第2章～第3章 阶段测试卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年七年级第2~3章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版七年级上册第2-3章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．设是最小的自然数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 3．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 6．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 7．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（     ） A． B． C． D． 8．下列各项中所列代数式错误的是（     ） A．的倍与的倍的和是 B．，两数的和与这两数差的积是 C．与两数和的是 D．的倒数与的和是 9．若，则的值为（   ） A．10 B．6 C．22 D．12 10．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：________.（填“>”“<”或“＝”） 12．某商品进价为每件元，商店先将价格提高作为标价，再按标价的折促销，这时每件商品的售价为______元（用含的代数式表示）． 13．如果单项式与是同类项，则________． 14．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每个面上都写有一个数，并且相对面上的数字互为相反数，则___． 15．在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）嘉嘉与琪琪两位同学计算的过程如下： 嘉嘉：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 琪琪：     第一步     第二步 ．    第三步 (1)以上解题过程都有错误，嘉嘉从第 步开始有错误，琪琪从第 步开始有错误； (2)写出正确的解题过程． 17．（8分）先化简，再求值． ，其中． 18．（7分）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录这五天的牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期_______，最高单价是________元； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 19．（8分）对于有理数a、b，规定运算“★”如下：． (1)计算：的值； (2)比较与的大小． 20．（9分）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 21．（10分）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ； ． (1)【用数学的语言表达】思考上述运算，归纳运算法则：两数进行运算时：同号两数运算 ；异号两数运算 ；特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍 ． (2)【用数学的思维思考】计算： ① ； ② ． (3)【用数学的思维思考】若，求的值． 22．（12分）综合与实践 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如：．同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 (1)填空：可表示为__________，可表示为__________． (2)的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 (3)小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去．    若小天的最终结果为四位数，请直接写出两位数与之间的数量关系． 23．（13分）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D C C B C A B 1．C 【详解】解：∵是最小的自然数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数， ∴，，， ∴． 2．C 【分析】注意为常数、单项式次数不含数字的指数、多项式的常数项带符号，逐一判断各选项． 【详解】解：A、的最高次项为，次数为，是二次三项式，原说法错误，不符合题意； B、的次数为，原说法错误，不符合题意； C、的系数是，原说法正确，符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意． 3．A 【分析】根据题意运用有理数运算法则计算即可． 【详解】解：选项，，符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 4．D 【分析】先根据同类项定义排除不能合并的错误选项，再计算剩余选项验证结果． 【详解】解：A．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 5．C 【分析】根据数轴上有理数m、n的位置可得m、n的范围，即可判断答案． 【详解】解：由图可知，，， 所以，，， 所以A、B、D错误，C正确． 6．C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：3240万． 7．B 【分析】将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价即可． 【详解】解：A：，计算正确，故此选项不符合题意； B：正确拆分应为， 但选项B直接减去，无法得到正确答案，故此选项符合题意； C：根据乘法分配律，，计算正确，故此选项不符合题意； D：计算正确，故此选项不符合题意． 8．C 【详解】解：与两数和的应为，选项C给出的不符合文字描述，代数式错误．选项A、B、D中的代数式均符合题意，正确． 9．A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整体思想． 由已知方程可得，然后代入所求表达式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．B 【分析】根据乘法的意义和乘方的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 11． 【分析】根据有理数的大小比较法则进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 12． 【分析】先根据提价比例计算标价，再根据折扣计算最终售价． 【详解】解：∵商品进价为元，先将价格提高作为标价 ∴标价为（元）． ∵再按标价的折促销，折即标价的 ∴最终售价为（元）． 13．1 【分析】本题考查了同类项的定义，代数式求值． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，由此得到关于a和b的方程，代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴的指数相等， 即， ∴ ∴． 故答案为：1． 14．1 【分析】根据相对的两个面的两个数字互为相反数列出等式，进一步得到x，y，z的值，代入求值即可． 【详解】解：正方体的表面展开图中，“x”与“5”是相对面，“y”与“”是相对面，“”与“8”是相对面． 因为折成正方体后相对面上的两个数互为相反数， 所以，，， 所以， 所以． 15． 【详解】解：当时，． 16．(1)二，一 (2)解： ． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：嘉嘉从第二步出现错误，错误原因是有理数同级运算（乘除是同级运算）需要从左到右依次计算，不能随意先算右侧的乘法，嘉嘉错误地给后两个数加括号先运算，违反了运算顺序规则； 琪琪从第一步出现错误，错误原因是乘方计算错误，，； （2）略 17．化简为，值为 【分析】先根据乘法分配律去括号(注意括号前是负系数时，括号内每一项都要变号)，再合并同类项将整式化为最简形式，最后代入给定的、的值计算出最终结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 18．(1)一，； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利元． 【分析】根据题意及正数和负数的实际意义即可求解； 根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知，这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是（元）， 故答案为：一，； （2）解：这五天售出的总箱数：（箱）， 相对标准价格的变化金额是：（元）， 实际售价：（元）， 利润为：（元）， 答：这五天超市出售此种牛奶盈利元． 19．(1) (2) 【分析】（1）将对应数值代入新定义运算公式计算； （2）分别计算两个新运算式的结果，再比较大小． 【详解】（1） 解： 由题意得， 将，代入得： ； （2）将，代入运算公式得： ， 将，代入运算公式得： ， ∵， ∴． 20．(1)13 (2) 【分析】（1）根据程序，列式计算即可； （2）根据程序，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，最大的负整数是． 由题意可得， 故输出的数为13； （2）解：由题意可得， 所以不能输出， 只能把当作再次转换，即， 故输出的数为． 21．(1)结果为正，并把两数的绝对值相加；结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；得这个数 (2)①；②； (3)2 【分析】（1）根据已知等式归纳运算法则即可； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合运算规律即可解答． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加；异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：①； ②． （3）解：若， ∵， ∴为负数， 则，解得， ∵， ∴为负数，则，解得， ∴， ∴． 22．(1)； (2) 解：， 能被9整除． (3) 【分析】（1）一个两位数十位上的数表示多少个，个位上的数表示多少个，据此即可求解； （2）由，，计算出，即可证明能被9整除； （3）根据运算程序得出结果为，再根据，即可得出． 【详解】（1）解：； ； （2）略 （3）解：，理由如下： 将输入运算程序，得： ， 减去得：， 而四位数可以表示为：， 所以， 即， 所以， 即． 23．(1)（答案不唯一） (2)B (3) 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【详解】（1）解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； （2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； （3）解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年七年级第2~3章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版七年级上册第2-3章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．设是最小的自然数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 3．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 6．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 7．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（     ） A． B． C． D． 8．下列各项中所列代数式错误的是（     ） A．的倍与的倍的和是 B．，两数的和与这两数差的积是 C．与两数和的是 D．的倒数与的和是 9．若，则的值为（   ） A．10 B．6 C．22 D．12 10．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：________.（填“>”“<”或“＝”） 12．某商品进价为每件元，商店先将价格提高作为标价，再按标价的折促销，这时每件商品的售价为______元（用含的代数式表示）． 13．如果单项式与是同类项，则________． 14．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每个面上都写有一个数，并且相对面上的数字互为相反数，则___． 15．在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）嘉嘉与琪琪两位同学计算的过程如下： 嘉嘉：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 琪琪：     第一步     第二步 ．    第三步 (1)以上解题过程都有错误，嘉嘉从第 步开始有错误，琪琪从第 步开始有错误； (2)写出正确的解题过程． 17．（8分）先化简，再求值． ，其中． 18．（7分）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录这五天的牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期_______，最高单价是________元； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 19．（8分）对于有理数a、b，规定运算“★”如下：． (1)计算：的值； (2)比较与的大小． 20．（9分）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 21．（10分）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ； ． (1)【用数学的语言表达】思考上述运算，归纳运算法则：两数进行运算时：同号两数运算 ；异号两数运算 ；特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍 ． (2)【用数学的思维思考】计算： ① ； ② ． (3)【用数学的思维思考】若，求的值． 22．（12分）综合与实践 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如：．同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 (1)填空：可表示为__________，可表示为__________． (2)的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 (3)小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去．    若小天的最终结果为四位数，请直接写出两位数与之间的数量关系． 23．（13分）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $