精品解析：陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年上学期第一次教学质量检测高一数学试题

瑞泉中学2026-2027学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试题 第Ⅰ卷　选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为1 C. 函数的最小值为0 D. 方程有无数个根 第Ⅱ卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 13. 已知，若f(a)=10，则a=________. 14. 是定义在上的减函数，则不等式的解集是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的定义域并求，； （2）已知，求a的值． 16. 若集合和. （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值集合. 17. 已知函数的图像经过点，． （1）求函数的解析式并判断函数的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性并证明． 18. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 19. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学2026-2027学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试题 第Ⅰ卷　选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图求反应出所表示的集合的关系可得选项. 【详解】全集，集合，，， 如图所示阴影区域表示的集合为：． 故选：B． 【点睛】本题考查集合的新定义，关键在于理解图示所表示的集合间的关系，属于基础题. 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】因为 的否定为 ,所以命题“，”的否定是，,选D. 3. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】令，即，解得； 则的充要条件为，所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可. 【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且， 故A正确； 对于B，的定义域为， 而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为， 两函数定义域不同，故C错误； 对于D，易知两函数定义域均为R，但， 故D错误. 故选：A 6. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，设，定义域为. ，，，所以不是奇函数，故A错误. 对于B，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，， 所以不是增函数，故B错误. 对于C，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，，所以不是增函数，故C错误. 对于D，设，定义域为，. ，所以是奇函数. 任取，且. ①若，. ，，所以，. ②若，，，所以. ③若，，所以. 综上所得，当时，总有，在上为增函数，故D正确. 7. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 8. 已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】因为函数，在上是增函数， 所以， 解得， 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，不是整数，故，A错误； 对于B，因为，所以． 又因为是自然数集，所以，B正确； 对于C，因为是无理数，所以，C错误； 对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，D正确． 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以. 【详解】A选项：，，但是，A不正确； B选项：因为成立，则，那么，B正确； C选项：，但是，C不正确； D选项：因为，则，又，所以，D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 11. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为1 C. 函数的最小值为0 D. 方程有无数个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据函数定义，研究函数的性质，逐项分析即可． 【详解】因为， 所以， ，A正确； 由定义可得，所以， 所以无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确； 方程可化为， 所以，D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可. 【详解】函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，函数的图象不关于轴对称，舍去； 当时，函数的图象关于轴对称； ∴实数． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题. 13. 已知，若f(a)=10，则a=________. 【答案】-3或5 【解析】 【分析】分和两种情况，得到所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 故答案为：或5． 【点睛】该题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值，属于基础题目． 14. 是定义在上的减函数，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出关于的不等式组，进而可求得原不等式的解集. 【详解】由于是定义在上的减函数，且，可得，解得. 因此，不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，同时要注意函数定义域的限制，考查计算能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的定义域并求，； （2）已知，求a的值． 【答案】（1）定义域为；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式分母不为、二次根式被开方数大于等于列出不等式组求出定义域，将自变量直接代入解析式求出函数值； （2）把代入函数解析式，解方程即可求解. 【小问1详解】 要使有意义，需要满足 ， 解得且，所以的定义域是. ； . 【小问2详解】 ， 由，得， 即，解得. 16. 若集合和. （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值集合. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）当时，先求得然后求它们的并集.（2）根据和两类，结合是的子集列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】解：（1）当时，，则. （2）根据题意，分2种情况讨论： ①当时，则成立； ②当时，则. 由解得. 综上，的取值集合为. 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念及运算，考查集合间的相互关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17. 已知函数的图像经过点，． （1）求函数的解析式并判断函数的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性并证明． 【答案】（1），函数为奇函数； （2）函数在上单调递减，证明过程如下： 任取， 则， 因为， 所以，， 所以， 故函数在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，解方程组可得和的值，再根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）任取，计算可得，从而得解． 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以函数的解析式为， 定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数． （2）略 18. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用一元二次不等式的恒成立，即可求解； （2）根据条件得到，分、和三种情况，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 由题知在实数集上恒成立， 当时，恒成立，所以满足条件， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，即，整理得到， 即，又，令，解得或， 当，即时，解得，当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 【答案】（1）；（2）或；（3）当米时，最小值为24平方米． 【解析】 【分析】（1）由线线平行，可得，再由对应边成比例，可得； （2）可令写出矩形面积的表达式，由，求解一元二次不等式，结合，可得的范围； （3）令，则，整理可得关于的函数，运用基本不等式可得函数的最小值，求得最值取得的条件，即可得到所求结论． 【详解】（1）由， 可得，即，得； （2）矩形的面积， 令，得，即， 可得，解得或， 又，可得或； （3）令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 当米时，矩形面积取最小值为24平方米． 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $