精品解析：重庆市南开中学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

学科网命组卷网 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（二) 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号·回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回： 第卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项符合题 目要求) 1.集合4={∈N-2x≤3B={b≤4，则AnB=（) A{-1,01,2} B.{0,1,2} c1,2} D.【1,2) 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式 2-2x≤3m-1≤x≤3 ”得 A={0,1,2,3} 所以 第1页/共24页 学科网命组卷网 解不等 2≤4得x≤2 所以B=树x≤25 A∩B={0,1,2} 则 2已知Q,B表示两个不同的平面，m为平面u内的一条直线，则“，B。是m1B。 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当c⊥β时，平面a内的直线m不一定和平面阝垂直，但当直线m垂直于平面阝时，根据面面垂 直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“⊥B”是“⊥的必要不充分条件. 3.已知(m+x了的展开式中的系数为80，则实数m=（) 1 1 A.2 B.2 C.2 D.-2 【答案】C 【解析】 【详解】 m+的展开式中的系数为Cm'=10m'=80 ,故m=2 4.设直线：y=3x+1与双曲线C:y C:。=1(a>0,b>0)的一条新近线平行，则双曲线C的离心率为 () A.V3 B.V5 C.3 D.V10 【答案】D 【解析】 第2页/共24页 6学科网 组卷网 x2 y2 【详解】双曲线C。京b(>0,b>0)的渐近线方程为严=士： b=3 一a,则 所以双曲线C的离心率e=C= 62 =V10 a 3 5.已知向量a与6的夹角为5，其中d=2,a-26=2,则a+26-() A.2 B.2V2 c25 D.4 【答案】C 【解析】 【详解】由|ā-2b2,可得ā-26=a2-4a-6+462=4-4161+462=4,解得161或6=0 (舍去)， 所以la+26=+4a-6+462=4+46+462=l2,则la+26L23 6.已知角&，Be(0,m,sina=2 2sin B.tan a=3tanB,则cos2a=（） 1 3 3 A.4 B.4 c.5 D.5 【答案】A 【解析】 sina3sinB 【详解】由tana=3tanB,得cos&cosB,因sina=2sinB, sina=2= 3cosa 2 3 CosB 则sin B cos B,得cosa= 分三sx⊙ -2cosa sinB+cos=1, 第3页/共24页 命学科网命组卷网 9 sin2 a+-cos a=1 可得4 4 9 ,化简得 4’ cos 2a=2cos2a-1=-1 4 1 +2n3c=+l 11 q= +In2 b= 7.已知4 ，32 2'e,则a,b,c的大小关系为() A.csa<b B.c<b<a c.a<e<b D.a<b<c 【答案】B 【解析】 【分折1承数)=xn,(Q》, 利用导数求出∫(x)的单调性，即可求解。 【详解】观察可知：a=42n4, 西致-x如x,0 米号f=1-251<0 2x2x 所6)1日 即c<b<a 8.己知正数a,b,c满足a-c=3(c-b),则a+ba+7乃的最小值为() 第4页/共24页 命学科网命组卷网 5 7 1,√2 1,2 A.8 B.16 C.46 D.4+12 【答案】C 【解析】 c+c=1+1 【分析】设c 。n原成化为m+n=4,a+6a+76m+0m十7，根指1”的 ，C 转化结合基本不等式即可求解。 【详解】由a-c=3(c-b),可得 a+3b=4c分g+32=4 b -=m -=n cc,可设c,c,即m+3n=4,已 知86c 为正数，则mn>0 c cc c 观察配凑，存2(m+)+(m+7m1+1） m+n m+7n =2+2m+n+m+7n+1≥3+2N2 m+7n m+n 1+1≥3+22=1+2 因为2(m+m)+(m+7m)=12,则m+n'm+7n1246, 2m+n m+7n 当且仅当m+7nm+n,即m=16-9V2,n=3V2-4时取得最小值 c 1.√2 所以a+ba+7b的最小值为46 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 第5页/共24页 6学科网命组卷网 合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 a=2,A=石b=(x>0）,则下列说法 6 正确的是() A.当x=3时，满足条件的三角形有两个 B.当x=4时，满足条件的三角形有两个 。若满足条件的三角形有且只有一个，则x的取值范围是(0,2] D、若满足条件的三角形不存在，则x的取值范围是(4，+∞） 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理得到$B的关系式，根据正弦函数的图象及三角形的角度取值范围即可得出答案 2 【详解】由正弦定理得sin πsinB 6 xsin- 即sinB=26=>0, 24 元 A= 0<B<5π 又6，所以 6, n5π1 6 “62, 第6页/共24页 命学科网命组卷网 B 6 B O(D) O(D) 元 如图所示， < 当 42或4时，即0<x≤2或x=4,此时直线与函数仅有一个交点，即满足条件的三角形有且 仅有一个： B O(D) 元方 11 如图所示，当24时，即2<x<4，此时直线与函数有两个交点，即满足条件的三角形有两个； 6 OD) 元衣 71 如图所示，当4时，即x>4，此时直线与函数没有交点，即满足条件的三角形不存在， 综上，当x=3时，有2<3<4，故有两个三角形，即A正确： 当x=4时，仅有一个三角形，故B错误； 由上述可得当r∈(0,2小{4时，满足条件的三角形有一个，故C错误， 由上述可得当x∈(4，+0）时，满足条件的三角形不存在，故D正确 第7页/共24页 6学科网列组卷网 0.已知0为坐标原点，椭圆C4+y2=1,p 为第一象限内椭圆C上的动点，过P分别作x轴、y轴的 垂线，垂足为M、N,连接MN,则() A存在点P,使得MN=3OP B.△OMN面积的最大值为2 2 C.△OMN重心的轨迹为椭圆的一部分 D.原点O到直线MN的距离的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【详解】设P(,),0<,<2.0<%<1 选项A:IMN=x+,|OPVx后+」 已知MN=3OPL,x号+=3Vx号+， 即Vx+=3. 1OPle(b,a=(1,2) 因为 ,故选项A错误： 0sπ 当4时，S△ow取最大值2，故选项B正确： 2 XG=c0s0 选项C:由AB选项可知 的重心G满足 Yo 3sino'oe 0, △OMN 2 消去参数得△OMN的重心G轨迹方程为4 9x+9y2=1cx>0,y>0) 第8页/共24页 命学科网命组卷网 △OMW 的重心G的轨迹为椭圆的一部分，故选项C正确： MN:x+y=1 选项D:设直 x%，即ox+xy-x=0, d= Xoyo 距离 Vx+好11 由椭圆C: 4+y2=, 1++4玩4+244， x场=2哈 ,2_2时取等号 4 3 3 ds-12 /93 故选项D正确. V4 1.已知定义在R上的可导函数（的导函数为(），且满足：Of(2++f(2-)=6:② ∫(3+x)=f().则下列说法正确的是(） A.f'()的图象关于直线x=2对称 B.f(x+3)-f()为常数，且该常数等于3 c存在常数a,使得函数f()-是周期为3的周期函数 D.f()的图象关于点(5,3+f(3)-(0》中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的对称性、奇偶性、周期性及其导数的性质依次判断即可 第9页/共24页 命学科网命组卷网 【详解1由f0++f2-)=6,可得f四关于2,3)对称，由了(3+)=∫()，可得f田周期 为3， 对于A,对f2+刘+f亿-)=6两边求导，符(2+)-'(2-刘=0，所以f(四的图像关于直线 x=2 对称，故A正确： 对于B,令F)=(+3)-),则F()=0,所F(冈=C是一个任意常数，但无法确定常数是 3 ,故B错误； 对于C,若8四=f)-匹为周期西数，且T=3,则8(c+3)=80,即 f(x+3)-a(x+3)=f(x)-ax C 即fx+3)-f)=3a,由F()=C,取a=3即可，其中C为在意常数，故C正确： 对于D,由选项C可知，f(x+3)f(个=C,即f(x+3)=f()+C,令x=0,可得 C=f(3)-f(0) f(5+x)+f5-x)=f(2+x)+3)+f(2-x)+3)=f(2+x)+f(2-x)+2C=6+2[f(3)-f(0)] 所以f()的图象关于点6,3+f③)-f0》中心对称，故D正确 第Ⅱ卷（非选择题共2分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填写在答题卡相对应位置上） 12.设一组样本数据5，x的方差为0.2，则数据10x+310x+3,,10x,+3 的方差为一。 第10页/共24页 6学科网列组卷网 【答案】20 【解析】 【详解】由题意可知： -2(x-=02,令10x+3=%,则=100=20. n i=1 y=lnx+ 13.若曲 x存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是一· 【答案】 【解析】 -1+a+n+a=0, 【分析】设切点为(x,f(x),求解切线方程，由原点在切线上，可得x。 x。在 Q网有解，令风)=-血x-》,对)求导。并求银共单词性，再求解国 的范围即可求解 【(6》s号}-店- 因为 ,(0,0) 存在过原点的切线，故在切线上， ∴-1+a+hta=0 在(0，+o)有解， 即2a=-x(血-在0，+o)有解， 令()=-x血x-)÷p')=-lnx 可符闭在0，》单调递，在，+切0）单调造减，0=1 在 1 In+1 =→0 x→0t x→+0p(x)-→-0 第11页/共24页 6学科网命组卷网 .2a≤1， 14在△ABC中，角4B,C所对的边分别为，，c,若（4B-2AC)BC=0,且a=1,△ABC的 5 面积为2，则b=一 【答案】2 【解析】 【分析】由向量乘法，余弦定理以及三角形面积公式即可求解. 【详解】(AB-2AC)·BC=(AB-2AC-(AC-AB)=3AB.AC-AB2-2AC2=0 ..3bccos A=c2+2b2 由余弦定理： b2+c2-a2=2bccos A 得B+c2)=c2+2Bc2=b好+3，又S=m13 2 2 c2+2b2 由((becos2+((besin0 A2=b2,得 3 +3=2,又2-+3辩得6=2 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 52知函数了因)=msin(ox+9)其中m>0,o>0,阿<)的部分图象如 11π 第12页/供24页 6学科网 命组卷网 4)直接写出函数f()的解折式： (2)将函数y=∫()的图象向左平移6个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=8(x)的图象.若A、 B为锐角三角形ABC中的两个内角，且满足8(4)+8 B 2 =0 ,证明：△ABC为等腰三角形. 【答案】)f()=2sin 2x+ a8因-fr+8-2n(+8周-2am2r+引-2oas2x 由8U0+88)-0,得2or24+2osB=0:g2A=-0s8=o(-创. 因为.Be0引，24e0,对.-Bc( 所以2A=元-B=A+C, 化简得A=C,所以△ABC为等腰三角形. 【解析】 【分析】(1)根据正弦型函数的图象及性质求解即可。 (2)根据函数图象的平移变换求出8(：)，结合诱导公式及余弦函数性质证明即可 【小问1详解】 11ππ33T 兀= 由图象可知，m=2,12644,所以T=π. T= 2π 2π-2m=2 .0= 又0>0，故0，所以0T元 所以f(=2sin(2.x+p) 第13页/供24页 6学科网命组卷网 (2.2in) 2,所以= 6 做函数f国的解新武为@=2sn2x+) 【小问2详解】 略 16为备战校运会篮球赛，小明同学晚自习后练习投篮”次(”N”,且”≥2)，当且仅当选续投中2次 或投满”次时，停止练习.设小明每次投中的概率为P(0<p<), 各次投中与否相互独立，记X为停止 练习时的投篮次数。 1 (1)当n=6,P= 2时，求X的分布列： (2)当n≥6时，记事件4为第k次投篮命中(k=l2,3,n川，若P(X≥4)=乃， P(X≥5瓦)=P2,求P,-P的值. 【答案】(1) X 2 3 6 1 3 1 32 13 4 8 8 32 (2)(1-p)p 【解析】 【分析】(1)判断X的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，即可得到分布列 (2)根据条件概率公式、对立事件的概率公式及独立事件的概率乘法公式求解即可， 【小问1详解】 第14页/供24页 可学科网命组卷网 。 X=2,3,4,5,6 由题意知 Px=2到-.Px=列-8 x=小=-28x-列--}最 PX-0-1-P(x-2)-P(x-3-P-- X的分布列为 X 2 3 5 1 1 P 1 3 1 4 8 8 32 32 【小问2详解】因为P=1-P(X=2)-P(X=3) B,=1-PX=24-PX=3AP(X=44=1-0-0-P(X=2)=1-P(X=2), 所以P2-B=[1-P(X=2]-[1-P(x=2）-P(X=3]=P(X=3) =P(A44)=P(4)P(4)P(4)=(1-P)p2 17.如图。五面体MBC-ABG为平面“裁某正三枝柱的余下部分，其中△ABC为等边三角形， AA⊥ 平面MBC,AM+CC=2BB,动点M满足4M=MC(L>0) B M 第15页/供24页 6学科网命组卷网 (4)当入=1时，证明：BM上平面4CC4, 万 (2)当AB=BB=2CC时，若B,C与平面AB,M所成角的正弦值为4，求的值. 【答案】(1)取AC的中点O,连接OM,OB,有OB⊥AC, 因为4ML平面ABC,OBc平面ABC,所4A1OB 又41,4C为平面1CGA内两条相交直线，所OB上平面1CGA, 当1=l时，M为4G的中点，又0为4C的中点，则M0是梯形4CGA4的中位线， 所以M011AA,且M0=241+CC）.又BB114A,且BB=(44+CC) 所以M01/BB,且M0=BB,故四边形M0BB为平行四边形， 所以BM/B0,又OB上平面ACGA, 所以BM平面4CCA B M (2) 2 【解析】 【分析】()取4C的中点O,连接OM,OB,利用线线垂直可得OB1平面ACCA,当=l时， MOBB 利用梯形的中位线可证四边形 为平行四边形，可证结论： 第16页/共24页 6学科网命组卷网 ABM (2)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量和直 CB的一个方向向量， 利用向量法可求得九的方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，不妨设 AB=BC=CA=BB=2=3 CG=1 以0为坐标原点， 0C,0B,A4分别为x,y,z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有4-1,0,0)，B0,3,0),C0,0,0),4(-1,0,3).B,(0,5,2).C,0,1) 由4-wG,￥n[经02》. 所以国-452.服-5，.W-(404） 设平面AB,M的法向量i=(c,少2)，BC与平面MBM 所成角为0， x=2+3 x+V3y+2z=0 则n级=0，所以22x+2+3 。,取y=V3(-)为方程组的一组解， iAM=0 -z= 元+1+1 z=-21 即i=(0+3,V5(2-1),-2) CB·i in= 2+3=7 所以 CB 2V2V22+34,解得2=} 2 第17页/供24页 6学科网组卷网 B M B 18已知抛物线G:少=4x,0为坐标原点，本、B为抛物线S上的动点。 (1当4B过抛物线G的焦点F时，求△1OB的面积的最小值： (2)P(,%)为圆C:(x+2+广=1上一动点，C、D分别为线段AP、BP的中点且都在抛物线 G上，线段BC、AD交于点P, ()证明：P、Q的纵坐标相同： AB (i求Pg的取值范围. 【答案】(1)2 (2) C P D 第18页/共24页 命学科网组卷网 知调所元及P.A.叫.：C为P4时有，C生当，生”) yi+yo C在抛物线C上， =4.+ 、2 2 整理可得： 4红-2%y+8x。-=0,同理可得：4伍-2少，4+8x-6=0, (:,片)、(：乃)为方程4r-2,y+8x。-=0的两组解，÷直线4B的方程为 4x-2yoy+8x-y6=0 将直线4B与抛物线G:y=4x联立可得：y-2wy+8,-6=0,y+4=2, y=8x,-6 :BC、MD分别为△PMB的两条中线，2为△P1B的重心， 设Q(),则⅓=+-2%=% 3 3 (im6,20 【解析】 【分析】(1)根据题意，设直线1B的方程为入 ,x=+1 联立抛物线方程，结合三角形面积公式即可求 解： (2)《1)根据题意，设P(,）,根据PA中点C在抛物线上得到h与b的关系，结合P是 △PAB的重心即可证明：（根据愿意，利用距离公式以及，凸与力的关系分别得到MB和P吧关于 力的表达式，结合为的范围即可求解 【小问1详解】 第19页/供24页 6学科网命组卷网 由题可知，抛物线G:y=4r的焦点F(,0）,OF=1,直线AB与x轴不重合，如图所不， 设直线B的方程为X=+1,与抛物线G:少=4联立可得：广-4-4=0， 设AH),B(x,)(不妨令片>0，为<0)，则=4， 5og-对1-+分3-2组sx-克 为=2 时取等号， 故△AOB面积的最小值为2 【小问2详解】 (i)略； 自可.=2%-8+龙专2-+8 4 4 ,+y2=2yo,yy2=8x。-y%, 所以=(G-广+0-=2 %出-8+5_2%少-8+6 4 +(-2)月 4 =-+圣=0+%-4+-+4暖-4- =V2√话+4V-4x0, 第20页/供24页 6学科网命组卷网 35++5点++答50四应Z别 4 4 3 3 3 p-9-2-). e240ga4+4,又24iep 2(6-4) :1B=4+4e[6,20] PO 19已知定义在区间1上的可导函数f)的导函数为()，若F(四=f)+f(),则称F()为 f田在1上的“衡稳函数，F（)在1上的零点为f(冈的“衡稳点”.已知函数p()=r-2x, g()=e-2x,e≈2.71828…为自然对数的底数. （)判断P(),8()在R上是否存在“衡稳点”.若存在，则分别求出该衡稳点”，若不存在，说明理 由： (2)记8()在R上的衡稳函数为G(x),若x之0，不等式G()≥心恒成立，求实数a的取值范 围； (3)令(x)-g()+b(c5--xsin-cos),若h()在[0，列上有且仅有两个衡稳点，求实数b 的取值范围。 【答案】(1)p(女存在“衡稳点”为N2,V5,(x)存在“衡稳点"为0 (2)a∈(-∞，1] 第21页/供24页 6学科网6组卷网 e发w 【解析】 【分析】求出P()、8)的解析式，使用衡稳点的定义求解， (2)当x=0时，等式恒成立，当x≠0时，将问题转化为2(e-x-≥r,枸造函数 m(x)=2e*-2x-2-ax2 使用导数求解： (3)令H(=h+h) ，将问题转化为 H四在[0，风上有且仅有两个零点，使用导数求解 【小问1详解】 p'(x)=2x-2g'(x)=e-2 令p(+p)=-2x+2x-2=0,得x=±5，放P的衡稳点为N5、V2: 令G(=8+8'y=e-2x+e-2=2(e-x-1 则G(w=2(e-,令G')>0,得x>0,令G()<0,得x<0, 故G四在（←0,0)上单调递减，在0，+o）上单润递增，而G G(0)=0 因此， 8(x) 的“衡稳点”为0： 【小问2详解】 由题可知，对于x≥0,2(e-x-)≥r恒成立， ①当x=0时，不等式恒成立， ②当七*0 Vx∈(0，+o)2e-2x-2-ax2≥0 时，即对于 ◆m=2e-2x-2-am,则m0=0,m=2e-2-2.m0)=0, 第22页/供24页 命学科网命组卷网 令n0=2e-2-2x,则n6w=2e-2a,m0)=0 当a≤1时，n(≥0，n)在(0，+切）上是增函数，n≥n0=0, m(x)(0,+oo 则 在 上是增函数，m9≥m(0)=0 ,符合题意： 当a>l时，令n(w=0,即2e-2a=0,得x=lha>0,当xe(0,ha时，n(<0 n(x)(0,na) 上是减函数，则 n(x)<n(0)=0 在 时m在0,1血a ,此时 上是减函数，故m)<m(0)=0 不符合题意 综上所述，a≤1，即a∈（-o,. 【小问3详解】 hy=e-2x+b(CSx-in-cos为，则h()=e-2+b(cosx-xsinx-xcos0 令H(四=h)+h(,=2(e--1-sin),H()在[0，上有且仅有两个零点， H(x)=2[e"-b(sinx+xcosx)-I]. 记p()为H'()的导函数，则0(9=2[e-b(2cosx-xsin].∴p0)=20-2h). 当b>行，手e0引.-2e+b6nr+cs]>0,o州车.之 2cosx-xsinx<0,则)>0 由上可知，当x∈(0,6)时，)<0，H'(田单调递减，当x∈(，)时，p()>0,H'(单调递增， :H'(0)=0,H'()=2(e+bm-)>0,:存在唯一的实数x∈(，，使得H'(x)=0, 第23页/共24页 命学科网命组卷网 当∈(0，x)时，H'()<0,H)单调递减，当∈(，时，H(>0,H单调递增， H0)=0,H()=2(e-π-1)>0 :存在唯一的实数∈(，)，使得H()=0,即H(四在I0,上有两个零点，符合题意， b≤ ②当2时，先证明：当x∈[0，π]时，o(x)=x-sinx≥0， :o)=1-cosx之0，六0在0列上单调递增，0)≥o0)=0, 又由2)可知，对打x20,。-x-1≥号 2恒成立（当且仅当x=0时取等号）， 古因=2-饭n-≥2e-分n-小2-分--小20.当取3z=0 时取等号， 0,上只有一个零点，故舍去。综上，b的取值范围是2+∞ 第24页/供24页 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（二） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知的展开式中的系数为80，则实数（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知向量与的夹角为，其中，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 已知角 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，满足条件的三角形有两个 B. 当时，满足条件的三角形有两个 C. 若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D. 若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 10. 已知为坐标原点，椭圆为第一象限内椭圆上的动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、，连接，则（ ） A. 存在点，使得 B. 面积的最大值为 C. 重心的轨迹为椭圆的一部分 D. 原点到直线的距离的最大值为 11. 已知定义在上的可导函数的导函数为，且满足：①；②．则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 为常数，且该常数等于 C. 存在常数，使得函数是周期为的周期函数 D. 的图象关于点中心对称 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 12. 设一组样本数据的方差为，则数据 的方差为_____． 13. 若曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是_____． 14. 在中，角所对的边分别为，若 ，且，的面积为，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象．若、为锐角三角形中的两个内角，且满足，证明：为等腰三角形． 16. 为备战校运会篮球赛，小明同学晚自习后练习投篮次（，且），当且仅当连续投中2次或投满次时，停止练习．设小明每次投中的概率为，各次投中与否相互独立，记为停止练习时的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）当时，记事件为“第次投篮命中”，若，，求的值． 17. 如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． （1）当时，证明：平面； （2）当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知抛物线，为坐标原点，为抛物线上的动点． （1）当过抛物线的焦点时，求的面积的最小值； （2）为圆上一动点，、分别为线段、的中点且都在抛物线上，线段、交于点， （i）证明：、的纵坐标相同； （ii）求的取值范围． 19. 已知定义在区间上的可导函数的导函数为，若，则称为在上的“衡稳函数”，在上的零点为的“衡稳点”．已知函数， 为自然对数的底数． （1）判断，在上是否存在“衡稳点”．若存在，则分别求出该“衡稳点”，若不存在，说明理由； （2）记在上的“衡稳函数”为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）令，若在上有且仅有两个“衡稳点”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $