天津市第七中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

天津市第七中学2026—2027学年度高三年级10月考数学试卷 一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，则“”是“为等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 4．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% m% 12% 6% 2% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A．估计观看比赛场数的众数为4 B．估计观看比赛场数的极差为24% C．估计观看比赛场数的平均数为3.02 D．估计观看比赛场数的上四分位数为2 5．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（ ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验（），在犯错误的概率不超过0.05的条件下，认为与有关 7．已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l分别与双曲线左、右两支交于M、N两点，且、，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．3 D． 9．在正三棱柱中，D，E分别满足，，点F在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10．已知复数（为虚数单位），则的虚部为 ． 11．已知随机变量，，则展开式中项的系数为 ． 12．直线与圆相交于A、B两点，则面积最大时，实数 ． 13．盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 ． 14．在边长为1的正方形中，，F为线段上的动点，且，则的最小值为 ；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为 ． 15．若关于x的方程有三个不等实数根，，，且，则实数a的取值范围是 ； ． 三、解答题 16．已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）在中，内角，，的对边分别为a，b，c，为的平分线，若的最小正周期是，，，，求的面积． 17．如图，在三棱柱中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 18．椭圆的下顶点为，左焦点到A的距离为． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D（位于x轴上方），点D关于x轴的对称点为E．过点D作与x轴平行的直线交直线于点N．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 19．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； （3）对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 20．已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有2个不同的零点，，且，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $《天津市第七中学2026-2027学年度高三年级10月考数学试卷》参考 答案 题号 1 3 5 6 8 9 答案 B D C A D A 小 1.5 10.2 .5 12.2 210.4/0.5 11.135 13. 21 110.25 14.16 6 2 【详解】(1) f()-sinox+sinoxcosox--cos2) 22 sin 2ox-1 2 sin 2- cos 2ox=sin 2ar副 当0=1时， 故 π5π 2 Sin =lsi 5π-1 又y=sinr在 、62上单调递增， 在26单调递减.月s如6 62 f(x)=sin2ox-I (2)由(1)知， ，由其最小正周期为2π 2=2元 可得2ω 0= ，又0>0，解得2，则 A_=0 A= 6 ,即 3 AD为∠BAC的平分线，故可得∠BAD=30°，∠CAD=30°. sin 4.bcIs 1 则 m∠84DcA0+分n∠CDbA0, 5c=25+06+c bc ,即443 2 0s4=2+c2-d1_62+c2-3b+c2-2bc-3 在三角形ABC中由余弦定理可得 2bc,即22bc 2bc 3 +c=二bc bc=9(b)-2be-3 将 2代入上式可得： 4 即(3bc+2)3bc-6)=0 bc=-2 解得bc=2,或3（舍去）： 1 故△ABC的面积为2 -x2=V3 sin Acbe=1x3x 2. 17.(1)证明：在三棱柱ABC-AB,G中，连接B,C,设B,C与BC相交于点O,连接OD, 由四边形BCCB是平行四边形，得点O为B,C的中点， 又D为AC的中点，则ODAB,而ODc平面BDC,AB￠平面BDC,所以AB,∥平面BDC. 3v2 3W10 (2)(i)10:(i)5. 【分析】(1)连接B,C,利用线面平行的判定推理得证. (2)()以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面BDC的法向量，利用线面角的向量法求解： (ⅱ)利用点到平面的距离公式求解. 【详解】(1)略 (2)(由AB=BC=V5,D为AC的中点，得BD1AC,由AM1平面ABC, BD,ACC平面ABC,得AA1BD,AA L AC,取AC的中点B,连接DE, 则DEIAA,DE⊥BD,DE⊥AC,直线DA,DE,DB两两垂直， 以点D为原点，直线DA,DE,DB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， AD=1,BD=2,则D(0,0,0),B(0,0,2),A1,0,0).C(-1,3,0), DC=(-1,3,0).DB=(0,0,2).AB=(-1,0,2), 设平面BDC的法向量为元=（化，少，2）， i.DC=-x+3y=0 则iDB=2z=0,取y=1,得i=61,0), 设直线AB与平面BDC所成角为B,则 naa外D59 3W2 所以直线AB与平面BDC所成角的正弦值为10， (i)由(1)知4(1,3,0)，C4=(2,0,0) d=1G4=63W10 所以点A到平面BDC的距离|！V05, 18.(1)3 3+y2=16 ;3 (2)±1 C:x 【详解】(1)设椭圆C“。+方京=1a>b>0) 的焦距为2c, 则下顶点坐标为(0，-b),左焦点(-c,0)到下顶点(0，-b)的距离为a, ⑨C:a2+b=1(a≥b>0の 的下顶点为40，-)，左焦点到4的距离为V5 所以b=1,a=V3,c=√2， +y2=1 所以椭圆C的方程为3 c√2√6 e=-= 离心率为 a33: (2)由题意知，直线AD的斜率存在且不为零，设直线AD方程为y=ka-1, 设椭圆的右顶点为C(V3,0). 因为经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方)， =0-(-)5 k2> kke=5-0=3,故>3.3张-1>0. 所 y=x-1 x2 联立方程3+少2=1 6k 得+3k2)r2-6=0,解得x=0或1+32， 6k 所以01+32，代入y=x-1角p=K6M 1+321=42爱 D 6k3k2-1 E 6k1-3k2 所以气(1+3k2'1+3】 气(1+3k2’1+3k2 1-3k2 k4e=1+3k2-（-) 21 所以 1+320 6k 6k 3k 、 ，所以直线4E的方程为”3欢-1 3k2-1 y= 1+3k2 3k2-1 1 18k3 3k2-1 y= y= 因为DN的方程为1+3k2,所以3k - ,得（1+3k21+32 因为SADEN=2S△MDE, SADEN =DE:DN=-DE:%-%p1 SAMDE-:DE:XpD 18k36k 6k =2× 所以v-n卡2xn,即1+3k21+3张21+3张 整理得3X2-1=2,解得2=1， 所以k=±1，即直线AD的斜率为士1 11) 1g.0a,=n,-5.aeN） 33+2n T.-44x3 (3)存在，所有的正整数对(m,)为(9,2)及(3,3) 【详解】(1)设等差数列am的公差为d,(d≠0)，则由a,+a,=a3,得4+5d+a+6d=a+12d, 因为4=1，所以d=1,所以0，=1+(n-)=n: 由45+2b=3,0 当n≥2时，4Sn+2b=3,② ①-②，得4b+2b,-2b,1=0 1 b,=3bn≥2 1 又当n=1时，4+26=3，解得： 6=2*0 1 ∴{b,}是首项为2，公比为3的等比数列， (nEN') (2)在bn和b+1之间插入n个数X、X2、、xm,使bm、Xal、X2、、xm、b+1成等差数列，设 公差为d, b1-b 6 1 d.2(n+28 n+1 3"(n+1)」 k 则 1 n(n+l)n 3"(n+1) 23” 12 n ..T=+...n2+...+m 332++ 3”,① 1,2, 33罗++”-m +3”+3丽，② 一十 3 3”3* ①-②得 1 33+2n .T=44×3°. ☑-0n+1 （3)假设存在正整数m,n,使 2am成立， 31 T= -n=m+1_1+1 44×3-2×3”2m2'2m」 m= 2×3”-23”-2n-3)+4n+6=2+,4n+6 3"-2n-33"-2n-3 3"-2n-3. m=2+10 -3 当n=1时， -2 不合题意， m=2+14=9eN 当n=2时， 2 当n=3时，m=2+1=3∈N, 下证，当n≥4n∈N)时，有3”-2n-3>4n+6,即证3”-6n-9>0, 设fx)=3*-6x-9,x≥4，则f"(x)=3血3-6>3*-6>0， ∴f(x)在[4，+0)上单调递增， 故n≥4时，3”-6n-9>34-6×4-9=48>0, .0< 4n+6一<1 3”-2n-3, ∴.n之4时，m不是整数， ∴所有的正整数对(m,m)为(9,2)及(3,3) 20.(1)y=0 (2)a≤0时，单调递减区间为-0，+0)，无增区间： -00,一 a>0时，单调递减区间为N a. 单调递增区间为a (3)(血2,1U1,+o) 【详解】(1)当a=1时，f)=e-x-L,f0)=e-0-1=0,切点为0,0)， ∫'()=e-1,切线斜率k=f'(0)=1-1=0,因此切线方程为y=0, (2)f'(x)=aer-1, 当a≤0时，ae“≤0，故∫'()=ae“-l<0恒成立，因此f)在R上单调递减，无单调递增区间： x=-Ina 当a>0时，令∫'(x)=0,得ae“=1,解得a, x<-Ia 当 时，'()<0，f)单调递减； >_I 当 a时，'(>0，f)单调递增： 综上所述，a≤0时，单调递减区间为-0，+0)，无增区间； Ina -00，- a>0时，单调递减区间为 a. 单调递增区间为a (3)由(2)可知当a≤0时f(x)单调递减，仅1个零点，不符合题意，故a>0: fna 1+lna-a 当a>0时，由(2)知fx)最小值为a 8(a)=1+Ina-a g(a)=1-1 a,令8()=0，解得a=1, 所以当a∈(0，)，g'(a>0,g(a单调递增： 当a∈(L,+oo),g'(a)<0,g(a)单调递减， 所以8(amx=g(0=0,故g(a)≤0， 故f(田)m≤0，要保证f()存在两个根，则fm<0且fxm≠0，即a≠1. 注意到对任意a,f(0)=e°-0-1=0，即x=0恒为f()的一个零点， 因此0)有两个不同零点且x-xK1等价于存在另一个零点七≠0，且，K1, Ina0 当0<名<1时，根据fw)单调性可知，极小值点a,且f四=e-2>0,解得1>a>n2: Ina<o 当1<<0时，根据f)单调性可知，极小值点a,且f(-)=e“>0,解得a>1, 综上a的取值范围是（血2,1）U(L,+oo),