（备战期中）2026-2027学年沪教版（五四制）期中单元过关卷—二次函数（上海专用）

（备战期中）2026-2027学年沪教版五四制期中单元过关卷—二次函数 （上海专用） 一、单选题 1．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 5．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图象上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A．30 B．24 C．42 D．63 二、填空题 7．若二次函数的对称轴是直线，则_________． 8．二次函数的图象向右平移1个单位，得到图象对应的函数表达式是_________ 9．将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 _______． 10．抛物线与y轴的交点坐标是_______． 11．二次函数的对称轴是直线________． 12．“科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 13．已知抛物线的最高点为，则 ________． 14．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 15．如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________． 17．当时，二次函数的最小值为_________． 18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数，，都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)与轴交点坐标为________； (2)求函数图象顶点坐标． 20．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 21．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)当时，，求的取值范围． 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． (1)借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ (2)若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 23．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，求的面积． (3)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 24．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 试卷第4页（共5页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B A B 1．A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 2．C 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式即可． 【详解】解：选项：不是整式，不符合题意； 选项：当时，不是二次函数，不符合题意； 选项：是二次函数，符合题意； 选项：不是整式，不符合题意． 3．A 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标是． 4．B 【分析】型二次函数的顶点均为，其余性质与的符号相关． 【详解】解：由于三个抛物线的解析式均为的形式，则顶点均为； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 抛物线，二次项系数小于，开口向下，有最高点，当时，随的增大而减小； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 综上所述，三个抛物线共同性质的是顶点均为，即B选项符合题意． 5．A 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 6．B 【分析】先根据直线解析式设出的坐标，再表示与，求和后整理为二次函数，用配方法求最小值． 【详解】解： 点是直线上的动点， 设点的横坐标为， 将代入，可得， ． ，， ，． ，二次函数图象开口向上，     当时，有最小值，最小值为24． 7． 【分析】根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得. 8． 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移需对自变量做减变换． 【详解】解：原函数表达式为，将图象向右平移1个单位，根据平移规律，给自变量减去平移的单位数1， 因此得到的新函数表达式为． 9． 【分析】根据二次函数图象平移“上加下减”的规律求解. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，可得所得抛物线的解析式为. 10． 【分析】根据y轴上所有点的横坐标都为，将代入抛物线解析式计算得到纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为， ∴将代入抛物线得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 11． 【分析】已知二次函数的一般形式，直接套用对称轴公式计算即可． 【详解】解： 二次函数的对称轴公式为， ∵ 给定二次函数中，，， ∴ 代入公式得 . 因此对称轴是直线． 12．或 【分析】令，将函数值代入与的关系式中解一元二次方程，求出自变量的值即可． 【详解】解：令，则， 整理得，， 因式分解得，， 解得，． 当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为或． 13． 【分析】把代入即可求出的值． 【详解】把代入得，， ， ， 又∵有最高点， ，， ． 14． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为． 15．20 【分析】先读出顶点坐标，根据水面倒影是关于轴对称求出倒影点坐标，再计算两点距离． 【详解】解：由抛物线解析式，可得顶点的坐标为． 水面为轴，点在水中的倒影是点关于轴的对称点， 坐标为． 与之间的距离为（米）． 16． 且 【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为，再结合有两个不相等实数根，得到根的判别式大于，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 计算判别式： ， 由得： 整理得： 解方程，由求根公式得： ， ∵二次函数开口向上，不等式的解集为两根之间， ∴， 结合，可得的取值范围是且． 17． 【分析】对二次函数配方得到开口方向和对称轴，根据的取值范围结合二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵ ， ∴ 该二次函数二次项系数为，开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定的取值范围内， ∴ 当时，二次函数取得最小值，代入得最小值为， 即． 18．②③ 【分析】令三个函数的函数值都为，进而建立方程，看方程是否有解即可；由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值的大小关系即可求出c的取值范围；由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值； 【详解】解：在中，当时，则，此时方程无解， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即，此时方程无实数根， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即， 此时，原方程有两个相等的实数根， ∴函数是“三倍函数”，故①错误； 在中，当时，则， ∴， ∵在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴方程有实数根， ∴， ∴； ∵要满足在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴要满足当时，或当时， ∴或， ∴或， 综上所述，，故②正确； 在中，当时， 则， ∵函数的图象上存在“三倍点”， ∴， ∴； 由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ∴ ， ∵ ∴当时，随的增大而减小； ∴当时，有最小值； 此时，，故③正确； 综上所述，正确的有②③． 19．(1) (2) 【分析】（1）令，代入解析式求值，即得与轴交点坐标； （2）将二次函数解析式配方为顶点式，可得顶点坐标． 【详解】（1）解：∵轴上的点横坐标为， ∴令，代入， 得， ∴二次函数与轴交点坐标为； （2）解： ， ∴函数图象顶点坐标为． 20．(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次项系数判断开口方向，提出二次项系数，把解析式配成顶点式的形式，直接读出对称轴和顶点坐标． （2）根据二次项系数判断开口方向，确定二次函数一般式中a、b、c的值，代入顶点坐标公式得出顶点坐标，进而得到对称轴． 【详解】（1）解:∵， ∴抛物线的开口向上， ∵， ， ， ， ， ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解:对比二次函数一般式， 可得、、， ∵， ∴抛物线的开口向上， 代入顶点坐标公式有，即， ∴对称轴为， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定的值； （2）根据，，结合图象，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． ∵当时， ∴ 22．(1)每件应降价10元． (2)当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设每件降价元．根据“每件利润×销售量=总利润”列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的要求选取降价更多的解． （2）设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元分别表示线上、线下的日利润，求和得到总利润关于降价金额的二次函数，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设每件降价元． ∵线下每件利润为元，日销量为件， ∵总利润为1800元， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴， 答：每件应降价10元． （2）解：设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元． ∵线下每件利润为元，日销量为件； 线上每件利润为元，日销量为100件， ∴， ， ． ∵且， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为3310元． 答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 23．(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再由求解即可； （3）由题意设，由题意得，轴，则，，据此可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵点在抛物线上 ∴把点代入，可得 ∴ ∵，， ∴ ∴ （3）解：由题意设， 由题意得，轴， 则， ∴ ∴，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴； 或，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴ 综上：点的坐标为或． 24．(1)； (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，解方程组求解即可； （2）确定直线的表达式，设，则点的坐标可用含的代数式表示，进而表示出的长度，利用函数性质求最大值； （3）先确定对称轴及点坐标，再分情况进行讨论求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的表达式为， ，， 解得 ， 设， 轴， ， ， 点在轴下方的抛物线上， ， 当时，值最大，最大值为； （3）解：对抛物线， 当时，， ， 对称轴为直线， 设， 则，，， 当时， 解得， ； 当时，， 解得，， 或； 当时，， 解得，， 或， 设直线关系式为， 解得 直线关系式为， 当时，，即在直线上，点，，三点共线，故舍去； 综上可知点的坐标为或或或． 25．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 答案第14页（共17页） 答案第15页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $