湖北武汉市武钢三中2026-2027学年高二上学期10月学科素养调研数学试卷

武汉市武钢三中2026-2027学年度上学期学科素养调研 高二数学 考试时间：2026年10月24日上午10：00-12：00 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.已知直线1：4x+my+2=0和l2:mx+y+1=0平行，则实数m=() A.-2 B.0 C.2 D.±2 2.假设P(A)=0.3,P(B)=0.4,且A与B相互独立，则P(AUB)=() A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.58 3.若直线的方向向量元=( ,sin9),日e[-子3，则的倾斜角a的取值范围是() A[-5月 B.o,aU阿，m)C[0孕u,m) D.层， 4.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上存在点P,使得PA·PB=0,则t的取值范围为() A【-3, B【-号，3 C.(-o,-2u3,+om) D.(-∞，-7U[层，t∞) 6.已知⊙C1:x2+y2=r2(r>0)和⊙C2:x2+y2-4x+m=0的一条公切线方程为x+V3y+2=0, 则两个圆的公共弦长为() A罗 B受 c吗 D.V3 7.如图，在三棱锥0一ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠 近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若 G 0而=k0A,0E=m0B,0F=n0c,则呢+之+=() A子 B号 c号 D号 8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲 线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究 成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比Mg=(>0,1≠1)，那么点M的轨迹就是阿 IMPI 波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1,其中，定点Q为x轴上一点，定点P 的坐标为(-3,0)，入=3，若点B(1,1),则3MP川+MB的最小值为() A.V10 B.√11 C.15 D.V17 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.若圆C:(x-1)2+y+2)2=4上恰有四个点到直线：2x+y+m=0的距离等于1，则m的值可能是 () A.0 B.1 C.2 D.3 10.抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件A,“第二次向上的点数是奇数”为事件B, “两次向上的点数之和能被3整除”为事件C,则下列说法正确的是() A.事件A与事件B互为对立事件 B.P(BC)=若 cP4uB0-是 D.事件B与事件C相互不独立 11.棱长为1的正方体，E是CC1的中点，P是平面ADD1A1上的动点，平面PBE与平面ABCD的交线为l,则 () D A.EP的最小值为1 A ⊙ B.EP+BP的最小值为 2 P C.存在一点P,使得EP⊥CD D: D.二面角E-l-C最小时，其平面角的正切值为 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0有三条公切线，则m= l3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+y+5=0相交于同一点，则点(m,n)到原点的距离的最小值 为 14.正四面体PABC的棱长为v√2，若点Q是该正四面体外接球球面上一动点，则QA·QC的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分)已知直线l:3x-y+3=0,求： (1)直线l关于点A(1,2)对称的直线的方程. (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程； 2 16.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2,AA1=4,M是AB的 中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点. (1)在线段A1N上找一点Q,使得PQ/平面A1CM; (2)在(1)的条件下，求PQ与平面A1CM的距离. B 17.(本小题15分)已知圆C关于直线y=x+1对称，且两点(1，-1)，(4,2)在圆C上. (1)求圆C的标准方程； (（2)直线经过点(3,1)，且与圆C交于A,B两点若△ABC的面积为，求直线的方程. 3 18.(本小题17分)已知圆0：x2+y2=9,圆N:(x+5)2+y2=16交于A,B两点，A在第二象限. (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点A的直线分别交两圆于两个不同的点C,D,且ACI=|AD,求直线CD的方程. 19.(体小题17分)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA1平面ABC,PA=2AB=1,点E为 线段BC上的动点，AF⊥PE于F, (1)若点E为BC中点，证明：AF1FC; (2)在(1)的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值； (3)求线段长CF列的最小值， B 1.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题， 由题意利用两条直线平行的条件，求得m的值. 【解答】 解：当m=0时两直线不平行； 当m≠0时，令-4=-m得m=士2， m 当m=2时两直线重合； 经检验，当m=-2时两直线平行. 故选A, 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题 根据独立事件的概率乘法公式和概率加法公式可求出结果. 【解答】 解：因为A与B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.3+0.4-0.12=0.58. 故选：D. 3.【答案】C 【解析】直线的方向向量m=(,sin9), 所以直线的斜率为tana= sine 1 =2sim0,6∈[-号，a,则tana e【-V31]. 因为c∈[0，)，所以的倾斜角α的取值范围是[0，孕U,) 4.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查圆和圆的位置关系以及两个圆的公切线问题，考查转化思想，是基础题 转化寻找两个圆的公切线，判断两个圆的位置关系即可. 5 【解答】 解：到点A(1,2)距离为1的直线是以A为圆心，1为半径的圆的切线， 到点B(3,1)距离为2的直线是以B为圆心，2为半径的圆的切线， …所求直线为两圆的公切线， 两圆圆心距为d=√(1-3)2+(2-1)2=√5， 即1<d<3, 所以两圆的位置关系为相交，公切线有两条， 故满足条件的直线有2条， 故选B. 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，为中档题， 设P(x,y),根据PA·PB=0,得出P的轨迹方程，再结合条件P为直线AB上的点，得到直线与圆的位置关 系，即可求解。 【解答】 解：设P(xy),则PA=(2-x,-y),PB=(10-x,-y), 因为PA·PB=0,所以(2-x)·(10-x)+(-y)2=0, 即(x-6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心，4为半径的圆上， 又点P在直线tx-4y+2=0上，所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16有公共点， 则6t2L≤4，解得-号≤t≤3 √t2+16 故选：B. 6.【答案】C 【解析】因为⊙C1:x2+y2=r2和⊙C2:x2+y2-4x+m=0的一条公切线方程为x+V3y+2=0, 则⊙C1:x2+y2=r2的圆心(0,0)到切线x+V3y+2=0的距离d=V=1=T, 2 ⊙C2:x2+y2-4x+m=0的圆心(2,0)到切线x+V3y+2=0的距离d=专=2=√4-m,则m=0.所 以⊙C:x2+y2=1和⊙C2:x2+y2-4=0的公共弦所在的直线方程为两圆方程相减，即x=子则公 共弦长为2r2-白2=， 故选C. 7.【答案】A 6 【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题 由空间向量基本定理，用OA,OB,OC表示OM,由D,E,F,M四点共面，可得存在实数，L,使DM= λDE+μDF,再转化为0M=(1-λ-四kOA+mOB+mOC,由空间向量分解的唯一性，分析即得 解. 【解答】 解：由题意可知，0M-0G=子OA+AG=DA+子×(A丽+AC)] =0A+50丽-0A+3oC-0=0A+号0丽+g0C, 因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数孔，u,使DM=入DE+uDF, 所以0M-0D=1(0E-0D)+μ(0F-0D), 所以0M=(1-λ-)0D+10E+uF=(1-λ-k0A+m0B+m0C, 1--k=号 所以， m-号 in =2 9 所以+点+片-0-1-0+2+=号 9 故选：A. 8.【答案】D 【解析】【分析】 本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查学生在陌生环境下灵活运用知识的能力，考查创新意识，逻辑推理能力 及运算求解能力，考查数形结合思想，属于拔高题 令3MPI=|MQ,则3lMP|+IMB1=IMQI+IMBl,由阿波罗尼斯圆的定义及已知可求得点Q的坐标，进 而利用图象得解。 【解答】 解：由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆， 且1=3，则wg=3, MPI 设点Q的坐标为0m,),则-m2+0-m =3, √c+02+y2 整理得，2+y2+x+合y+- =0, 8 /6+2m=0 8 由己知该圆的方程为x2+y2=1,则 8÷0 1-m2-n2 ，解得003 -=-1 8 ∴点Q的坐标为(-3,0)， ..3MPI+MBI =MQI+MBI, 由图象可知，当点M位于M1或M2时取得最小值， 且最小值为QB=√(-3-1)2+1=17， 故选：D 9.【答案】ABC 【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于基础题. 根据题意可知：圆心C(1,一2)到直线的距离等于d<r一1=1，结合点到直线的距离公式运算求解. 【解答】 解：由题意可知：圆C:(x-1)2+y+2)2=4的圆心C(1,-2),半径r=2, 若圆C上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心C(1,-2)到直线的距离等于d<r-1=1,则m<1, V22+12 解得-v5<m<√5， 显然0,1,2∈(-V5,⑤)，3庄(-√5，V⑤) 故选：ABC. 10.【答案】BC 8 【解析】【分析】 本题主要考查古典概型的计算与应用，互斥事件与对立事件，互斥事件与相互独立事件的判断，属于中档 题. 根据互斥事件与相互独立事件，古典概型的概率公式，逐一判断即可. 【解答】 解：由题意知事件A与事件B可以同时发生， 故不互为对立事件，故A选项错误： 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， “两次向上的点数之和能被3整除”的样本点 为(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，共有12种， 由古典概型的概率公式得P(©)=号-专： P(BC)=品-言，故B选项正确； 事件AB的样本点为(2,2)，(2，④，(2,6)，共3种情况： BC的样本点为(1,1)，(3,1)，(4,1)，(6,1)，(1,3)，(2,3)，(4,3)，(5,3)，(2,5)，(3,5)，(5,5)，(6,5)共12种 情况， 所以P(A丽UBO)=P(AB+P(BO=希+号-品故C选项正确： P(BC)=P(B)P(C),所以事件B与事件C相互独立，故D选项错误， 故选：BC 11.【答案】ABD 【解析】解：在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系 0 则D(0,0,0),A(1,00),B(11,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E(0,1, 对于A,设P(x,0,2),故EP=(化，-1,2- P1=x2+(2-2+1, 9 当x=0,z=时，EP的最小值为1，故A正确； 对于B,作点B关于平面x0z的对称点B'(1,-1,0), 则EB=(1,-2,-为， 则EP+BP的最小值为EB'=|EE1=经，故B正确， 对于C,因为D元=(0,1,0)，则EP.D元=-1≠0， 所以不存在一点P,使得EP 1 CD,故C错误； 对于D,设平面PBE的法向量为元=(a,b,c), 因为P=(x,-1,2-),BE=(-1,0,, 故 ax-b+c(2-)=0 -a+c=0 取a=1,则c=2,b=x+2z-1, 故元=(1，x+2z-1,2), 又平面ABCD的一个法向量为DD1=(0,0,1): 则os<元，DD>|= 2 1+4+x+2z-1)2 当二面角E-1-C最小时，有x+2z-1=0, 此时los<元，DD>lma=25, 51 则1tan<元，DD>1=2 即平面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD 12.【答案】16 【解析】解：圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2, 若圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0化为标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25-m, 圆心为C2=(4,3),半径r2=√25-m,其中m<25, 因为圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0有三条公切线， 所以两圆外切，所以C1C2=11+T2,即5=2+V25-m, 解得m=16 故答案为：16. 10 13.【答案】√5 【解折】联论)红g解利化2E02代入x+w+5=0可得，m+2a+5=0m=5-2红 点(m,n)到原点的距离d=Vm2+n2=√(5+2m)2+n2=√5(n+2)2+5≥√5，当且仅当n=-2, m=-1时取等号.∴点(m,n)到原点的距离的最小值为v5. 14【答案】 【解析】由题意，如图①所示，设点O为正四面体PABC的外接球球心，连接OA,OB,OC,OP. 图① 则0A=0B=0c=0P=xV2=号，且Q4.0c=(0+0列：Q0+0O=1Q012+Q0.(OA+ 0C)+0A.OC-+000A+0C)+0OcOS-AOC+00. 0a+0)+10oc1.a0C-是t000a+0)+440gc 210AH0C1 2 }+0oi+00+-+00oi+00 0 2 当Q0与0A+0C同向时，0A.QC的值最大. 设0A+OC=00,设AC的中点为D,则00过点D,如图②所示. AD-CD-专AC-号 ∴0D=VA02-AD=√？-(32=00=20D=1: 图② 故(Q4:QGmx=+9×1×cs0°=写+ 多种解法取AC的中点M,正四面体PABC的外接球球心为O,连接OA,OM,QM, 则QA·QC=(QM+MA·(QM+MC)=(Q-2AC)·(QM+2AC=QM-4Ac2, 因为AC长度是定值，故当QM最大时，QA.QC最大. 11 显然，当Q在M0的延长线与球面的交点处时，|QM1最大. 因为0A=×V2=号 21 所以oM=√0P-AC)2= 此时QM=oM+3=+3 2 2 则(Qi.0)m-42-x62列- 2 15.【答案】(1)在直线L:3x-y+3=0上取点M(0,3),设点M关于点(1,2)的对称点为M'(x',y),所以 0=1,3=2,解得X=2,y=1,所以M'(2,1).又1关于点(1,2)的对称直线平行于l,所以k= 2 2 3,所以对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0. (2)7x+y+22=0. 16.【答案】(1)以A为原点，AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则A1(0,0,4),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,4,P(1,1,2) M B ·A1C=(2,0,-4),A1M=(0,1,-4,A1N=1,1,0),A1P=(1,1,-2). 设平面A1CM的一个法向量为元=(x,y,Z), 则iAC-0即2x-4=0, (元·A1M=0,7y-4z=0, 令z=1,得x=2,y=4, 此时元=(2,4,1)： 设A1Q=1A1N=(亿，1,0)0≤1≤1)， 则P0=A1Q-A1P=(0,1,0)-(1,1,-2)=(0-1,1-1,2): 若PQ/平面ACM,则PQ1元， 从而P0·元=0，即2(0-1)+4(1-1)+2=0， 12 解得1=子 MQ-3AN. 当Q为线段A1N上靠近N的三等分点时，PQ/平面A1CM. (2)由(1)知A0=号A1N=,号，0， PQ/平面A1CM,∴PQ与平面A1CM的距离为点Q到平面A1CM的距离. 点Q到平面A,CM的距离d=A0园_1曙024_ 44y21 、22+42+12 2i-V2= 21 ∴PQ到平面A,CM的距离为4F 【解析】略 17.【答案】解：(1)连接两点(1，-1)，(4,2)线段的中垂线方程为y=-x+3, 此化g解2 所以圆心C(1,2), 所以半径r=√(1-1)2+(2+1)2=3， 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9: (2)因为△ABC的面积S=IACIIBCIsin∠ACB=号sin-ACB=多 所以sinLACB=1. 因为0<∠ACB<π， 所以LACB=爱 所以圆心C到直线的距离为3号 若直线的斜率不存在，则的方程为x=3,此时圆心C到直线的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 则圆心C到直线的距离d=2-8,解得k=1或k=7 Jk2+1 所以直线的方程为x-y-2=0或7x-y-20=0, 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】(1)根据题意，圆0：x2+y2=9,圆心为0(0,0)，半径为3， 圆N:(x+5)2+y2=16,圆心为N(-5,0),半径为4， 13 两圆方程相减得x=一号所以直线AB的方程为x=一号 所以所求圆的圆心为(-号，0)，半径为9-3=号 所以以AB为直径的圆的方程为c+?2+y2- 25 (②)A在第二象限，(1)可得A(-号，3)， 如图，不妨设点C,D分别在圆O和圆N上，易知直线CD的斜率存在， 设直线cD的方程是y-号=kx+?,即5kx-5y+9k+12 0,则点0到直线CD的距离为9k+12L 点N到直线CD的距离为 25k2+25 -25k+9k+12!=-16k+12L 、25k2+25 √25k2+25 因为AC|=IADI, B 所以9-+1=16--16+122， 25k2+25 25k2+25 解得k=一牙 所以直线CD的方程为7x+24y-45=0. 【解析】略 19.【答案】解：(1)△ABC为正三角形，E为BC中点，AE1BC. PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,·PA⊥BC, 因为PA∩AE=A,PA、AEC平面PAE, ·BCI平面PAE,因为AFc平面PAE, ..BC L AF. 又PE⊥AF,BC∩PE=E,BC、PEC平面PBC, ·AF⊥平面PBC,FCC平面PBC, ·AF⊥FC; (2)以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC,EA为x轴，y轴的正半轴， 14 D F C E B 则E00,0),P0,V3,1),A0,V3,0,c(1,00)F033: d-o01),AC=1,V30AF=0-争 设平面PAC的法向量为沉=(x,y,Z), 顺死=89v-0 令y=1,则法向量为m=(V3,1,0), 设平面ACF的法向量为元=(a,b,c), 则F=0b+c=0 4 元·AC=0(a-√3b=0 令c=1,则法向量为元=(3，√3,1)： 设平面PAC与平面ACF夹角为0， 则a0=os<玩，>1-鼎- 13 (3)建系同(2)设E(t,0,0)(-1≤t≤1)，PE=(t,-√3，-1)，PF=1PE=(t,-√3λ，-)， F(t,v3-v31,1-),AF=(t,-V3,1-) AF,PE=0,t2+4-1=0,元=244 F=t-1+3-V2+a-=2Q2+到-2a4+0+5-4+5, 令-2t-7=m,m∈[-9，-5]， 则1F2=m西+5= +5, m++14 |cF1在m∈[-9，-V65上单调递减，m∈[-V65,-5]上单调递增， 当m=-V65时，1cF品。=3-， “|CFlmin=L 4 15 【解析】本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间向量法求面面成角，考查换元法求函数最值，属于较 难题. (1)先证明BC1平面PAE,再证明AF⊥平面PBC,从而得证： (2)建立空间直角坐标系，利用空间相量法解决面面成角： (3)利用空间向量法表示CF2,通过换元结合函数单调性求解最值. 16