广东深圳市深圳中学高中园2026-2027学年高三上学期第一次阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期高三第一次阶段性考试 科目：数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题，若，则有，得，即， 反之，若，则，解得，即； 因此“”是“”的充分必要条件，故C正确. 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 5．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 6．已知函数，则在内的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 7．已知函数的定义域为，且，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，定义域为，所以函数为偶函数， 又因为，所以. 所以是以4为周期的周期函数. 又时，， 所以. 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．的外接圆的半径为 B． C．的面积为 D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，可得外接圆的半径为，故A选项错误； 对于B选项，由余弦定理，有， 即，即，解得（负值舍去），故B选项正确﹔ 对于C选项，由，得，可得的面积为，故C选项错误； 对于D选项，由，，可得，故D选项正确. 10．已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．若，则 D．过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， 当时，为极大值点，而，不合题意； 当时，没有极值，不合题意； 当时，为极大值点，所以，解得，A正确； 对于B ，由A选项可知， 令，则或，所以有且仅有2个零点，B错误； 对于C，， 当时，，在上单调递增， 因为，则，所以，C正确； 对于D，，所以， 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 所以或，所以过点有且仅有2条直线与函数的图象相切，D正确. 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【详解】令，，， 再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，，故A正确； 令，，，，， 即，故C不正确； 设，则，则由B，C的分析及题意可得 即，在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 【答案】16 13．已知，且，则______． 【答案】 14．对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点， 即方程有两个根，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 的图象恒过点，的图象也过点， 因为，所以在处的切线方程为， 由图可知当或时，与的图象有2 个交点， 即有两个根， 所以实数m的取值范围为，    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）， 故 . 16．（本题满分15分）函数的一段图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求的单调减区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由图象知，， 因为，所以， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则， 又，所以，故. 令得：， 的单调减区间是； （2）， 当，即时，取最小值. 又存在，使不等式成立， ，即，或， 的取值范围为. 17．（本题满分15分）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，为的导函数，讨论的零点个数. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）因为，，所以， 令，则， 设，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又，当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 18．（本题满分17分）如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，， 故有或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理得， 故 在三角形中， 所以的范围为 （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 19．（本题满分17分）函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求的取值范围； (3)当时，若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，可得， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高三第一次阶段性考试 科目：数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ） A．1 B．5 C． D． 3．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 5．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 6．已知函数，则在内的极大值点为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．的外接圆的半径为 B． C．的面积为 D． 10．已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．若，则 D．过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 13．已知，且，则______． 14．对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（本题满分15分）函数的一段图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求的单调减区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 17．（本题满分15分）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，为的导函数，讨论的零点个数. 18．（本题满分17分）如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 19．（本题满分17分）函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求的取值范围； (3)当时，若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $