江苏省徐州市邳州市2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试自测

徐州市邳州市2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中自测 （测试范围：第1章 ～第3章 考试时间:120分钟 试卷满分:140分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 3．下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 4．用配方法解方程，则配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠C的度数（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 7．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D． （第6题） （第8题） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若是方程的一个根，则__________． 10．已知点在反比例函数的图象上，则_________ 11．如图，的弦，圆心O到的距离为3，则的半径为 _____． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13．如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为__________ 14．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． （第11题） （第13题） （第14题） 15．如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 16．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为___________． 17．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____． （第15题） （第16题） （第17题） 18．如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共计86分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)． (2)； 20．已知关于x的方程是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值． 21．已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 22．如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 23．如图，公园原有一块长为、宽为的矩形空地，现要在空地内的四周修建等宽的道路，余下空地栽种鲜花．要使鲜花栽种面积为，道路的宽应为多少？ 24．尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 25．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 26．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 27．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于D、E两点，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．连接．    (1)连接，若的面积为8，则______； (2)连接，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ (3)连接，当k为何值时，以为直径的圆与相切 28．如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《徐州市邳州市2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中自测》参考答案 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．C 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 3．D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5．C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 6．C 【分析】利用垂直的定义得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠ACB和∠AOB都对， ∴∠ACB=∠AOB=×90°=45°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．C 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 8．C 【分析】过点D作关于直线的对称点F，连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，    连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于， 因为四边形是矩形，，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为4， 故选∶C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 10．/ 【分析】把点的坐标代入函数关系式即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ． 11．5 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵弦，圆心O到的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， 即的半径为 5， 故答案为：5．    12．且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 13． 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 14． 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 15．/10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长应是，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故答案为：． 16． 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，，是的切线，， 的周长为： ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的底面积为 ， 该圆锥的表面积是． 故答案为：． 18． 【分析】取的中点，连接，，，由中位线的性质可得，则点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴为定值，， ∴点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， ∴当点在线段上时，最小；当点在线段的延长线上时，最大； ∵， ∴， 在中，， ∴最大为，最小为， ∴． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴方程有2个不相等的实数根 ∴   即，， （2）解：    ∴或   ∴， 20．不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．理由： 假设存在，则有x12＋x22＝224． ∵x1＋x2＝=4m−8， x1x2＝=4m2， ∴（x1＋x2）2−2x1x2＝224，即（4m−8）2−2×4m2＝224， ∴m2−8m−20＝0， （m−10）（m＋2）＝0， ∴m1＝10，m2＝−2． ∵Δ＝（m−2）2−m2＝4−4m≥0，m为正数 ∴0＜m≤1， ∴m1＝10，m2＝−2都不符合题意， 故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224． 【分析】利用根与系数的关系，化简x12＋x22＝224，即（x1＋x2）2−2x1x2＝224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式． 21．(1) (2)列表格如下： 描点，连线，绘制函数图象如图所示， (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先列表格，再描点、连线即可； （3）结合函数图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略； （3）解：根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大， ∴在时，函数的最小值为：当时，， ∴在时，函数的取值范围为， 根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大，但始终小于零， ∴在时，函数的取值范围为， 综上所述，函数的取值范围为或． 22． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，，正方形的判定与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理求出，同理可得，可证明四边形为正方形，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，． ， ， 在 中，， 同理可得， ， 易得四边形为正方形， ， ． 23． 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽应为，列出方程，求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为， 根据题意得， 即， 解这个方程得，（不合题意，舍去）， 答：道路的宽应为5m． 24．(1) 作图如下： (2)1 【分析】本题考查了内切圆的基本作图，内切圆半径的计算，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质． （1）利用角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图即可． （2）利用切线长定理，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】（1）根据角的平分线的交点是内切圆的圆心， 则即为所求． （2）如上图，设与，，的切点分别是F，E，D，设的半径为r， 连接，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为1． 25．(1) (2)①；②外；③ 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 26．(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 27．(1)16 (2)24;6 (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式与反比例函数关系式即可求得k值． （2）利用反比例函数的关系式求出点D、点E的坐标，再表示出的底边与边的高的长度，即可表示出的面积表达式，最后利用二次函数的极值求法可得出答案． （3）以为直径作圆，与直线相切时，圆心到的距离等于长度的一半，依此建立方程即可求解． 【详解】（1）连接，如下图．    ∵E点在反比例函数的图像上，且横坐标为8， ∴E点纵坐标为， 即 ∴ （2）连接，如下图．    ∵D在反比例函数图像上， ∴D点的横坐标为． 即 ∴当时，△AED的面积最大，最大面积是6． （3）如下图，连接AC，以DE为直径的圆与AC相切时，设圆心为O，切点为N，自点D作AC的垂线，垂足为M．    为计算方便，设反比例函数系数，则E点坐标为，D点坐标为． ∴，． 由勾股定理得： ∵，， ∴， ∴． 由O为圆心，N为与切点可知，． 又∵， ∴四边形为正方形． ∴， 由， ∴． 由，得， ． ∴． ∴． ∴当时，以为直径的圆与相切 【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的极值、圆的切线性质、正方形的判定与性质等相关知识点，解题的关键是巧设点的坐标． 28．(1)如图，弦即为所求； (2) 如图，弦和即为所求； (3) 如图，弦即为所求． 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 理由：， ； （2）解：如图，弦和即为所求； 理由：， ； （3）解：以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦， 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $