精品解析：河北石家庄市第三十八中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027第一学期八年级学科竞赛数学学科试卷 一、单选题（每题两分，共32分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式定义判断，注意是常数，不是字母； 【详解】解：、、的分母均不含字母（为常数），是整式， 、的分母均含字母，是分式，故分式共2个． 2. 下列实数：、0、、0.120135、、0.16、0.101001……其中属于无理数的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】无理数包括三方面的数：①含的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：，， 0.101001……都是无限不循环小数，都是无理数； ，0，0.120135，0.16，都是有理数； ∴无理数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数：无限不循环的小数，注意：无理数包括三方面的数：①的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题．先写出逆命题，后结合对顶角的性质，平行线的性质和判定，乘方的运算，三角形的内角和定理，逐一判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题：相等的角是对顶角，是假命题； ∴故本选项不符合题意； B、逆命题：若，则， ∵若，则， ∴该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； C、逆命题：三角形中有两个锐角的三角形是钝角三角形， 该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； D、逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误． 选项B，与不一定相等，运算错误． 选项C，，运算错误． 选项D，，运算正确． 5. 如图，是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 52° B. 60° C. 68° D. 128° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示： 根据三角形内角和可得， ∵两个三角形全等， ∴所以， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 任何数的平方根有两个 B. 无理数是无限不循环小数 C. 无限小数是无理数 D. a2的平方根是a 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义，无理数的定义作出正确的判断． 【详解】解：A、负数没有平方根，故本选项错误； B、无理数是无限不循环小数，故本选项正确； C、无限不循环小数是无理数，故本选项错误； D、a2的平方根是±a，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数和平方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键. 7. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、∵＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C. 被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 8. 下列运算中正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，学会利用该性质化简式子是解题的关键． 9. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此求出对应选项中二次根式有意义时x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：A、有意义的条件是，即，故时，无意义； B、有意义的条件是，即，故时，无意义； C、有意义的条件是，即，故时，有意义； D、有意义的条件是，故时，无意义． 10. 动画电影票房新标杆，截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达亿元人民币，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：亿． 11. 若、为实数，且，则的值 (　　) A. -2 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴x+2=0，y－2=0， ∴x=﹣2，y=2， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键． 12. 根据下列已知条件，能唯一画出的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形三边之间的数量关系逐个判断即可求解．此题考查了三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系． 证明三角形全等的方法有： (直角三角形)．三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：A、∵， 根据判定三角形全等的方法可得，能唯一画出．符合题意； B、∵， 两边及其中一边的对角确定，三角形不唯一， ∴不能唯一画出，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴不能画出，不符合题意； D、∵， ∵的位置不固定，只有一边的长度和一角的度数确定，三角形不唯一， ∴不能唯一画出，不符合题意． 故选：A． 13. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 14. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 15. 若方程有增根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值． 【详解】方程两边都乘（x-2），得 x-1-a=3（x-2） ∵原方程增根为x=2， ∴把x=2代入整式方程，得a=1， 故选A． 【点睛】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（每题3分，共12分） 17. 当______时，分式的值为零． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：1． 18. 比较大小：______．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】二次根式比较大小，正数比较，平方大的原数更大． 【详解】解：两个正数比较大小，可以比较它们的平方： 且， ． 19. 的倒数是_______；的平方根是_______；的算术平方根是________． 【答案】 ①. ②. ③. 2 【解析】 【详解】解：的倒数是；的平方根是；的算术平方根是2． 20. 如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及中点的性质，清楚数轴上两点间的距离计算方法是解题关键．首先结合数轴，利用已知条件求出线段的长度，然后根据中点的性质即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示，的对应点分别为、， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 三、解答题（共56分） 21. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 22. 请解答： （1）的整数部分为，小数部分为，分别求，的值； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】（1）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再得出，从而得到，求出其整数部分和小数部分代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分为3，小数部分为； 【小问2详解】 依题意，， ， ， 即， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， 即． 23. 解答： （1）先化简，再求值：，然后从，，0中选择适当的数代入求值． （2）解方程：． 【答案】（1），2； （2）分式方程无解． 【解析】 【小问1详解】 解： ，且， ， 原式； 【小问2详解】 解：， 解得：， 检验：当时，， 是增根， ∴分式方程无解． 24. 解答： （1）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）64 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根，立方根算术平方根的定义分别求出a，b，c的值，再代入式子求值； （2）利用二次根式性质化简各项，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是3， ， ， 的立方根是，且， ， ， 的平方根是它本身， ， ； 【小问2详解】 ． 25. 如图，点C在上，，且，交于F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：、、，即可由判定两个三角形全等． （2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到，由于、互余，所以、互余，即是直角． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ， ， ， ． ． 在中，． 【点睛】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质；在证明三角形全等时，首先要看已知了哪些条件，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 26. 暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生，现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元． （1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？ （2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按（为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求的最大值． 【答案】（1）家长的报价为500元，学生的报价为480元； （2）m的最大值为8 【解析】 【分析】（1）设家长的报价为x元，学生的报价为元，由题意：一名学生带一名家长，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元，列出分式方程，解之即可； （2）由题意：甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为整数）折收费，他们选择了总费用较少乙机构，列出一元一次不等式，解不等式，进而求解． 【小问1详解】 解：设家长的报价为x元，学生的报价为元， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：家长的报价为500元，学生的报价为480元； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为8． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 27. 综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． （1）如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 （2）如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 （3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】（1）， （2） 证明：，，， ， ，，， ， 在和中， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据、分别是、的外角，可证，进而即可证明； （3）过点E作于M，过点G作的延长线于N，通过角的转化证明，则进而可证，则，，同理可证，则，，进一步证明即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于，过点作的延长线于， ， ，， ， 在和中， ， ，， 同理可得：， ，， 即：，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一学期八年级学科竞赛数学学科试卷 一、单选题（每题两分，共32分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列实数：、0、、0.120135、、0.16、0.101001……其中属于无理数的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 两直线平行，内错角相等 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 52° B. 60° C. 68° D. 128° 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 任何数的平方根有两个 B. 无理数是无限不循环小数 C. 无限小数是无理数 D. a2的平方根是a 7. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 8. 下列运算中正确的是（　　　） A. B. C. D. 9. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 10. 动画电影票房新标杆，截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达亿元人民币，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 11. 若、为实数，且，则的值 (　　) A. -2 B. 1 C. 2 D. -1 12. 根据下列已知条件，能唯一画出的是(　　) A. B. C. D. 13. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 14. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 15. 若方程有增根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 16. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共12分） 17. 当______时，分式的值为零． 18. 比较大小：______．（填“>”、“=”或“<”） 19. 的倒数是_______；的平方根是_______；的算术平方根是________． 20. 如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ． 三、解答题（共56分） 21. 解下列方程： （1）； （2）． 22. 请解答： （1）的整数部分为，小数部分为，分别求，的值； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 23. 解答： （1）先化简，再求值：，然后从，，0中选择适当的数代入求值． （2）解方程：． 24. 解答： （1）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，求的值． （2）计算：． 25. 如图，点C在上，，且，交于F． （1）求证：； （2）求的度数． 26. 暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生，现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元． （1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？ （2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按（为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求的最大值． 27. 综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． （1）如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 （2）如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 （3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $