精品解析：陕西西安市铁一中学2026-2027学年上学期八年级数学10月学情自测试卷

数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1），其中是无理数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根、无理数的定义求解即可． 【详解】解：． ∵ ，，（相邻两个之间的个数逐次增加）是无理数，，，是有理数． ∴ 无理数共有3个． 2. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 5的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 3. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 4. 已知点和关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点和点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解后，代入求值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 5. 下列各组数中，属于勾股数的是（） A. ，， B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数为勾股数是解题的关键． 根据勾股数是三个正整数且满足逐项判断即可． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足， A．、、即9，16，25，但，故不是勾股数，不符合题意； B．5，12，13，，故是勾股数，符合题意； C．由，，非全部正整数，故不是勾股数，不符合题意； D．由，，，非正整数，故不是勾股数，不符合题意． 故选B． 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 7. 如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ） A. 6 B. C. 2π D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm， ∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）； 以AC为直径的半圆的面积S2=π（cm2）； 以BC为直径的半圆的面积S3=π（cm2）； S△ABC=6（cm2）； ∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）； 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 8. 计划制作一个三角形钢架，米，米，顶点到直线的距离为12米，则此三角形钢架的周长为（ ） A. 42米 B. 32米 C. 42米或32米 D. 37米或33米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，，垂足为，米，分、在垂足同侧和两侧两种情况计算长度，进而求得周长． 【详解】解：根据题意得，，垂足为，米， 在中，米， 在中，米， 分以下两种情况： 当，在点两侧时，如图， 米，周长为米； 当，在点同侧时，如图， 米，周长为米． 综上所述，此三角形钢架的周长为42米或32米． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点所在象限求参数，根据第一、三象限的角平分线上点的特征，横坐标与纵坐标相等，列出方程求解。 【详解】解：因为点在第一、三象限的角平分线上，所以横坐标等于纵坐标，即 . 解方程：， 移项得 ， 即 ， 所以 ， 故答案为：. 11. 若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是________． 【答案】5cm##5厘米 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：5cm． 【点睛】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 13. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 14. 如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 【答案】21 【解析】 【分析】由 面积确定点 P轨迹为矩形中位线． 最小值为 P到距离． 利用轴对称将转化为 ， 结合两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：设点 P到的距离为 ℎ， 如图：过P作交于E，则， ∵的面积为30平方米， ∴，即，解得：． ∵ 矩形宽， ∴ 点 P在平行于且到距离为 4的直线上， 即该直线也是矩形的中位线 ， ∴ 点 P到 的距离为， ∵Q 在  上 ， ∴， 如图：当 时，为最小值， 作点 A关于点 P所在直线的对称点 ，此时和点D重合， ∴ ∴， 当 D、P、B三点共线时，  最小， 最小值为的长， 在 中， ， ∴的最小值为17，  ∴的最小值为． 三、解答题（共58分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，再把的系数化为1，最后利用平方根的定义求解； （2）先移项，再利用立方根的定义求出的值，进而求出． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先依据二次根式乘除法则计算乘除，化简根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解答下列各题 （1）当时，化简______． （2）已知，求的立方根． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合判断的符号，去绝对值化简即可． （2）根据非负数的性质求出和的值，再代入计算的立方根． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴原式 ． 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，， 可得，， 解得，. 当时，， ∴的立方根为； 当时，， ∴的立方根为． 综上所述，的立方根是或． 18. 如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． （1）画出关于轴对称的，的坐标为______； （2）求的面积为______，边上的高为______． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）； 【解析】 【分析】（1）根据关于坐标轴对称点的规律得到的对应点的坐标，依次连接各点即可得到所求图形，由关于轴对称点的规律可得点的坐标为； （2）根据割补法求得的面积，并根据勾股定理在直角坐标系里得到的长，进而得到边上的高． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在单位长度为的方格纸中画出， ∴的面积为， 根据勾股定理可得：， ∴边上的高为：． 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【答案】云梯的底端在水平方向滑动了 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∵云梯的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴， 答：云梯的底端在水平方向滑动了． 20. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出； （2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】（1） （2）9 （3） 解：设，， 则， ， ， ， 即， 【解析】 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【小问1详解】 解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 22. 综合探究 问题提出： （1）如图①，在中，，，，则点到边的最短距离是______； 问题探究： （2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决： （3）如图③，金秋十月，某校组织秦岭生态研学活动，研学区域内有一块四边形地块，地块内有小路和，计划分区种植苗木．已知，，，对角线长为米，计划在内种植侧柏，在内种植石榴苗木，若要使石榴苗木的栽植区域面积尽可能大，计划方案是否能实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 【答案】（1） （2） （3）计划方案能实现，区域面积的最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据垂线段最短、等腰三角形的性质和勾股定理即可求出的值； （2）过点作于点，于点，证明，，则，，根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，进而得到，进而根据面积的等量代换即可得到答案； （3）延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到米，，再证明是等边三角形，得到米，设米，则米，根据的直角三角形的性质和勾股定理分别得到的长，利用三角形面积公式和完全平方公式得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 则线段的长度即为点到边的最短距离， ， 是等腰三角形， ， ， 即点到边的最短距离是； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点，则， 是的角平分线， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形的面积为： ； 【小问3详解】 解：如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点， ，， ， 四边形的内角和为， ， ， ， 又， ， 米，， ， 是等边三角形， 米， 米， 设米，则米， ， ， 米， 米， ， ， ， ， 当时，取得最大值为， 即当米时，区域面积取得最大值为平方米， 计划方案能实现，区域面积的最大值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1），其中是无理数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 5的算术平方根 3. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知点和关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 下列各组数中，属于勾股数的是（） A. ，， B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ） A. 6 B. C. 2π D. 12 8. 计划制作一个三角形钢架，米，米，顶点到直线的距离为12米，则此三角形钢架的周长为（ ） A. 42米 B. 32米 C. 42米或32米 D. 37米或33米 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值________． 11. 若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________． 12. 如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是________． 13. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 14. 如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 三、解答题（共58分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 解答下列各题 （1）当时，化简______． （2）已知，求的立方根． 18. 如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． （1）画出关于轴对称的，的坐标为______； （2）求的面积为______，边上的高为______． 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 20. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 21. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 22. 综合探究 问题提出： （1）如图①，在中，，，，则点到边的最短距离是______； 问题探究： （2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决： （3）如图③，金秋十月，某校组织秦岭生态研学活动，研学区域内有一块四边形地块，地块内有小路和，计划分区种植苗木．已知，，，对角线长为米，计划在内种植侧柏，在内种植石榴苗木，若要使石榴苗木的栽植区域面积尽可能大，计划方案是否能实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $