精品解析：陕西延安中学初中部2026-2027学年八年级上学期数学第一次阶段性作业

延安中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业 初二数学 （全卷：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第II卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第I卷（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，7 D. 4，5，10 3. 如图，在和中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，平分，是边上的点，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题　共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，，，若满足，可以添加的条件是___________． 10. 如图，小朋友玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是________． 11. 如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 12. 如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 13. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：； 15. 解方程组：． 16. 解不等式组： 17. 如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，．求证：． 19. 振兴中学为进一步推动落实《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（—）》，大力支持学生开展户外运动．为了解七年级学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据成绩情况分为五组（学生的成绩用表示）：组：，组：，组：，组：，组：，将调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据信息，解答下列问题： （1）共调查了____名学生； （2）请补全频数直方图； （3）在扇形统计图中，组所在的扇形对应的圆心角度数为____； （4）若该校七年级共有名学生，请估计七年级一分钟跳绳个数不少于的学生人数． 20. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 21. 如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：． 22. 已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 23. 在学习了全等三角形的判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．请用严谨的推理证明这个猜想的正确性． 24. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 25. 如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 26. 阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业 初二数学 （全卷：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第II卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第I卷（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，7 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 【详解】A．∵， ∴ 1，2，3不能组成三角形，故A不符合题意； B．∵， ∴ 2，3，4能组成三角形，故B符合题意； C．∵， ∴3，4，7不能组成三角形，故C不符合题意； D．∵， ∴ 4，5，10不能组成三角形，故D不符合题意． 3. 如图，在和中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，求得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， 故选：C． 4. 如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求三角形的面积． 【详解】解：点是的中点， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， 是的中线， ， 点是的中点， 、分别是、的中线， ，， ，， ． 6. 如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 7. 如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 无法证明，故D错误． 8. 如图，中，，平分，是边上的点，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过作于F，利用角平分线性质得，证及，结合全等三角形性质及面积割补法逐条判断． 【详解】解：如图，过作于， ，平分， ，， ， ， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； ， ， 若， 则，即， ， 需，题中未给此条件，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②，共2个． 第Ⅱ卷（非选择题　共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，，，若满足，可以添加的条件是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的判定定理求解即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当添加时，结合，，可利用证明， 当添加时，结合，，可利用证明， 故答案为：或． 10. 如图，小朋友玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用．由题意得，，，根据可证明，得到，即可求得嘉嘉离地面的高度． 【详解】解：如图，由题意知，，，，，， ， 在与中， ， ， ， 嘉嘉离地面的高度是． 11. 如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 12. 如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 13. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】给①乘以2，用加减消元法得出y的值，代入①求出x的值． 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：； 方程组的解为：． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】构造的角平分线，进而构造即可． 【详解】略． 18. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】略 19. 振兴中学为进一步推动落实《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（—）》，大力支持学生开展户外运动．为了解七年级学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据成绩情况分为五组（学生的成绩用表示）：组：，组：，组：，组：，组：，将调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据信息，解答下列问题： （1）共调查了____名学生； （2）请补全频数直方图； （3）在扇形统计图中，组所在的扇形对应的圆心角度数为____； （4）若该校七年级共有名学生，请估计七年级一分钟跳绳个数不少于的学生人数． 【答案】（1）名 （2） （3） （4）约有名 【解析】 【分析】（1）由组人占，即可求解； （2）求出组的学生数为名，画出图即可； （3）由的人数求出即可求解； （4）由图可求得不少于的学生有，即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 故共调查了名学生； 【小问2详解】 解：组的学生数为（名）， 补全图略； 【小问3详解】 解：， 故组所在的扇形对应的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：（名）， 故七年级一分钟跳绳个数不少于的学生约有名． 20. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的数量关系结合三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴. 21. 如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：． 【答案】 证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 22. 已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】略 23. 在学习了全等三角形的判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．请用严谨的推理证明这个猜想的正确性． 【答案】已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且． 求证：． 证明：根据题意画图， 是边上的中线，是边上的中线， ，， ， ． 在和中，， ， ， 在和中，， ． 【解析】 【分析】先根据中线的定义和已知条件推出，利用边边边证明，从而推出，再根据边角边即可证明． 【详解】略 24. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【答案】（1）种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元 （2）方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个 （3）该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元 【解析】 【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案； （3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案． 【小问1详解】 解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得： ， 解得， 答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元； 【小问2详解】 解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型， 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴或或， ∴方案有三种： 方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个； 方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个； 方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个； 【小问3详解】 解：∵种飞机模型的单个利润为：（元）， 种飞机模型的单个利润为：（元）， ∴方案1的总利润为：（元）， 方案2的总利润为：（元）， 方案3的总利润为：（元）， ∵， ∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元． 25. 如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 26. 阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在；点的坐标为：，，． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $