精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数 D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【解析】 【详解】． 选项A：复数标准形式为，虚部为，故虚部为，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：的共轭复数，C正确； 选项D：对应复平面内的点为，该点在第四象限，D错误． 2. 已知向量满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， ， 两式相减得：，则. 3. 已知数列的前项和为．若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列前项和的定义与给定递推关系，可通过迭代计算或推导通项公式求得． 【详解】方法1：迭代计算 已知，故， 当时，代入递推式，得，此时， 当时，代入递推式得，此时， 当时，代入递推式得； 方法2：推导通项公式 因为， 所以当时，有， 两式作差得，，即， 验证时，符合上式， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项为，， 故． 4. 若函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为对于恒成立，进而求解即可. 【详解】由函数在区间上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，则，即的最小值为. 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】为偶函数，故有，即， 是定义在上且周期为2的周期函数，故有，即， 又因为，故. 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过周期定义、并求导分析函数的单调性进行求解. 【详解】因为的周期为，的周期为，故的周期为， 下面只要研究函数在的单调性， 由题意得， 因为， 令，解得或， 由，得或； 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， ， ， 所以． 7. 已知数列满足，，则数列的前10项和（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求，进而求. 【详解】由题意可知：，，，， ，，，， ，， 所以的前10项和． 8. 已知平面向量，，满足，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用数量积公式结合已知条件化简得出，再应用夹角余弦公式计算，最后结合基本不等式计算求解最大值. 【详解】因为，所以， 所以，且， 所以，，所以，所以， 不是恒成立，所以， 所以，所以， ， 设，所以 所以，因为， 所以 ，当且仅当， 即当时得出，所以， 所以的最大值是 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，，），事件“任取一零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先提取题目中给出的各车床产量占比（先验概率）与次品率（条件概率），然后依次利用概率乘法公式、全概率公式及条件概率公式，对各选项进行计算并判断即可. 【详解】由题意可知： ，，； ，，. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：由概率的乘法公式得，故B错误； 对于选项C：由全概率公式得 ，故C正确； 对于选项D：由条件概率公式（贝叶斯公式）得，故D正确. 10. 设，为复数，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查复数的基本性质，涉及模的运算、复数乘积为零的充要条件、共轭复数的性质，可通过举反例或代数推导逐一判断命题正误 【详解】选项A：举反例，取，，满足， 但，，显然，故A错误. 选项B：复数乘积为0的充要条件是至少一个乘数为0， 已知，因此时必有，故B正确。 选项C：因为，等式两边同除以得， 根据共轭复数性质，代入可得，C正确. 选项D：由，分别计算两边模长：， ，因此，D正确. 11. 已知正项数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得数列单调递减，，从而可得，即可判断；对于B，当时，，利用累乘法求解后即可判断；对于C，将已知条件变形为，结合A可知，即可判断；对于D，结合C和累加法求解后即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 所以，所以数列单调递减， 又，所以，时取等号， 所以，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以， 且当时，，故B错误； 对于C，由，得， 即， 又因为数列单调递减，由A可知， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，， 当且仅当时，，则对任意，， 所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，若曲线在点处的切线在轴上的截距为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，则曲线在点处的切线斜率， ， 由直线的点斜式方程可得切线方程为，即， 故该切线在轴上的截距为，由题知该截距为，故，解得. 13. 已知是偶函数，在区间上单调递增，则______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用余弦函数的奇偶性确定的可能取值，再结合余弦型函数的单调性筛选参数范围，最后代入计算函数值． 【详解】因为为偶函数，所以， 而，则或， 若，则，当时，，令， 因为在上单调递减，故在上不满足单调递增，舍去； 若，则，当时，， 因为在上单调递增，则，解得， 结合，得或， 当时，， 当时，. 综上所述，． 14. 在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得到直线与的图象至多只有一个交点，从而转化为方程至多一解，构造函数，结合趋势分析可得为单调增函数，从而转化为恒成立，进而利用导数即可求其范围． 【详解】由题意可知，直线与的图象至多只有一个交点， 即对任意的，方程至多一解，即至多一解， 令，则至多有一解，且， 由，则时，，时，， 因为至多有一解，则为单调增函数，故恒成立， 即对任意的恒成立， 令，其中，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，．点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面， 平面，所以，， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 以点为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 依题意，，，，，，，， 因为，，，所以平面， 即可看成平面的一个法向量，又， 则，即， 平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由(1)可知，，，， 设平面的一个法向量， 由，可取， 设直线与平面所成角为， 则, 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，满足，且的面积为． （1）求的渐近线方程； （2）设，直线与交于，两点，，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合双曲线定义、直角三角形勾股定理及面积公式推导的关系，进而求得渐近线方程； （2） 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得中点坐标，结合的垂直性质求解，即可得到双曲线方程. 【小问1详解】 设，，由双曲线定义得 ， 平方得： ， 由，结合勾股定理得 ， 的面积，故， 联立得，即， 结合双曲线关系，得，整理得， 故的渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，故的方程可写为， 将代入上式，化简得， 设，中点为， 由韦达定理得，故，代入直线方程得， 即， 由得，直线斜率为1，故， 又，故，解得（经检验符合条件）， 则，故的方程为. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足，． （1）若，求； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式，将已知等式转化为关于的关系式；再结合建立方程求解，进而得出 （2）利用正弦定理将面积公式转化为角的形式，结合（1）中的关系式求出角，最后利用面积公式求出边. 【小问1详解】 在中，因为， 所以, 代入已知条件，得：， 即, 因为，若，则，代入上式得，与矛盾； 若，则，代入上式得，同样矛盾. 所以且, 将等式两边同除以，得，即, 因为，所以，从而, 展开得, 将及代入，得：, 整理得,解得或, 当时，；当时，. 所以的值为或. 【小问2详解】 已知的面积，且. 由正弦定理，得，， 代入面积公式得：， 化简得， 而，代入上式得： ， 因为为钝角（由，且，可得），所以，两边同除以得：， 又由（1）知， 所以， 因为，两边同除以得：，即， 所以， 因为，所以，解得， 由面积公式得：，解得. 18. 已知函数存在唯一的极值点． （1）求实数的取值范围； （2）若函数存在极值点， （ⅰ）讨论的单调性，并求（用表示）； （ⅱ）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）在上单调递减；在上单调递增； （ⅱ）1 【解析】 【分析】（1）求导，根据是唯一极值点，得到也是的唯一解，分离参数后，将方程左边设为新函数，根据导数判断新函数的增减性，以及值域的趋势即可求得的取值范围. （2）（ⅰ）对求导，利用导数即可判断的单调性，利用导数表示出的极值点，结合第(1)问的结论即可建立与的关系. （ⅱ）分别计算和，利用（ⅰ）的结论用表示出， 设出，利用导数求出的最大值，进而发现有唯一解，即可求得的值. 【小问1详解】 ， ， 因为函数存在唯一的极值点， 即存在唯一的变号零点， 即存在唯一的解， 令， ， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 的最小值为， 当时，，，当时，， 所以要使存在唯一的变号零点， 则的取值范围为. 【小问2详解】 （ⅰ）， ，解得，所以定义域为， ， 令，， ， 所以在上单调递增， 当时，，当时，， 由(1)可得的取值范围为， 所以此时有唯一的解，， 当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增； 为极小值点，满足，即， 由(1)可知， 所以， 令，则， 所以， 由(1)可知在上单调递增，所以， 即，即. （ⅱ）， ， 由（ⅰ）可知，， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以有， 设，， ， 令，可知在上单调递增， 且， 所以有唯一的解，满足，即， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 因此，当且仅当时成立， 此时. 19. 设各项均为正数的数列的前项和满足，，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）对于给定的正整数，设，，记为中的元素个数．设． （ⅰ）设正奇数满足，求； （ⅱ）求． 【答案】（1）；； （2）（ⅰ）； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求得，由求解的通项公式；由等比数列的定义求的通项公式； （2）（ⅰ）由题意可得（为奇数），，代入求解即可； （ⅱ）对区间内的项分组求和后再求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得或， 又因为，所以， 所以， 所以当时，， 当时，，满足， 所以； 因为，． 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以为偶数，为奇数； 所以两数列没有公共项， 所以集合中的元素个数为两数列中不大于的项数之和， 当正奇数满足时， 因为为偶数，为奇数， 则， 由，得中不大于的项数为，中不大于的项数为（为奇数）， 此时（为奇数）， 同理，， 所以 ； （ⅱ）对区间内的项分组求和，每组含项，其中奇数项、偶数项各项， 每组和为 ， 所以 ， 令，则， 两式相减，得， 解得； 又； ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数 D. 在复平面内对应的点在第三象限 2. 已知向量满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知数列的前项和为．若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 若函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则数列的前10项和（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 8. 已知平面向量，，满足，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，，），事件“任取一零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，为复数，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正项数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，若曲线在点处的切线在轴上的截距为，则______． 13. 已知是偶函数，在区间上单调递增，则______． 14. 在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，．点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，满足，且的面积为． （1）求的渐近线方程； （2）设，直线与交于，两点，，求的方程． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足，． （1）若，求； （2）若的面积为，求的值． 18. 已知函数存在唯一的极值点． （1）求实数的取值范围； （2）若函数存在极值点， （ⅰ）讨论的单调性，并求（用表示）； （ⅱ）若，求实数的值． 19. 设各项均为正数的数列的前项和满足，，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）对于给定的正整数，设，，记为中的元素个数．设． （ⅰ）设正奇数满足，求； （ⅱ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $