精品解析：湖北省天门中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

天门中学高二年级9月考试数学试卷 一、单选题 1. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，即可求解. 【详解】因为点和，由斜率公式，可得， 所以过点的直线的斜率为. 2. 方程表示圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3. 已知点关于轴的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合对称性求点的坐标，再求的坐标，利用模长公式求结论. 【详解】点关于轴的对称点为点， 所以点的坐标为， 所以 则． 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到直线距离. 【详解】依题意，，，则在的投影数量为：. 所以点到直线的距离为：. 故选：C 5. 已知事件，相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，由得. ∵ 事件相互独立， ∴ . 又∵ ，代入得， 整理得，解得或. ∵ 事件概率满足，故舍去， ∴ . 6. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 8. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的，然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有且，可取2，3，4，5，6； 当时，有且，可取4，5，6； 当时，有且，可取6； 当或时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有14种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点共36种， 所以为钝角的概率 故选：C. 二、多选题 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，两直线的交点为 B. 直线恒过点 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断CD. 【详解】对于A：当时直线：，直线：，由， 解得，所以两直线的交点为，故A正确； 对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：若，则，解得或， 当时直线：，直线：两直线重合，故舍去， 当时直线：，直线：，两直线平行， 所以，故D错误； 故选：AC 10. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 【答案】AC 【解析】 【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可. 【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确； 对于选项，，解得， 则方差为，故该选项错误； 对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30， 由于%，其中第6个数为23，故该选项正确； 对于选项,设数据，，…，的均值为， 则数据，，…，的均值为， 因为数据，，…，的标准差为， 所以数据，，…，的标准差为 ，故该选项错误； 故选：AC. 11. 如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据可求得点的轨迹，从而可判断AB；证明平面，即可判断C；由三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，设球心为，，根据，将用表示，从而可求得外接球半径的范围，即可判断D. 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为， 所以，得，所以， 则，得， ， 当时，，则， 当时，则，则， 综上，， 所以三点共线， 即点的轨迹即为线段， 对于A，， 即的最小值是，故A错误； 对于B，， 则， 所以，故B正确； 对于C，，则为定值， 由点的轨迹即为线段， 且， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点为， 则在中，外接圆的圆心即为点， 则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为，， 则， 即，所以， 则， 因为，所以， 即三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知点，，，则外接圆的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得为直角三角形，得到为外接圆的直径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由点，，，可得轴，且轴， 所以，即为直角三角形，所以为外接圆的直径， 设外接圆的方程为， 则，所以圆心， 又由，可得圆的半径为， 所以外接圆的方程为. 13. 已知三棱锥的体积为6，是空间中一点，，则三棱锥的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】将转换为，设到平面的距离为，到平面的距离为，这两个三棱锥的底面相同，则，算出即可求出三棱锥的体积. 【详解】因为，所以 设，所以，所以，，三点共线， 因为，所以，，，四点共面， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 所以， 因为三棱锥和三棱锥有共同的底面， 所以，所以. 14. 已知直线方程为，则过定点的坐标为________；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①将方程转化为，由方程对于任意的都成立得到方程组，即可解出定点坐标；②根据绝对值的性质求出关于的表达式和的取值范围，利用斜率的公式求解即可求出直线的斜率取值范围. 【详解】①因为已知直线方程为， 所以， 又因为方程对于任意的都成立，所以有，解得， 所以过定点的坐标为， ②设直线的斜率为，则，所以， 因为的坐标为且满足方程，所以， 当时，斜率不存在； 当时，解得或，不符题意，舍去； 当时，解得， 当时，若，则，， 若，则，， 当时，若，则，， 若，则，， 综上所述，直线的斜率取值范围是. 四、解答题 15. 求符合下列条件的直线方程． （1）斜率为3，且与两坐标轴围成的面积为6； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线方程为斜截式，表示直线与坐标轴的交点坐标，通过面积列式即可求解； （2）当截距为0时，设直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，通过运算即可求解. 【小问1详解】 设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为，即或． 【小问2详解】 ①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点，，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得，直线方程为； 综上所述，直线方程为或． 16. 如图，在长方体中，，，点在上，且 （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量中异面直线的夹角公式即可求解； （2）利用空间向量中的点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 ，，，，，， 设直线与直线所成角为，则． 【小问2详解】 由题意，，设平面的法向量为， 则，令，可得，又， 所以到平面的距离为． 17. 某市为了了解学生对“十五五规划”的认知程度，举办了一次“十五五规划”知识竞赛，比赛按年龄将参赛人员分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和中位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者． （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人只有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计35～45岁所有人的年龄的方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】（1）32.25，31.67或 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）平均数用组中值加权求和、中位数通过累计频率定位后按比例求解，是频率分布直方图的标准估计方法； （2）（i）先按分层抽样比例确定两组抽取人数，再用古典概型的枚举法或组合数公式计算事件概率；（ii）先求两组合并后的总平均数，再利用给定的合并方差公式，通过样本方差估计对应年龄段的总体方差. 【小问1详解】 设这些人的平均年龄为，则 （岁）． 因为，，所以中位数在第三组， 设中位数为a，则，解得． 【小问2详解】 （i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙， 对应的样本空间为：， ，共15个样本点， 设事件为“甲、乙两人只有一人被选上”，则 ，共有8个样本点， 所以． （ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为． 据此，可估计年龄在35～45岁的所有人的年龄方差为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求锐二面角的正切值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，．则， ，．设平面的法向量是，则， 即令，则，．于是． ，． 又平面，平面． （2） （3）存在满足题意的点，且的值为，理由如下. 假设存在满足题意的点，且，设点的坐标为， 可得，由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 设与平面所成的角为，由与平面所成角的正弦值为， 得，解得， 可得存在满足题意的点，且的值为． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明直线方向向量与平面法向量垂直，结合线在面外，完成线面平行的证明； （2）分别求出两个半平面的法向量，通过法向量夹角公式计算二面角的余弦值，再转化为正切值；（3）用参数设出线段上动点坐标，利用线面角与方向向量、法向量的夹角关系列方程，求解参数并验证范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为．则，即， 据此可得平面的一个法向量， 设锐二面角的平面角大小为，为锐角， 则，即， 所以．锐二面角的正切值为． 【小问3详解】 略 19. （1）设点且满足，． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． （2）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点．求面积最小值时，直线的方程． 【答案】（1）①；②（2） 【解析】 【分析】（1）①利用两点距离公式列比例等式，通过平方化简、配方得到圆的标准方程，本质是阿波罗尼斯圆的求解;②把看作圆上线性目标函数，先求出的取值区间，再利用为定值的条件，要求区间内全部使恒成立，从而得到a的范围;（2）设直线斜率求两交点坐标，用底高公式建立面积关于斜率的函数，通过换元结合基本不等式求最值，反推斜率得到直线方程. 【详解】（1）①依题意有．化简得．点的轨迹方程为． ②依题意，点轨迹是圆心为，半径为的圆，令，则有， ，若为定值，即为定值， 恒成立， ，即． （2）设的直线方程为，则与的交点为，与的交点为，又，纵坐标均为正数， ， ． ． 令，则，， ．当且仅当，即时等号成立．故面积最小值时，直线：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天门中学高二年级9月考试数学试卷 一、单选题 1. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知点关于轴的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 已知事件，相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 7. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，两直线的交点为 B. 直线恒过点 C. 若，则 D. 若，则或 10. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 11. 如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题 12. 已知点，，，则外接圆的方程是________． 13. 已知三棱锥的体积为6，是空间中一点，，则三棱锥的体积是________． 14. 已知直线方程为，则过定点的坐标为________；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是________． 四、解答题 15. 求符合下列条件的直线方程． （1）斜率为3，且与两坐标轴围成的面积为6； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 16. 如图，在长方体中，，，点在上，且 （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 某市为了了解学生对“十五五规划”的认知程度，举办了一次“十五五规划”知识竞赛，比赛按年龄将参赛人员分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和中位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者． （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人只有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计35～45岁所有人的年龄的方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求锐二面角的正切值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 19. （1）设点且满足，． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． （2）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点．求面积最小值时，直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $