江苏省南京市九年级数学2026-2027学年第一学期期中考试模拟卷3（苏科版）

2026～2027学年第一学期江苏南京期中学情调研试模拟卷 九年级数学 （满分：120分　考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 一元二次方程 配方后可化为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 （千米/时）与时间 （小时）的函数关系是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. 在同一平面内，已知 的半径为2，圆心 到直线 的距离为3，点 为 上的一个动点，则点 到直线 的最大距离是（　　） A. 2　　B. 5　　C. 6　　D. 8 5. 已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 当 时，　　D. 当 时， 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 分别是 轴和 轴上的点，过 轴上的另一点 作 ，与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点， 恰好为 的中点，连接 和 ．若 ， 的面积为2，则 的值为（　　） A. 2　　B. 　　C. 3　　D. 1 （第6题） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程 的根为＿＿＿＿． 8. 设方程 的正根介于整数 与 之间，则 ＿＿＿＿． 9. 已知 是方程 的一个根，则 的值为＿＿＿＿． 10. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为＿＿＿＿米． （第10题） 11. 一定质量的氧气，它的密度 （kg/m³）是它的体积 （m³）的反比例函数，当 m³ 时， kg/m³；那么当 m³ 时，氧气的密度为＿＿＿＿kg/m³． 12. 在平面直角坐标系中，函数 与 （）的图象交于点 ，则代数式 的值为＿＿＿＿． 13. 若扇形的面积是它所在圆的面积的 ，则这个扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿°． 14. 如图所示，小区内有个圆形花坛 ，点 在弦 上，，，，则这个花坛的面积为＿＿＿＿（结果保留 ）． （第14题） 15. 如图，点 ，，， 在 上， 是 的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若 ，则 ＿＿＿＿°． （第15题） 16. 如图，在平面直角坐标系 中，， 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数 （）的图象与边 交于点 ，与边 交于点 （， 不重合）．给出下面四个结论：① 与 的面积一定相等；② 与 的面积可能相等；③ 一定是锐角三角形；④ 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是＿＿＿＿． （第16题） 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （8分）解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）． 18. （7分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 ，，且 ，求 的值． 19. （6分）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置”碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2023年投入使用，单台设备年均捕集量为10吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到2025年单台设备年均捕集量达到19.6吨，且从2023年到2025年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． （1）求该设备每年年均捕集量的平均增长率； （2）该科技公司在2026年初引入AI人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的1.5倍，按照这个平均增长率，预计2026年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 20. （7分）某农场计划建造一个矩形养殖场 ，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边 靠墙（墙的长度为9 m），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏 把它分成两个面积为 的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为15 m，设较小矩形中与墙平行的一边 长为 m． （1）填空：①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含 的代数式表示为＿＿＿＿m；② 的取值范围是＿＿＿＿． （2）矩形养殖场 的面积能否达到 ？如果能，请求出 的值；如果不能，请说明理由． （第20题） 21. （8分）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温 （℃）与开机时间 （分）满足一次函数关系，当加热到 时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温 （℃）与开机时间 （分）成反比例关系，当水温降至 时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 时，求水温 （℃）与开机时间 （分）的函数表达式； （2）求图中 的值； （3）有一天，小明在上午7:10（水温 ）开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:15，此时饮水机内水的温度约为多少摄氏度？在7:10～11:15这段时间里，水温共有几次达到 ？ （第21题） 22. （8分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接 ，，求 的面积． （第22题） 23. （8分）如图，点 ，， 在 上， 平分 ． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，，求 的半径． （第23题） 24. （9分）如图，在 中，，以 为直径作 ，与 相交于点 ．连接 ，与 相交于点 ． （1）如图①，连接 ，求 的度数； （2）如图②，若点 为 的中点，且 ，求 的长． 　 25. （9分）如图， 是半圆 的直径， 是半圆上一点，连接 并延长到 ，使 ，连接 ，， 交半圆 于点 ，已知 ． （1）如图①，过点 作 于点 ，求证： 是半圆 的切线； （2）如图②，当 时， 与半圆 重合的面积为＿＿＿＿； （3）如图③，若点 是 的内心，则当点 在半圆 上时，求 的度数． 　　 26. （8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在 轴上存在点 ，使得 的值最小，求 的最小值； （3） 为反比例函数图象上一点， 为 轴上一点，是否存在点 ，，使 是以 为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 　 27. （10分） 28. 【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图①，线段 ， 组成折线段 ．若点 在折线段 上，，则称点 是折线段 的中点． 【理解应用】 （1）如图②， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若 ，则 ＿＿＿＿； 【定理证明】 （2）阿基米德折弦定理：如图③， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦），，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，求证： 是折弦 的中点； 【变式探究】 （3）如图④，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 ，， 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论； 【灵活应用】 （4）如图⑤， 是 的直径，点 为 上一定点，点 为 上一动点，且满足 ，若 ，，则 ＿＿＿＿． 　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期江苏南京期中学情调研试模拟卷 九年级数学 （满分：120分　考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】 A 【解析】 A．符合一元二次方程定义，是一元二次方程；B．不是整式方程，不是一元二次方程；C．化简后次数最高为1，不是一元二次方程；D．有 、 两个未知数，不是一元二次方程．故选A． 2. （临沂中考）一元二次方程 配方后可化为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】 B 【解析】 对 配方，得 ，即 ，故选B． 3. （广州中考）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 （千米/时）与时间 （小时）的函数关系是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】 B 【解析】 由题意得 ，则 ，故选B． 4. （宿迁中考）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心 到直线 的距离为3，点 为 上的一个动点，则点 到直线 的最大距离是（　　） A. 2　　B. 5　　C. 6　　D. 8 【答案】 B 【解析】 点 到直线 的最大距离为 ，故选B． 5. （2025·内蒙古中考）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 当 时，　　D. 当 时， 【答案】 D 【解析】 对于反比例函数 ，它的图象在各个象限内 随 的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值．，当 ，即 时，；当 ，即 时，；当 ，即 时，．综上，只有选项D正确，故选D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 分别是 轴和 轴上的点，过 轴上的另一点 作 ，与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点， 恰好为 的中点，连接 和 ．若 ， 的面积为2，则 的值为（　　） A. 2　　B. 　　C. 3　　D. 1 （第6题） 【答案】 A 【解析】 如图，连接 ，由题意，设 ，，，．因为 ，所以 ．因为 恰好为 的中点，所以 ，且 ，所以 ．因为 的面积为2，，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ．故选A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程 的根为＿＿＿＿． 【答案】 ， 【解析】 ，， 或 ，，． 8. （2025·南京中考）设方程 的正根介于整数 与 之间，则 ＿＿＿＿． 【答案】 2 【解析】 解方程 ，得 ，．因为 ，所以 ，所以 ，则 ． 9. （2024·南充中考）已知 是方程 的一个根，则 的值为＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 把 代入 ，得 ，． 10. （2026·苏州期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为＿＿＿＿米． （第10题） 【答案】 6 【解析】 由题图得车道的宽为 米，则停车位总占地长为 米，宽为 米，根据题意得 ，整理得 ，解得 ，（不符合题意，舍去），即车道的宽为6米． 11. （2026·济南期中）一定质量的氧气，它的密度 （kg/m³）是它的体积 （m³）的反比例函数，当 m³ 时， kg/m³；那么当 m³ 时，氧气的密度为＿＿＿＿kg/m³． 【答案】 70 【解析】 氧气的质量一定，设氧气的质量为 ，即 ，且当 时 ，，，．当 时，． 12. （2025·扬州期中）在平面直角坐标系中，函数 与 （）的图象交于点 ，则代数式 的值为＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 因为函数 （）与 的图象交于点 ，所以 ，，即 ，，所以 ． 13. （2025·长春中考）若扇形的面积是它所在圆的面积的 ，则这个扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿°． 【答案】 240 【解析】 设扇形的圆心角度数为 ，半径为 ，由题意得 ，解得 ． 14. （上海中考）如图所示，小区内有个圆形花坛 ，点 在弦 上，，，，则这个花坛的面积为＿＿＿＿（结果保留 ）． （第14题） 【答案】 【解析】 过点 作 于点 ，连接 ，如图．因为 ，，所以 ．因为 于点 ，所以 ，所以 ．在 中，由勾股定理，得 ；在 中，由勾股定理，得 ．所以这个花坛的面积 ． 15. （2026·南京校级月考）如图，点 ，，， 在 上， 是 的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若 ，则 ＿＿＿＿°． （第15题） 【答案】 84 【解析】 如图，连接 ，，连接 并延长，与 交于点 ，连接 ．因为 是 的中点，所以 ，所以 ．因为四边形 是圆 的内接四边形，所以 ．因为 ，所以 ．因为 是 的切线，所以 ．因为 是 的直径，所以 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ． 16. （2025·北京中考改编）如图，在平面直角坐标系 中，， 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数 （）的图象与边 交于点 ，与边 交于点 （， 不重合）．给出下面四个结论：① 与 的面积一定相等；② 与 的面积可能相等；③ 一定是锐角三角形；④ 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是＿＿＿＿． （第16题） 【答案】 ①④ 【解析】 因为四边形 是矩形，所以 ．又 ， 是反比例函数 （）图象上的动点， 轴， 轴，因为 ，所以 ，即 与 的面积一定相等，故①正确；由①可得 ，当 与 的面积相等时，连接 ，，如图①，因为 ，所以 在直线 上，则 ， 重合，又 ， 不重合，所以 与 的面积不可能相等，故②不正确；因为等边三角形和反比例函数图象都是轴对称图形，当 且对称轴为直线 时， 是等边三角形，如图②，故④正确；如图③，当 ， 在 的同侧时， 是钝角三角形，故③错误．综上，①④正确，②③错误． 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （8分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 （1），；（2）；（3），；（4），． 【解析】 （1）两边同除以3，得 ，直接开平方得 ，所以 ，． （2）用配方法（或公式法），配方得 ，所以 ． （3）原方程可化为 ，移项得 ，即 ，所以 ，． （4）原方程可化为 ，因式分解得 ，即 ，所以 ，． 18. （7分）（2024·遂宁中考）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 ，，且 ，求 的值． 【答案】 （1）见解析；（2） 或 ． 【解析】 （1）由题意知，判别式 ．因为无论 取何值， 恒成立，所以无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）因为 ， 是方程 的两个实数根，所以 ，，所以 ，解得 ，． 19. （6分）（2026·遵义期中）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置”碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2023年投入使用，单台设备年均捕集量为10吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到2025年单台设备年均捕集量达到19.6吨，且从2023年到2025年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． （1）求该设备每年年均捕集量的平均增长率； （2）该科技公司在2026年初引入AI人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的1.5倍，按照这个平均增长率，预计2026年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 【答案】 （1）平均增长率为40%；（2）31.36吨． 【解析】 （1）设该设备每年年均捕集量的平均增长率为 ，根据题意得 ，解得 ，（舍去）．答：该设备每年年均捕集量的平均增长率为40%． （2）（吨）．答：预计2026年该设备单台年均捕集量将达到31.36吨． 20. （7分）（2025·扬州期末）某农场计划建造一个矩形养殖场 ，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边 靠墙（墙的长度为9 m），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏 把它分成两个面积为 的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为15 m，设较小矩形中与墙平行的一边 长为 m． （1）填空：①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含 的代数式表示为＿＿＿＿m；② 的取值范围是＿＿＿＿． （2）矩形养殖场 的面积能否达到 ？如果能，请求出 的值；如果不能，请说明理由． （第20题） 【答案】 （1）①；②；（2）能达到，此时 ． 【解析】 （1）①由题意得 m，．因为中间用与墙垂直的栅栏 把它分成两个面积为 的矩形，即 ，所以 ，所以 m，所以 m． ②因为墙的长度为9 m，所以 ，即 ，所以 的取值范围是 ． （2）能．根据题意，列方程得 ，整理，得 ，解方程，得 ，．由（1）可知 ，所以 ，即矩形养殖场 的面积能达到 ，此时 的值是1． 21. （8分）（2026·南通期中）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温 （℃）与开机时间 （分）满足一次函数关系，当加热到 时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温 （℃）与开机时间 （分）成反比例关系，当水温降至 时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 时，求水温 （℃）与开机时间 （分）的函数表达式； （2）求图中 的值； （3）有一天，小明在上午7:10（水温 ）开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:15，此时饮水机内水的温度约为多少摄氏度？在7:10～11:15这段时间里，水温共有几次达到 ？ （第21题） 【答案】 （1）（）；（2）；（3）约为 ，共有6次达到 ． 【解析】 （1）由图象可知，当 时是一次函数，设水温 （℃）与开机时间 （分）的函数表达式为 ，将 ， 代入，得 ，解得 ，所以水温 （℃）与开机时间 （分）的函数表达式为 （）． （2）在水温下降过程中，设水温 （℃）与开机时间 （分）的函数表达式为 ，将 代入，得 ，解得 ，所以反比例函数表达式为 ，当 时，，解得 ，即题图中 的值为40． （3）由（2）可得 ，结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，7:10～11:15经历的时间为245分钟，（次）……5（分钟），此时与 时水的温度相同，当 时，．答：此时饮水机内水温约为 ，共有6次达到 ． 22. （8分）（2024·常州中考）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接 ，，求 的面积． （第22题） 【答案】 （1），；（2）． 【解析】 （1）因为一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，，所以 ，，即 ，所以反比例函数的表达式为 ，．所以 ，解得 ，所以一次函数的表达式为 ． （2）设直线 与 轴交于点 ．因为 ，所以当 时，，所以 ，所以 的面积 ． 23. （8分）如图，点 ，， 在 上， 平分 ． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，，求 的半径． （第23题） 【答案】 （1）见解析；（2）． 【解析】 （1）如图，连接 ，．因为 ，所以 ，所以 ．同理，．因为 平分 ，所以 ，所以 ，所以 ． （2）如图，连接 ，延长 与 交于点 ，与 交于点 ．因为 ， 平分 ，所以 ．因为 是 的直径，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，解得 ．设 ，则 ．因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 的半径为 ． 24. （9分）（2025·辽宁中考）如图，在 中，，以 为直径作 ，与 相交于点 ．连接 ，与 相交于点 ． （1）如图①，连接 ，求 的度数； （2）如图②，若点 为 的中点，且 ，求 的长． 　 【答案】 （1）；（2）． 【解析】 （1）如图①，连接 ．因为 ，，，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ，．设 ，，在四边形 中，，所以 ，所以 ． （2）如图②，连接 ．因为 ， 为 中点，所以 ，所以 ，所以 为等边三角形，因为 ，所以 ，所以 的长为 ． 25. （9分）（2026·淮安期末）如图， 是半圆 的直径， 是半圆上一点，连接 并延长到 ，使 ，连接 ，， 交半圆 于点 ，已知 ． （1）如图①，过点 作 于点 ，求证： 是半圆 的切线； （2）如图②，当 时， 与半圆 重合的面积为＿＿＿＿； （3）如图③，若点 是 的内心，则当点 在半圆 上时，求 的度数． 　　 【答案】 （1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 （1）如图①所示，连接 ．因为 ，，所以点 ，点 分别为 ， 的中点，所以 ．因为 ，所以 ．因为 是半圆 的半径，所以 是半圆 的切线． （2）．解析：如图②所示，连接 ，，，过点 作 于点 ．因为 是半圆 的直径，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，所以 ．因为 ，，所以 ， 是等边三角形，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ，，所以 ，所以 与半圆 重合的面积 ． （3）当点 在半圆 上时，因为点 是 的内心， 是半圆 的直径，所以 ，，，所以 ，．因为 ，，所以 ，所以 ．设 ，则 ，．因为四边形 的内角和为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 为等边三角形，，所以 ，所以 ．所以当点 在半圆 上时， 的度数为 ． 26. （8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在 轴上存在点 ，使得 的值最小，求 的最小值； （3） 为反比例函数图象上一点， 为 轴上一点，是否存在点 ，，使 是以 为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 　 【答案】 （1）；（2）；（3）存在，点 的坐标为 或 ． 【解析】 （1）一次函数 的图象与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点，把 ， 两点代入一次函数 ，得 ，，所以 ，，即 ，．把 代入反比例函数 （）得 ，所以 ，所以反比例函数的表达式为 ． （2）如图①所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，，，，所以 ，所以 ，当 ，， 三点共线时， 的值最小，此时点 位于 的位置，所以 ，且 ，所以 ，所以 的最小值为 ． （3）存在．设点 ，，且 ．当点 在点 的右侧时，如图②所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴交 的延长线于点 ．因为 是以 为底的等腰直角三角形，所以 ，．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ；当点 在点 的左侧时，如图③所示，同理可得 ，则 ，且 ，，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ．综上所述，存在点 ， 使 是以 为底的等腰直角三角形，点 坐标为 或 ． 27. （10分）（2025·宿迁期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图①，线段 ， 组成折线段 ．若点 在折线段 上，，则称点 是折线段 的中点． 【理解应用】 （1）如图②， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若 ，则 ＿＿＿＿； 【定理证明】 （2）阿基米德折弦定理：如图③， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦），，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，求证： 是折弦 的中点； 【变式探究】 （3）如图④，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 ，， 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论； 【灵活应用】 （4）如图⑤， 是 的直径，点 为 上一定点，点 为 上一动点，且满足 ，若 ，，则 ＿＿＿＿． 　　　　 【答案】 （1）；（2）见解析；（3）；（4） 或 ． 【解析】 （1）因为 是 的切线， 为切点，所以 ，所以 ．因为 ，，所以 ，所以 ．因为点 是折线段 的中点，所以 ． （2）在 上截取 ，连接 ，，，，如图①．因为点 是 的中点，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，所以 是折弦 的中点． （3）．解析：在 上截取 ，连接 ，，，，如图②．因为点 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ． （4） 或 ．解析：因为 是 的直径，所以 ．因为 ，，所以 ．当点 与点 在 两侧时，因为 ，所以 ．过点 作 于点 ，如图③，，所以 ，所以 ；当点 与点 在 同侧时，，过点 作 于点 ，如图④，因为 ，所以 ，所以 ．综上所述， 的长为 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $