第27章二次函数单元自测卷（上海专用）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

**基本信息** 沪教版五四制九年级上册二次函数单元卷，含选择、填空、解答题共24题（150分），覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过生活与科技情境（如雨伞抛物线、AI防空演练）考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|二次函数定义、顶点坐标|基础概念辨析，如判断二次函数类型| |填空题|10/40|图像平移、交点问题|结合生活情境，如雨伞抛物线求距离| |解答题|8/86|最值应用、动态几何|综合实践导向，如AI防空轨迹建模、服装厂利润优化，体现模型意识与运算能力|

2026-2027学年沪教版五四制九年级上册 27章二次函数单元自测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 3.在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 4.宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 5.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D 6.如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7.已知，那么____ 8.已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 9.已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 10.若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 11.如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    12.如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 13.如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 14.如图，点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，则线段AB的长是 ． 15.．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 16.对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 三、解答题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17.抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 18.已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 19.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20.某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为6km时，达到最大垂直高度3.6km．以O为原点，地面OB所在直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 21.如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 22.请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23.已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版五四制九年级上册 27章二次函数单元自测卷 （上海专用）（解析版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度系数】0.55 【详解】解：A、自变量的次数为1，不是二次函数，故本项不符合题意； B、分母中含有自变量，不是二次函数，故本项不符合题意； C、是二次函数，故本项符合题意； D、常值函数 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如 （是常数）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 2.如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【难度系数】0.65 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 3.在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度系数】0.65 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 4.宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【难度系数】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 5.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D 【答案】D 【难度系数】0.75 【分析】 联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：，∴，∴，解得：或，当时，，当时，，∴二次函数与一次函数相交于点和，∴只有D选项图象符合题意． 6.如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度系数】0.75 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数自变量函数值的计算，根据抛物线，得对称轴为直线，设和的横坐标分别为，，所以，则，即与的横坐标和为，同理与的横坐标和为，与的横坐标和为，由此即可求解，掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7.已知，那么____ 【答案】 【难度系数】0.55 【分析】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．将代入函数中，直接计算即可． 【详解】解：由函数定义，． 故答案为：． 8.已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据方程的两个根得到抛物线与轴的两个交点坐标，利用交点式，写出二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为1、， ∴的图象与与轴的两个交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 9.已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【难度系数】0.65 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 10.若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【难度系数】0.75 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 11.如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【难度系数】0.75 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 12.如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【答案】 【难度系数】0.85 【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 13.如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 【答案】①④ 【难度系数】0.85 【分析】本题主要考查了二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的对称性确定点B的横坐标，可判断①；将代入并结合图象可判断②；根据抛物线的对称轴为直线可判断③；根据函数的增减性可判断④． 【详解】解∶∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b，则有∶，解得∶， ∴点B的坐标为，即①正确； ∵点B的坐标为，抛物线开口向上， ∴当时，由函数图象可得函数值大于零，即，即②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即③错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，即，即④正确． 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 14.如图，点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，则线段AB的长是 ． 【答案】3 【难度系数】0.85 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的图像具有对称性，可以求得点B的横坐标，从而可以求得AB的长． 【详解】解：∵点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上， ∴该抛物线的对称轴是直线x=1， ∵过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B， ∴点B的横坐标是：1×2﹣（﹣）=， ∴AB==3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 15.．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 16.对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【难度系数】0.85 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17.抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【难度系数】0.65 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而即可求解． 【详解】把（－1，－22），（0，－8），（2，8）分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得：a＝－2，b＝12， c＝－8， 所以抛物线的解析式为y＝－2x2＋12x－8， 将解析式配方，得y＝－2(x－3)2＋10， 又∵a＝－2＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，求出二次函数解析式，是解题的关键． 18.已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【答案】(1) (2)，点的坐标是 【难度系数】0.65 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的对称性应用，熟练掌握二次函数的顶点式和对称轴性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的顶点式，结合已知点的坐标，求出解析式中的参数，进而确定二次函数的解析式； （2）将点代入二次函数解析式求出对应的值，再根据二次函数的对称轴性质，求出对称点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． （2）解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 19.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 20.某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为6km时，达到最大垂直高度3.6km．以O为原点，地面OB所在直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+3.6，将O（0，0）代入求解即可； （2）求出两函数交点的横坐标即可． 【难度系数】0.65 【解答】解：（1）根据题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+3.6． 将O（0，0）代入，得0＝a（0﹣6）2+3.6， 解得a＝﹣0.1． ∴红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6． （2）由题意联立解析式得， 解得x1＝10，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴击中时红方导弹的水平飞行距离为10km． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握待定系数法求出二次函数解析式是关键． 21.如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是 (3)当t为3秒时的面积最大，最大面积是 【难度系数】0.75 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与t的函数关系式是解此题的关键． （1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：的面积 ， 解得：或4， 即当秒或4秒时，的面积是； （3）解：， ∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是． 22.请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【难度系数】0.80 【解答】解：任务1：∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴（70﹣x﹣y）×1＝2y， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]， ∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]， 整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x）， ∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10）， 任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008， ∴当x＝18时，获得最大利润， ， ∴x≠18， ∵开口向下， ∴取x＝17或x＝19， 当x＝19时，，符合题意； 当x＝17时，，不符合题意； ∴70﹣x﹣y＝34， ∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 23.已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【难度系数】0.85 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 【难度系数】0.85 【分析】（1）令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a，即可解得A（﹣3，0），B（1，0）； （2）求出抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1，C（0，﹣3a），可得E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴，而AC平分∠EAO，可知AE＝CE，即2，解得a或a，即可得抛物线的表达式为yx2x； （3）求出D（﹣1，﹣4a），直线CD解析式为y＝ax﹣3a，由S△ADF＝S△CFP，可得AP∥CD，即可求出直线AP解析式为y＝ax+3a，解得P（2，5a），故直线DP解析式为y＝3ax﹣a，可得G（，0），再求出DG，GP，从而可得答案． 【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）中，令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1， 在y＝ax2+2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a， ∴C（0，﹣3a）， ∵点E与点C关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴， ∴∠ECA＝∠CAO， ∵AC平分∠EAO， ∴∠EAC＝∠CAO， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴AE＝CE， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3a），E（﹣2，﹣3a）， ∴2， 解得a或a， ∵a＜0， ∴a， ∴抛物线的表达式为yx2x； （3）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴D（﹣1，﹣4a）， ∵C（0，﹣3a）， ∴直线CD解析式为y＝ax﹣3a， ∵S△ADF＝S△CFP， ∴S△ADP＝S△ACP， ∴AP∥CD， 设直线AP解析式为y＝ax+m， 把A（﹣3，0）代入得：0＝﹣3a+m， ∴m＝3a， ∴直线AP解析式为y＝ax+3a， 联立， 解得或， ∴P（2，5a）， 由D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）得直线DP解析式为y＝3ax﹣a， 在y＝3ax﹣a中，令y＝0得x， ∴G（，0）， ∵D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）， ∴DG，GP， ∴． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，两点间距离公式的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握上述知识． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版五四制九年级上册 27章二次函数单元自测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 3.在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 4.宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 5.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D 6.如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7.已知，那么____ 8.已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 9.已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 10.若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 11.如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    12.如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 13.如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 14.如图，点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，则线段AB的长是 ． 15.．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 16.对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17.抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 18.已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 19.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20.某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为6km时，达到最大垂直高度3.6km．以O为原点，地面OB所在直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 21.（本题12分）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 22.请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23.已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $