第3章 整式及其加减 3.1～3.2 代数式 整式的加减 周练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 七年级上册数学周练 第3章 整式及其加减（3.1～3.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•凤城市期末）·【A】同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为_____ B．图2中长方形的周长为_____ C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为_____ D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有_____只 2．（2025秋•思明区校级期末）·【A】多项式3x3+2x2﹣1的次数与常数项分别是（　　） A．2，1 B．3，1 C．3，﹣1 D．5，﹣1 3．（2025秋•潮阳区期末）·【A】已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+ax2+9x﹣5的结果不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 4．（2025秋•湘桥区期末）·【A】若amb与﹣2a5bn是同类项，则（　　） A．m＝5，n＝0 B．m＝5，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝0 5．（2026•龙州县一模）·【A】若代数式﹣5x6y2m+1与2x3ny3是同类项，则常数m+n的值（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（2025秋•清苑区期末）·【B】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年产量比前年多（100﹣2x）万件 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•合肥校级期末）·【A】代数式是一个单项式，它的系数是 　 　 ． 8．（2025秋•岳池县校级期末）·【A】若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　 　 ． 9．（2026•沅江市二模）·【A】单项式x2y的次数是 　 　 ． 10．（2025秋•碑林区校级期末）·【A】已知﹣25a2mb和7a4b3﹣n是同类项，则m+n的值是　 　 ． 11．（2026春•渝中区校级期中）·【C】对于一个四位数（各数位数字互不相等且均不为0），若其百位数字与个位数字之和为7，即b+d＝7，且千位数字与十位数字之和为11，即a+c＝11，则称M为“星光数”．将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数M′．定义．例如：四位数6453，∵4+3＝7，6+5＝11，且各数位数字互异非零，∴6453是“星光数”，M′＝5364，．则G（7245）＝　 　 ；若G（M）为整数，则G（M）的最大值和最小值之和为　 　 ． 12．（2026•天山区校级二模）·【C】一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数2457，∵2+7＝9，4+5＝9，∴2457是“九九数”．最小的“九九数”为 　 　 ；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•临高县期末）·【A】先化简，再求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）， 其中x＝﹣1，y＝﹣2． 14．（2025秋•芜湖期末）·【A】为改善居住环境，计划修建一个“芜小园”，其平面图（单位：m）如图所示． （1）用含m，n的代数式表示该广场的面积S； （2）若m，n满足（m﹣10）2+|n﹣12|＝0，求该广场的面积S．若某款地砖的价格为35.4元/m2，铺设地砖的人工费为45.2元/m2，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少？ 15． （2025秋•青阳县期末）·【C】先化简，再求值：， 其中． 16．（2026•桐城市校级一模）·【B】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　 　 ， 　 　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　 　 ． （3）求式子的值． 17．（2025秋•永春县期末）·【B】整体思想是数学解题中的一种重要思想方法，在多项页式的化简求值中应用极为广泛． 【应用尝试】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，求的值； （2）已知（2x﹣1）4的运算结果可表示为ax4+bx3+cx2+dx+e．分别求下列式子的值： ①a+b+c+d+e； ②a﹣b+c﹣d+e； ③a+c+e； 【应用拓展】 （3）周末，小军一家四口在休闲区运动，休闲区的环形跑道周长是100米，爸爸和小军在休闲区的环形跑道上同时反向跑步，两人相距10米，小军的速度是a米/秒，爸爸的速度是ac米/秒（c＞1），经过6秒两人第一次相遇，妈妈带着妹妹追逐游戏，起跑时妹妹站在妈妈前面20米处，两人同时同向起跑，妹妹的速度是b米/秒（b＜a），妈妈的速度也是ac米/秒，经过4秒后，妈妈追上妹妹． 综合上述信息求代数式：[3（a+ac）2+a]﹣4[（a+ac）2﹣b]﹣ac的值． 18．（2025秋•裕安区校级期末）·【B】用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． （1）请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． （2）若，，求两个长方形的周长差． 19．（2025秋•青县期末）·【B】对于有理数a，b满足a﹣b＝ab+1，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如（﹣3，2）满足：﹣3﹣2＝﹣3×2+1；（2，）满足：21；所以数对（﹣3，2），（2，）都是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣1，1），（1，0）中，是“相伴有理数对”的是 　 　 ； （2）若（2x﹣1，3）是“相伴有理数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“相伴有理数对”，则n﹣3mn[7mn﹣（m+n）]的值为 　 　 ． 20．（2026春•滨湖区校级期末）·【C】一个四位数（其中a，b，c，d均为整数，且1≤a，b，c，d≤9），若满足a+d＝b+c＝10，则称M为“十全十美数”，如：四位数4376，∵4+6＝3+7＝10，∴4376是“十全十美数”． （1）四位数8228，5195，3674中是“十全十美数”的是　 　 ； （2）已知某个“十全十美数”M的个位数字等于百位数字的2倍，千位数字比十位数字小4，求这个“十全十美数”； （3）一个“十全十美数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数N，若，且是整数，求a+b的值，并直接写出（a﹣c）（a+b+c）的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B B C 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•凤城市期末）·【A】同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为_____ B．图2中长方形的周长为_____ C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为_____ D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有_____只 【答案】B 【解答】解：∵图1中动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为4a+8， ∴选项A不符合题意； ∵图2中长方形的周长为：2（4a+2）＝8a+4， ∴选项B符合题意； ∵若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为4a+8， ∴选项C不符合题意； ∵分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有（4a+8）只， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 2．（2025秋•思明区校级期末）·【A】多项式3x3+2x2﹣1的次数与常数项分别是（　　） A．2，1 B．3，1 C．3，﹣1 D．5，﹣1 【答案】C 【解答】解：该多项式的最高项次数是3，常数项是﹣1，故答案为3和﹣1， 故选：C． 3．（2025秋•潮阳区期末）·【A】已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+ax2+9x﹣5的结果不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解：﹣2x3+6x2+ax2+9x﹣5＝﹣2x3+（6+a）x2+9x﹣5， ∵关于x的多项式﹣2x3+6x2+ax2+9x﹣5的结果不含x2项， ∴6+a＝0， 解得：a＝﹣6， 故选：A． 4．（2025秋•湘桥区期末）·【A】若amb与﹣2a5bn是同类项，则（　　） A．m＝5，n＝0 B．m＝5，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝0 【答案】B 【解答】解：若amb与﹣2a5bn是同类项，则m＝5，n＝1． 故选：B． 5．（2026•龙州县一模）·【A】若代数式﹣5x6y2m+1与2x3ny3是同类项，则常数m+n的值（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：由﹣5x6y2m+1与2x3ny3是同类项，得 2m+1＝3，3n＝6， 解得m＝1，n＝2． 所以m+n＝1+2＝3， 故选：B． 6．（2025秋•清苑区期末）·【B】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 【答案】C B．根据“男生人数＝学生总数﹣女生人数”列代数式即可； C．根据“长方形的另一边长”列代数式即可； D．根据“去年的产量﹣前年的产量”列代数式即可． 【解答】解：用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元， ∴A正确，不符合题意； 在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数， ∴B正确，不符合题意； 周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为， ∴C不正确，符合题意； 某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•合肥校级期末）·【A】代数式是一个单项式，它的系数是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：单项式的系数是． 故答案为：． 8．（2025秋•岳池县校级期末）·【A】若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式， ∴m+2＝4，n+3＝0， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 9．（2026•沅江市二模）·【A】单项式x2y的次数是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：单项式x2y的次数是3． 故答案为：3． 10．（2025秋•碑林区校级期末）·【A】已知﹣25a2mb和7a4b3﹣n是同类项，则m+n的值是　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵﹣25a2mb和7a4b3﹣n是同类项， ∴2m＝4，3﹣n＝1， 解得：m＝2，n＝2， 则m+n＝2+2＝4． 故答案为：4． 11．（2026春•渝中区校级期中）·【C】对于一个四位数（各数位数字互不相等且均不为0），若其百位数字与个位数字之和为7，即b+d＝7，且千位数字与十位数字之和为11，即a+c＝11，则称M为“星光数”．将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数M′．定义．例如：四位数6453，∵4+3＝7，6+5＝11，且各数位数字互异非零，∴6453是“星光数”，M′＝5364，．则G（7245）＝　297　 ；若G（M）为整数，则G（M）的最大值和最小值之和为　1188　 ． 【答案】297，1188． 【解答】解：∵M＝7245，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数M′， ∴M′＝4572， ∴G（7245）， 由题意可知，M＝1000a+100b+10c+d，M′＝1000c+100d+10a+b， ∴M﹣M′＝1000a+100b+10c+d﹣（1000c+100d+10a+b）＝990（a﹣c）+99（b﹣d）， ∵a+c＝11，b+d＝7， ∴c＝11﹣a，d＝7﹣b， ∴a﹣c＝a﹣（11﹣a）＝2a﹣11，b﹣d＝b﹣（7﹣b）＝2b﹣7， ∴M﹣M′＝990（a﹣c）+99（b﹣d）＝990（2a﹣11）+99（2b﹣7）＝99（20a+2b﹣117）， ∴G（M）， 设x＝10a+b，则G（M）198， ∵各数位数字互不相等且均不为0，a+c＝11，b+d＝7， ∴a可取2到9的整数，b可取1到6的整数， ∴x＝10a+b，最大值为96，最小值为21， ∴21﹣63＜x﹣63＜96﹣63，即﹣42＜x﹣63＜33 ∴当x﹣63＝1时，G（M）最大值＝198+891＝1089， 当x﹣63＝﹣9时，G（M）最小值＝19899， ∴G（M）的最大值和最小值之和为1089+99＝1188， 故答案为：297，1188． 12．（2026•天山区校级二模）·【C】一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数2457，∵2+7＝9，4+5＝9，∴2457是“九九数”．最小的“九九数”为 　1098　 ；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为 　8712　 ． 【答案】1098；8712 【解答】解：设这个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字分别为x，y，m，n． 则这个四位数可以表示为1000x+100y+10m+n， 由题意得：x+n＝9，y+m＝9， 想要这个四位数最小，则高位取值越小即可， 所以x＝1，则n＝8，y＝0，则m＝9， 所以这个四位数为1098． 因为x＝9﹣n，y＝9﹣m， 所以这个数还可以表示为1000（9﹣n）+100（9﹣m）+10m+n＝9900﹣999n﹣90m＝9900﹣9（111n+10m）， ∵9900能被11整除， ∴如果这个数想要被11整除，则n+10m需要能被11整除 ∵m，n越大这个数越小， ∴m＝n＝8时，最小的数为1188，m＝n＝0时，最大的数为9900， ∴最大数和最小数的差为8712． 故答案为1098，8712． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•临高县期末）·【A】先化简，再求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2），其中x＝﹣1，y＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝x2+2xy﹣3y2﹣2x2﹣2xy+4y2 ＝y2﹣x2； 当x＝﹣1，y＝﹣2．时， 原式＝（﹣2）2﹣（﹣1）2 ＝4﹣1 ＝3． 14．（2025秋•芜湖期末）·【A】为改善居住环境，计划修建一个“芜小园”，其平面图（单位：m）如图所示． （1）用含m，n的代数式表示该广场的面积S； （2）若m，n满足（m﹣10）2+|n﹣12|＝0，求该广场的面积S．若某款地砖的价格为35.4元/m2，铺设地砖的人工费为45.2元/m2，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少？ 【答案】（1）该广场的面积S为3.5mn m2； （2）为该广场铺满这款地砖一共要花费33852元． （2）先根据非负数的性质求得m，n的值，再代入计算． 【解答】解：（1）根据题意得， S＝2m•2n﹣m（2n﹣n﹣0.5n） ＝4mn﹣0.5mn ＝3.5mn（m2）， ∴该广场的面积S为3.5mn m2； （2）∵（m﹣10）2+ln﹣12|＝0， ∴m﹣10＝0且n﹣12＝0， 解得m＝10，n＝12， ∴为该广场铺满这款地砖的总费用为： （35.4+45.2）×3.5mn ＝80.6×3.5×10×12 ＝33852（元）， 答：为该广场铺满这款地砖一共要花费33852元． 15．（2025秋•青阳县期末）·【C】先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝5x2﹣（2xy﹣xy﹣6+4x2） ＝5x2﹣2xy+xy+6﹣4x2 ＝（5x2﹣4x2）+（﹣2xy+xy）+6 ＝x2﹣xy+6， ， 4+1+6＝11． 16．（2026•桐城市校级一模）·【B】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　　 ， 　　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　　 ． （3）求式子的值． 【答案】见试题解答内容 （2）根据规律直接填空即可； （3）将各项写成两项之差的形式并求值即可． 【解答】解：（1），． 故答案为：，． （2）用含n的式子表示发现的规律为． 故答案为：． （3）原式＝1 ＝1 ． 17．（2025秋•永春县期末）·【B】整体思想是数学解题中的一种重要思想方法，在多项页式的化简求值中应用极为广泛． 【应用尝试】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，求的值； （2）已知（2x﹣1）4的运算结果可表示为ax4+bx3+cx2+dx+e．分别求下列式子的值： ①a+b+c+d+e； ②a﹣b+c﹣d+e； ③a+c+e； 【应用拓展】 （3）周末，小军一家四口在休闲区运动，休闲区的环形跑道周长是100米，爸爸和小军在休闲区的环形跑道上同时反向跑步，两人相距10米，小军的速度是a米/秒，爸爸的速度是ac米/秒（c＞1），经过6秒两人第一次相遇，妈妈带着妹妹追逐游戏，起跑时妹妹站在妈妈前面20米处，两人同时同向起跑，妹妹的速度是b米/秒（b＜a），妈妈的速度也是ac米/秒，经过4秒后，妈妈追上妹妹． 综合上述信息求代数式：[3（a+ac）2+a]﹣4[（a+ac）2﹣b]﹣ac的值． 【答案】解：（1）；（2）①1；②81；③41；（3）﹣200． （2）给由①可知是通过令x＝1，即可得出a+b+c+d+e的值，令x＝﹣1即可得出②中a﹣b+c﹣d+e的值，③式是由①式和②式相加可得； （3）根据路程、速度和时间的关系求出，a+ac与ac﹣b的值，再整体代入化简后的代数式． 【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，m、n互为倒数， ∴a+b＝0，mn＝1， ∴2×0； （2）①已知（2x﹣1）4＝ax4+bx3+cx2+dx+e，令x＝1，则（2×1﹣1）4＝a•14+b•13+c•12+d•1+e， ∴a+b+c+d+e＝1； ②令x＝﹣1，则[2×（﹣1）﹣1]4＝a•（﹣1）4+b•（﹣1）3+c•（﹣1）2+d•（﹣1）1+e， ∴a﹣b+c﹣d+e＝81； ③将a+b+c+d+e＝1与a﹣b+c﹣d+e＝81相加可得：a+c+e＝41， ∴a+c+e＝41； （3）由爸爸和小军第一次相遇可得6（a+ac）+10＝100，解得：a+ac＝15， 妈妈和妹妹同时同向起跑，妹妹在妈妈前面20米处，经过4秒后妈妈追上妹妹，可得：4（ac﹣b）＝20，解得：ac﹣b＝5， ∵3[（a+ac）2+a]﹣4[（a+ac）2﹣b]﹣ac ＝3（a+ac）2+3a﹣4（a+ac）2+4b﹣ac ＝﹣（a+ac）2+3a+4b﹣ac ＝﹣（a+ac）2+3（a+ac）+ac﹣4b﹣ac ＝﹣（a+ac）2+3（a+ac）﹣4（ac﹣b） 将a+ac＝15，ac﹣b＝5代入得：﹣152+3×15﹣4×5＝﹣200， ∴3[（a+ac）2+a]﹣4[（a+ac）2﹣b]﹣ac的值为﹣200． 18．（2025秋•裕安区校级期末）·【B】用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． （1）请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． （2）若，，求两个长方形的周长差． 【答案】（1）6a+4b，6a﹣4b； （2）． （2）根据“大长方形的周长﹣小长方形的周长”列式并化简，将a和b的值分别代入计算即可． 【解答】解：（1）大长方形的周长为2（2a+b+a+b）＝6a+4b， 小长方形的周长为2（2a﹣b+a﹣b）＝6a﹣4b． 答：大长方形的周长为6a+4b，小长方形的周长为6a﹣4b． （2）当a，b时， （6a+4b）﹣（6a﹣4b） ＝6a+4b﹣6a+4b ＝8b ＝8 ． 答：两个长方形的周长差为． 19．（2025秋•青县期末）·【B】对于有理数a，b满足a﹣b＝ab+1，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如（﹣3，2）满足：﹣3﹣2＝﹣3×2+1；（2，）满足：21；所以数对（﹣3，2），（2，）都是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣1，1），（1，0）中，是“相伴有理数对”的是 　（1，0）　 ； （2）若（2x﹣1，3）是“相伴有理数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“相伴有理数对”，则n﹣3mn[7mn﹣（m+n）]的值为 　　 ． 【答案】（1）（1，0）；（2）；（3）． （2）将数对代入公式，解方程求出x的值即可； （3）将数对代入公式，得到关于m和n的等式；化简整式n﹣3mn[7mn﹣（m+n）]，将m和n的数量关系式代入求值即可． 【解答】解：（1）﹣1﹣1＝﹣2，﹣1×1+1＝0， ∵﹣2≠0， ∴数对（﹣1，1）不是“相伴有理数对”； 1﹣0＝1，1×0+1＝1， ∵1＝1， ∴数对（1，0）是“相伴有理数对”； 故答案为：（1，0）． （2）根据题意，得2x﹣1﹣3＝3（2x﹣1）+1，解得x． （3）根据题意，得m﹣n＝mn+1， n﹣3mn[7mn﹣（m+n）] ＝n﹣3mnmn（m+n） （n﹣m+mn）， 将m﹣n＝mn+1代入（n﹣m+mn）， 得n﹣3mn[7mn﹣（m+n）]（﹣mn﹣1+mn）， 故答案为：． 20．（2026春•滨湖区校级期末）·【C】一个四位数（其中a，b，c，d均为整数，且1≤a，b，c，d≤9），若满足a+d＝b+c＝10，则称M为“十全十美数”，如：四位数4376，∵4+6＝3+7＝10，∴4376是“十全十美数”． （1）四位数8228，5195，3674中是“十全十美数”的是　5195　 ； （2）已知某个“十全十美数”M的个位数字等于百位数字的2倍，千位数字比十位数字小4，求这个“十全十美数”； （3）一个“十全十美数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数N，若，且是整数，求a+b的值，并直接写出（a﹣c）（a+b+c）的最大值． 【答案】（1）5195； （2）2468； （3）a+b＝12，（a﹣c）（a+b+c）的最大值为38． （2）根据定义，消去a，d，构造关于b，c的方程组，求解即可； （3）根据题意，得，根据整数的性质，分类求解即可． 【解答】解：（1）根据题中条件依次判断：四位数8228，∵8+8＝16≠10，2+2＝4≠10， ∴8228不是“十全十美数”， 四位数5195，∵5+5＝1+9＝10， ∴5195是“十全十美数”． 四位数3674，∵3+4＝7≠10，6+7＝13≠10， ∴3674不是“十全十美数”． 故答案为：5195． （2）四位数为“十全十美数”， ∴a+d＝b+c＝10， 根据题意推断得：d＝2b，a＝c﹣4， ∴c﹣4+2b＝10，b+c＝10， ∴， ∴， ∴d＝8，a＝2， 故这个“十全十美数”是2468； （3）四位数为“十全十美数”， ∴a+d＝b+c＝10， 且M＝1000a+100b+10c+d， ∴新数为：， ∴d+a＝b+c＝10， 且N＝1000d+100b+10c+a， ∴， ， ， ＝9a﹣9d， ＝18a﹣90， ∴， ， ， ， ， ， ∵是整数， ∴a+b一定是12的倍数， ∵a，b，c，d均为整数，且1≤a，b，c，d≤9， ∴2≤a+b≤18， ∴a+b＝12， ∵b＝10﹣c， ∴a+10﹣c＝12 ∴a﹣c＝2， 当a＝9时，c＝7，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+7）＝38； 当a＝8时，c＝6，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+6）＝36； 当a＝7时，c＝5，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+5）＝34； 当a＝6时，c＝4，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+4）＝32； 当a＝5时，c＝3，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+3）＝30； 当a＝4时，c＝2，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+2）＝28； 当a＝3时，c＝1，此时（a﹣c）（a+b+c）＝2×（12+1）＝26； 故最大值为38． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $