广东汕头市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段检测数学试题

2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级数学科试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选顶中，只有一项符合题目要求， 1.己知集合A={x2x2-5x+2≥0}，B={0,1,2,3,5},则A∩B= () A.{0,1} B.{0,1,2} C.{2,3,5} D.{0,2,3,5} 2双曲线军-g矿=1的离心率为 ( A.√5 B.√月 c 3.已知等差数列{an}不是常数列，若a1=1,且a1、a2、as成等比数列，则ao= A.10 B.19 C.20 D.21 4.已知点P(3,4)在角α的终边上，将α的终边绕原点O逆时针旋转得到角B的终边，则cosB=() A-青 B.-是 c.寻 D青 5.在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积S(单位：hm)与搜索时间t(单位：h)满足关系式S= Soet,其中S为目标区域总面积，k为常数.某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为200hm 和50hm.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标lgS,的参考范围，则此次演练的地形 属于 () 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标lgSo (（2.5,2.6] (2.6,2.7] (2.7,2.8] (2.8,2.9] 参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477. A.高山峡谷 B.复杂山地 C.浅丘林地 D.平原水面 6.若直线y=kx+2(k∈R)是曲线y=lnx+3与曲线y=e”+b(b∈R)的公切线，b= A.-1 B.1 C.e D.日 7.已知函数f()=sm(ox+5)-sin0m(w>0),若f)在e∈(0.2x)部分的图象与直线y=-号恰有 三个交点，则ω的取值范围为 () A(品] B(6] c(] D.(告] 一一高三数学试题第1页共4页一 8已知等比数列{a}的公比为9其前n项积为，满足a4>I,aa>1,号<0，则(》 A.q<0 B.a2025·a0r-1<0 C.T6是数列{T}中的最小项 D.若T,<1,则n的最小值为4053 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分·. 9.已知复数z满足z(1+i)=2i,则下列结论正确的有 A.z的共轭复数z=1-i B.z是方程x2+2x+2=0的一个根 C.z在复平面内对应的点位于第一象限 D.z是纯虚数 10.函数f(c)=Asin(ox+p)(A>0,ω>0，lg<5)的部分图象如图所示，则下列关于函数y=f(x)的说 法正确的是 A.w=2 B.f(四的图象关于点(-石，0)对称 C.将函数y=2sin(2如一晋)的图象向左平移号个单位长度得到函数f()的图象 O元 123 D.若方程f(c)=m在x∈[-乏，0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 -2 (-2,-√3] 11.已知函数f(x)=(x-c)(x-2)的极大值为4，则下列结论正确的有 A.c=5 B.函数f(x)有3个零点 C.f(x)的对称中心为(4,2) D.过点(2,0)有且仅有1条直线与函数f(x)的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知向量元=(cosd,sin6),元=(1，√3)，且元⊥，0∈(0，元)，则0的值为 13.已知数列{an}为等比数列，a1=1,ag=3a2,则S5=」 14.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=e”+ac,若f(c)=x2+1有且只有一个解，则实数a 的取值范围为 一一高三数学试题第2页共4页一一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤· 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 ccosB-bcosA=acosB. (1)求角B的大小： (2)若a+c=2,求b的取值范围. 16.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，E,F分别为PB,CD的中点. (1)证明：EF∥平面PAD: (2)己知PA⊥平面ABCD,AE⊥PC, ①证明：AE⊥PB; ②求直线PC与平面AF所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=2W3 sinxcosx+2sin'x-1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，]时，求f()的最大值与最小值，及其对应的x的值： (3)已知函数g(x)=f(wx)(w>0),若任意x∈R,g(c)≤g(x)≤g(c2)恒成立时，m1-x的最小值为元， 解不等式g(x)≤√ 一一高三数学试题第3页共4页一 18.(本小题满分17分) 在数列{an}中，a1=0,an+1=2an-1. (1)求证：数列{am-1}是等比数列，并求出{am}通项公式； (2)求数列{2n(1-am)}的前n项和； (3)若bn=log(1-an),从数列{bn}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2”项，按原来顺序组成新 数列{cn},求使得不等式c1十c2十c十…+cn<2026成立的最大正整数n的值. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=e+sinx,g(c)=ax,F(x)=f(c)-g(x). (1)当a=2时，求函数F(c)在点(0，F(0)处的切线方程： (2)当a=1时，设P(1,f(c1),Q(x2,g(x)(x1≥0，c2≥0)，且PQ∥c轴，求P、Q两点间的最短距离： (3)若c>0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方，求实数a的取值范围. 一一高三数学试题第4页共4页一一2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级数学科试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选顶中，只有一项符合题目要求， 1.己知集合A={x2x2-5x+2≥0}，B={0,1,2,3,5},则A∩B= (D) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{2,3,5} D.{0,2,3,5} 2双曲线军-g矿=1的离心率为 (C) A.√5 B.√月 c 3.已知等差数列{an}不是常数列，若a1=1,且a1、a2、as成等比数列，则ao= (B) A.10 B.19 C.20 D.21 4.已知点P(3,4)在角α的终边上，将α的终边绕原点O逆时针旋转得到角B的终边，则cosB=(A) A-青 B.-是 c.寻 D青 5.在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积S(单位：hm)与搜索时间t(单位：h)满足关系式S= Soet,其中S为目标区域总面积，k为常数.某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为200hm 和50hm.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标lgS,的参考范围，则此次演练的地形 属于 (B) 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标lgSo (（2.5,2.6] (2.6,2.7] (2.7,2.8] (2.8,2.9] 参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477. A.高山峡谷 B.复杂山地 C.浅丘林地 D.平原水面 6.若直线y=kx+2(k∈R)是曲线y=lnx+3与曲线y=e”+b(b∈R)的公切线，b= (B) A.-1 B.1 C.e D.日 7.已知函数f()=sim(ax+5)-sinor(o>0),若f)在x∈(0,2x)部分的图象与直线y=一号恰有 2 三个交点，则ω的取值范围为 (C) A(品] B(6] c(] D.(告] 一一高三数学试题第1页共8页一 8已知等比数列a}的公比为9，其前n项积为，耳满足a>1,Q>1,号<0，则(D) A.q<0 B.a205'a20r-1<0 C.T6是数列{T}中的最小项 D.若Tn<1,则n的最小值为4053 【解析】已知等比数列a,a1>1,8<0, a202m-1 说明a2026-1与a20m-1异号，即a2026,a20m一项大于1，一项小于1， 又a2026·a202r>1>0,故a2026,a202r同号，则q>0,故A错误； 结合a1>1,若g≥1，则am>1,矛盾， 因此0<g<1,数列单调递减，由此得a2026>1>a2027>0, .a2025·a202r-1=a3026-1>0,故B错误： .T6是数列{T}中的最大项，故C错误： a026*a0s=ar<1,T059=a1aa40g=(a20r)）53<1, 又a203sa31r>1,则T052=a1a2a402=(a2026*a202m)2026>1, 所以若Tn<1,则n的最小值为4053，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分·. 9.已知复数z满足z(1+i)=2i,则下列结论正确的有 （ACD) A.z的共轭复数z=1一i B.z是方程x2+2x+2=0的一个根 C.z在复平面内对应的点位于第一象限 D.z是纯虚数 10.函数f(x)=Asin(x十p)(A>0,ω>0，p<5)的部分图象如图所示，则下列关于函数y=fx)的说 法正确的是 ABD ⅓ A.0=2 B.f()的图象关于点(-，0)对称 C将函数y=2ain(2m-看)的图象向左平移受个单位长度得到函数f(四的图象 123 D.若方程f(o)=m在x∈[-受0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 -2 (-2,-√5] 11.己知函数f(c)=(c一c)(x-2)的极大值为4，则下列结论正确的有 (AC) A.c=5 B.函数f(x)有3个零点 C.f(x)的对称中心为(4,2) D.过点(2,0)有且仅有1条直线与函数f(x)的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 5四 12.已知向量元=（cos0,sin),元=(1，√5)，且元⊥元，0∈(0，x),则0的值为 一一高三数学试题第2页共8页一 13.已知数列{an}为等比数列，a1=1,a3=3a2,则S5=121, 14.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=e十ax,若f(c)=x2+1有且只有一个解，则实数a 的取值范围为2-e,+∞)· 【解析】由f(x)=x2+1,得f(x)-x2-1=0,令g(x)=f(x)-x2-1, 由函数f(x)是R上的偶函数，得g(-c)=f(-x)-(-x)2-1=f(x)-x2-1=g(x), 则函数g(x)是R上的偶函数，若t是函数g(x)的零，点，则g(-t)=g(t)=0, 即-t也是函数g(x)的零点，由fx)=x2+1有且只有一个解，得函数g(x)的仅有一个零点， 因此函数g如)有唯一零点0，当D>0时，方程f代)=D2+1台a=r十1一e无实数解， 令函数h)=D+1-心>0，求导得M=1-1-@-1e=@-1x+1-e 2 02 02 令函数p(x)=x+1-e”,x>0,求导得p'(x)=1-e”<0,函数(x)在(0，十o∞)上单调递减， (<p(0)=0,即当x>0时，+1e<0,当0<<1时，N(m)>0:当r>1时，h)<0, 函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞)上单调递减，h(x)mx=h(1)=2-e, 而当c→十∞时，h(x)→-∞，因此函数h(x)的值域为(-o,2-e],a>2-e, 所以实数a的取值范围为(2一e,十o). 一一高三数学试题第3页共8页一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤· 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 ccosB-bcosA=acosB. (1)求角B的大小： (2)若a+c=2,求b的取值范围。 【解析】(1)因为2 ccosB-bcosA=acosB, 所以由正弦定理得2 sin CcosB-sinBcosA=sinAcosB, (1分) sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB, 所以sin(A+B)=2 sinCcosB (2分) 因为A+B+C=元，所以sin(A+B)=sinC, 又0<C<π，所以sinC≠0， (3分) 所以2c0sB=1,即c0sB=2, 1 (4分) 因为0<B<元， (5分) 所以B=号 (6分) (2)[法-]因为a+c=2,cosB= 2 所以b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-ac (1分) =(a+d)2-3ac=4-3ac≥4-3×(0=4-3=1， (4分) 当且仅当a=c=1时，等号成立 (5分) 所以b≥1，又b<a+c=2, (6分) 所以b的取值范围为[1,2) (7分) [法二]因为a+c=2,cosB= Γ2 所以b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-ac (1分) =a2+(2-a)P-a(2-a)=3(a-1)2+1 (4分) 由a>0且c=2-a>0,可得0<a<2 (5分) 所以，1≤b2<4,即b的取值范围为[1,2) (7分) [法三]由正孩定理得，品 a十c sinA+sinC' (1分) 又a+c-2,sinB=5 2 可得b= √/5 √5 3 √3 sinA+sinC sinA+sin(-A-B) sinA+sin(A+号) √5sin(A+若) sin(+) (4分) 又0<A<受，即音<A+若<晋 (5分) 可得mA+晋)（号刊 (6分) 所以，b的取值范围为[1,2) （7分) 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，E,F分别为PB,CD的中点. (1)证明：EF∥平面PAD: (2)己知PA⊥平面ABCD,AE⊥PC, ①证明：AE⊥PB; ②求直线PC与平面AEF所成角的正弦值 一一高三数学试题第4页共8页一 【解析】(1)[法一]取AP中点M,连接EM,DM,如图所示， 因为E,M分别为PB,PA的中点，所以EM∥AB,且EM=号AB 又F为CD的中点，所以FD=CD, E 又AB业CD,所以EM业FD,即四边形EFDM是平行四边形(1分) 所以EF∥D (2分) 因为EF寸平面PAD,MDC平面PAD, (3分) 所以EF∥平面PAD (4分)B P E A 夕 C B [法二]取AB中点G,连接G,FG,如图所示， 因为E,G分别为PB,AB的中，点，所以EG∥PA 因为EG寸平面PAD,PAC平面PAD,所以EG∥平面PAD, (1分) 同理GF∥平面PAD, (2分) 又EG,GFC平面EFG,EG∩GF=G,所以平面EFG∥平面PAD, (3分) 因为EFC平面EFG,所以F∥平面PAD. (4分) (注：若由线线平行直接推出面面平行，本题只得2分) (2)[法一]①因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC, 因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC, 因为AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE, (2分) 又AE⊥PC,BC∩PC=C,BC,PCC平面PBC, 所以AE⊥平面PBC, (4分) 因为PBC平面PBC,所以AE⊥PB, (5分) ②因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形 所以，以点A为原点，分别以AB,AD,AP为心，，z轴，如图建立空间直角坐标系， 由①得AE⊥PB,且E为PB的中，点，则AB=PA=2, ZA 则A(0,0,0),E(1,0,1),F(1,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0), (6分) D 所以PC=(2,2,-2),AE=(1,0,1),AF=(1,2,0), 设平面AEF法向量为元=(x,y,z), 则元：正=心+2=0 元·AF=x+2y=0 令D=2,则y=-1,z=-2, D方 所以元=(2，-1，-2)， (8分) 设直线PC与平面AEF所成角为日， PC. 则sin0=cos<PC,> 2×2+2×(-1)+(-2)×(-2)=W3 (10分)】 P. 2W5×3 3 一一高三数学试题第5页共8页一 即直线PC与平面AEP所成角的正弦值为5 (11分) 3 [法二]①因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形 所以，以点A为原点，分别以AB,AD,AP为，z轴，如图建立空间直角坐标系， 设PA=mm>0,且AB=2则A(0.00),B(20.0),E1,0,),F(1,20),P(0,0.m),C(2,2.0, (1分) 所以A正=(1,0，)，P元=2,2，m 由AE⊥PB可得，A正.P元=2-受=0，解得m=2 (3分) 可得AE=(1,0,1),PB=(2,0,-2) 所以AE·PB=2-2=0 (5分) 即AE⊥PB. (6分) ②由①得AB=PA=2, 所以PC=(2,2,-2),AE=(1,0,1),AF=(1,2,0), 设平面AEF法向量为元=(，出，z), 则iA正=红+2=0 元·AF=0+2y= ,令0=2，则y=-1,z=-2, 所以元=(2，-1，-2)， (8分)】 设直线PC与平面AF所成角为日， PC元 则sin0=cos<PC,i> 2×2+2×(-1)+(-2)×(-2=5 (10分) PC-同 2√3×3 3 即直线PC与平面AEP所成角的正弦值为 3 (11分)】 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2W3 sinccosx+2sin'x-1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，]时，求f(m)的最大值与最小值，及其对应的x的值： (3)已知函数g(x)=f(wx)(ω>0)，若任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x)恒成立时，c1-的最小值为π， 解不等式g(x)≤√ 【解折】1f()=2w3 in8e+2sin2-1=V5sin2m-cos2a=2sin(2x-看)， (2分) 由-号+2kx≤2m-吾≤号+2，ke2 (3分) 解得看+低≤x≤骨+，k∈Z。 (4分) 故f()的单调造增区间为[-看+标，号+k标]，k∈乙 (5分) (注：单调区间必须写成区间形式，若写成集合或者不等式，最后一步不得分) ②因为e[0,],所以2z-看∈[-看晋] (1分) 当2z-看=号时，即当0=号时，g创)取最大值为2 (3分) 当2z-晋=一看时，即当0=0时，9)取最小值为-1 (5分) 3)由(1得go)=foa)=2sin2we-看， 因为对任意x∈R,g(c1)≤g(c)≤g(c)恒成立， 一一高三数学试题第6页共8页一 所以g(c)是最小值，g()是最大值， 则国一。一号-元，舒得T=2, (1分) 则T=无=2x,解得@=号 因此函数解析式为g(m)=2sin(r-石) (2分) 由g四≤3即2(e-看)≤5，可得：mg-看)≤号 2 则2x-者<-看<2版+号ke2, (3分)】 3 解得2k-石≤≤2标+受(kEZ, 6 (4分) 所以，g)<B的解朵是{bx-否<≤2+受kez (5分) (注：解集必须写成集合形式，若写成不等式，最后一步不得分) 18.（本小题满分17分) 在数列{an}中，a1=0,an+1=2an-1. (1)求证：数列{an-1}是等比数列，并求出{an}通项公式； (2)求数列{2n(1-am)}的前n项和； (3)若bn=log2(1-am),从数列{bn}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2”项，按原来顺序组成新 数列{cn},求使得不等式c1十c2十c+…+cn<2026成立的最大正整数n的值. 【解析】(1)由am+1=2an-1可得，an+1-1=2(an-1), (1分) 又a1-1=-1≠0，（注：此步没写“≠0”，不扣分） (2分) 故{an-1}是首项为-1，公比为2的等比数列 (3分) 因此an-1=(-1)×2m-1, 即am=1-2m-1(n∈N. (4分 (2)设数列{2n(1-an)}的前n项和为Tn 由(1)知1-am=2n-1(n∈N),故2n(1-an)=n·2”, (1分) T=1×21+2×22+3×23+..+n·2m,① 2T= 1×22+2×2+…+(n-1)·2m+m…2m+1,② (2分) ①-②得，-Tn=22+2+23+..+2”-n·2+1 =2-2严×2-m·2+注：若没展示使用等比数列求和公式，此步不得分】 1-2 (3分) =(1-n)·2m+1-2, (4分) 故Tn=（n-1)2n+1+2. (5分) (3)依题意可得，bm=1og(1-an)=log2m-1=n-1, (1分) 由题意，cn为{bn}的第2n项，故cn=b2.=2m-1, (2分) 所以c1+c2+…+cm=(21-1)+(22-1)+…+(2m-1)=(2+22+…+2m)-n, 由等比数列前n项和公式可得：2+2++2=21-2”=2+1-2， 1-2 故c1十c2+…+cn=2n+1-n-2, (4分) 令2m+1-n-2<2026,设Mn=2m+1-n-2,n∈N*, 则M+1-Mn=2m+2-(n+1)-2-（(2m+1-n-2)=2n+1-1>0, 故{Mn}为递增数列， (6分】 又M6=210-9-2=1013<2026,M10=21-10-2=2036>2026, (7分) 故满足不等式的最大正整数为9. (8分) 一一高三数学试题第7页共8页一一 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=e十sinc,g(x)=ac,F(x)=f(x)-g(x) (1)当a=2时，求函数F()在点(0，F(0)处的切线方程； (2)当a=1时，设P(c1f(c1),Q(x2,9(r)(x1≥0，c2≥0)，且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离： (3)若x>0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方，求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=2时F(x)=f(x)-g(x)=e+sinc-2c, 所以F(0)=e0+sin0-2×0=1+0-0=1,故切，点为(0,1)， (1分) 又F'(x)=e+cosx-2,可得切线斜率k=F'(0)=0, (2分) 所以切线方程为y-1=0×(x-0),即y=1 (3分) (2)当a=1时，f(x)=e”+sinc,g(x)=x, 由PQ∥x轴，可知P,Q两点的纵坐标相等，即yp=yQ, 所以f()=g(2),即e+sin1=2, (1分) 因为c1≥0，P,Q两点间的距离d=c2-1|, 由于c2=e+sinc1,x1≥0， 令p(x)=e+sinx-x(w≥0)， (2分) d=o(x1),o'(x)=e*+cosx-1, 令(x)=p'(x)=e+cosc-1,则'(x)=e”-sinc, 因为c≥0时e≥1≥sin,所以中'(c)≥0（仅在c=0时等号成立），即(x)在[0，+oo)上单调递增， (4分) 因此p'(x)=中(x)≥(0)=e0+cos0-1=1>0,即p(x)在[0，+o)上单调递增 (5分)】 所以p(x)的最小值为p(0)=e°+sin0-0=1, 所以两，点间最短距离为1. (6分) (3)依题意可得，当c>0时，F(c)>F(-c)恒成立， (1分) F(x)=e+sinx-ax,F(-x)=e-+sin(-x)-a(-x)=e--sinx+ax, 所以e+sinx-ax>e-”-sinc十ac,整理得e”-e-x十2sin-2ax>0对任意x>0恒成立， 令h(x)=ew-e-"+2sinx-2ac(x>0),即h(x)>0对任意x>0恒成立， (2分) 注意到h(0)=0,要使h(x)>0在x>0时恒成立，则h(c)在心=0附近的右侧必须单调递增， h'(c)=e+e-+2cosc-2a,且h'(0)=4-2a, 若要满足条件，必有h'(0)≥0，所以4-2a≥0，即a≤2， (3分) 当a≤2时，h'(x)=e+e-"+2cosc-2a≥e+e-w+2cosx-4, (4分) 令u(x)=e+e-w+2cosc-4,则u'(c)=e”-e”-2sinc, 令g(ax)=u'(x),则g(ax)=e"+e0-2cosx≥2Wee”-2cosx=2-2cosx≥0， 所以u'(x)在[0，+o∞)上单调递增，且u'(0)=0, 因此u'(c)≥0，u(x)在[0，十∞)上单调递增，且u(0)=0, 所以u(c)≥0， (6分) 从而h'(x)≥0， 所以，当a≤2时h(x)在[0，+∞)上单调递增， (7分) 因此h(r)>h(0)=0对任意x>0恒成立， 所以实数a的取值范围是(-0∞，2]. (8分) 一一高三数学试题第8页共8页一