 设四边形的周长为， 则， 解得 ． 则四边形的周长为． 8．如图，四边形四边形，则的度数是____________． 【答案】/度 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 9．如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，相似比为k， ∴，，， ∴， 综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确， 故选：D 题型四：利用两角对应相等判定相似 10．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 11．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 12．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 题型五：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵， A．若添加，能证明，不符合题意； B．若添加，能证明，不符合题意； C．若添加，能证明，不符合题意； D．若添加，不能证明，符合题意； 故选：D． 14．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．满足下列条件的各对三角形中，相似的两个三角形是（   ） A．，，；，， B．，，；，， C．，，；， D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法：利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似逐一排除即可． 【详解】解：、∵，，，， ∴，， ∴， ∴不能判定与相似，故不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∴， ∵不是夹角， ∴与不相似，故不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∵和不是夹角， ∴不能判定与相似，故不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，故符合题意． 题型六：利用三边对应成比例判定相似 16．和满足下列条件,其中能使与相似的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系，分别计算两个三角形三组对边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】A、不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； D、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 17．在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 18．如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 19．如图，点D是中上一点，连接．以下条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、若，能判定，故本选项不符合题意； B、若，能判定，故本选项不符合题意； C、若，不能判定，故本选项符合题意； D、若，则，能判定，故本选项不符合题意； 故选：C 20．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 21．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 题型八：相似三角形的判定综合 22．与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定条件是解题的关键，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 选项B：添加，两边对应成比例，夹角相等，则，不符合题意； 选项C：添加，无法判定,符合题意； 选项D：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 故选C． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：， 由题意可知：，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 24．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 题型九：黄金分割 25．如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 26．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 【答案】 【分析】根据题干给出的黄金分割定义式，结合，可推导出与的数量关系，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 27．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 解答题 28．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1) (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据对应边的比就是相似比求解即可； （2）利用相似多边形对应角相等求解即可； （3）利用相似多边形性质列出比例式求解． 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边， ∴相似比为． （2）解：∵六边形与六边形相似， ∴，． （3）解：∵六边形与六边形相似， ∴， 即， ∴，，，． 30．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 31．阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)米 (2) (3) 【分析】（1）由黄金分割的定义得到，据此求解即可； （2）同理可得米，求出的长，再根据线段的和差关系可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵米， ∴米； （2）解：同理可得米， ∴米， ∴米； （3）解：设舞台的长为L，点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 33．课本内容再探索： (1)将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． (2)将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 【答案】(1)①假； ②证明：在和中，， 设，则、， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ； (2) ①证明：，是中线， 、， 、， ， ，是高， ， 、， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：，是高， ， 如图，，是中线，取的中点，取的中点，连接，， 、分别为和的中位线， 、、、， 、， 、， ， ， 设， 、、， ， ， ， 、， ， ． 【分析】（1）①通过相似三角形的判定定理，结合反例来判断命题真假； ②利用勾股定理证明三边对边成比例，从而证明两个三角形相似； （2）①根据三角形中线和高的性质易证得，进而证得，则，从而得到结论； ②取的中点，取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质证得，设，进而证得，则，从而得到结论． 【详解】（1）解：①由于仅两边成比例且其中一边的对角相等，不能保证两个三角形相似，存在反例情况， 因此，改变后得到的命题是假命题； ②略 （2）①略，是中线， 、， 、， ， ，是高， ， 、， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $