学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（上海专用，新教材沪教版五四制九上第27～28章：二次函数+相似三角形）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版五四制九年级上册第27~28章二次函数+相似三角形。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．热点下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 【答案】B 【详解】解：A. 两个矩形的对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； B.两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，故两个等腰直角三角形相似，故该选项正确，符合题意； C. 两个菱形的对应角不一定相等，则两个菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； D. 没有明确这个角是顶角还是底角，故有一对角相等的两个等腰三角形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．热点若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 3．抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的纵坐标越小， ∵，，， 又∵， ∴． 4．已知线段､､，求作线段，使，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论正确，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论错误，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论正确，不符合题意； D、根据平行得到两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例可得，整理得，结论正确，不符合题意． 5．新考法如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故①正确． ∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，故②正确． ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，而对称轴在y轴右侧， ∴，而， ∴，因此，，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，故④正确． 观察图象可知，当时，，故⑤不正确． 综上所述，①②④正确，正确结论有3个． 6．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．热点在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为； ∴新抛物线的顶点坐标是． 8．热点已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 【答案】 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故答案为：． 9．新考法如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 10．已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 11．如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵是抛物线， ∴该函数为二次函数，可得． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，即， 解得． 12．已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 13．抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：对抛物线配方得：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线方程得：， 解得：． 14．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 15．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 16．新考法如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 【答案】或 【详解】， 可得顶点A的坐标为，函数对称轴为直线． 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称， 已知，则两个交点到对称轴的距离均为， 因此左侧交点B的横坐标为，右侧交点D的横坐标为， 即，， 将点B代入原函数解析式，此时， ，即 ， 解得． 因为“牵手二次函数” 与轴的交点分别为、（点在点的左侧）， 所以“牵手二次函数”和原抛物线与轴交点完全相同，对称轴同样为， 设它的顶点式为，则顶点， 因为两个顶点横坐标都是，在同一条竖直线上， 所以两点距离， 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得； 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得． 所以这个“牵手二次函数”的二次项系数是或． 17．新考法抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 三、解答题:(本大题共7题，共82分) 【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【详解】（1）解：由可设， ∴；……（5分） （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴．……（10分） 19．新考法（10分）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为，……（2分） ，交于原点，则与的位似中心的坐标为，……（4分） 已知，， 故与的位似比为．……（6分） (2)如图所示： ……（8分） （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为．……（10分） 20．（10分）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且．……（4分） （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或．……（10分） 21．（12分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【详解】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴；……（6分） （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴．……（12分） 22.新考法（12分）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为；……（3分） （2）①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个；……（7分） ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， ……（12分） 23．新考法（13分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴；……（3分） （2）解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴；……（8分） （3）解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或．……（13分） 24．（15分）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，；……（4分） (2)证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形；……（8分） （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或．……（15分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版五四制九年级上册第27~28章二次函数+相似三角形。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．热点下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 2．热点若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 4．已知线段､､，求作线段，使，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．新考法如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．热点在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 8．热点已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 9．新考法如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 10．已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 11．如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 12．已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 13．抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 14．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 15．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 16．新考法如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 17．新考法抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 三、解答题:(本大题共7题，共82分) 【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 19．新考法（10分）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 20．（10分）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21．（12分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 22.新考法（12分）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 23．新考法（13分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 24．（15分）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂[][][/] 4保持卡面洁洁.不要折為、不要弄破。 第L卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.IA][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 8 9 10. 11. 12 13 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7小题，82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.(10分) 19.(10分) B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！：！ 22.（12分) 以米 06 A --B 5米 0 米 20米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) E D C B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(15分) A M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 3 4 6 B D B B B 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7(0,4) 8.V2:2 9.3:1 10.1cm 11.1 12.3-V5 24 15 13.0 14.25 15. 5 16.4或4 17.1-v2.0) 三.解答题（本大题共7小题，82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.(10分) x y Z 【详解】(1)解：由27=5可设x=2k,y=7k,2=5, x+y-2_2k+7k-5水-2，…(5分） 2k (2)解：由(1)可知：x=2k,y=7k,2=5k, ,x+y+z=28 .2k+7k+5k=28, 解得：k=2, x=4,y=14,2=10.…(10分) 19.新考法(10分) AA CC 【详解】(1)解：如图建立直角坐标系，连接 1/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由图可知，点B的坐标为0,6) …(2分) M,CG交于原点O,则△MC与△MBG的位似中心的坐标为 ,0) (4分) 已知4C=64G=3 AC_6=2 故△ABC与△4B,C的位似比为AG3 .…(6分) △AB2C2 (2) 如图所示： B X …(8分) (3)解：如图，连接， M,CG,4与CGG交于点P, 2/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 已知点4的坐标为 4,-2),4的坐标为 (2,1) 设直线的解析式为'=c+b, AA 将4-2列，21代入. 「-4k+b=-2 可得2k+b=1, k- 解得b=0' 1 则直线A4的解析式为少=2无 CC2 直线心为直线x=-1」 当x=1y=2)= 2 故点P的坐标为 (10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：·y=-2x+ 是二次函数， .k≠0， ,二次函数的图像与x轴有两个交点， 3/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :△=(2-4>0，解得：k<1, 综上：k<1且k≠0.…(4分) (2)解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为， )， :,元为-2x+1=0(k≠0)的两个根， 2 1 +6无，3=， ,二次函数图像与x轴的两个交点之间的距离为1， .2-x=1 :(3-=(3+x}-4xx=1 . 片9+211上3 22,即k2或k2, :k=2W2-2或k=-22-2 或 .…(10分) 21.(12分) 【详解】(1)证明：·∠BAC=∠FAD .∠BAC-∠FAE=∠FAD-∠FAE,即∠BAF=∠CAD AB AC AF AD' AB AF :AC AD' .△ABF∽△ACD;.(6分) (2)解：：△ABF∽aACD 4/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB) 5225 S.ACD AC =2)=4, ,△ACD的面积为8， .S.= 2 -S4CD= 5 ×8=50 4 4 …(12分) 22.新考法(12分) 10,5) 【详解】(1)解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为y=a(x-10)}'+5 把(00) 代入可得0=100a+5 1 解得a= 20, 所以将供查线所超物发的表达式为y=动-10了+5=分2+，…(3分) (2)①解：由题意可得点A的纵坐标为5-1.3=3.7， 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于AB, ∴悬挂点的最低纵坐标为4.2， 路y=42代入抛物线表达式，可得42=20产+ =6,x2=14 解得 ~相邻悬挂点水平间距为0.8米， :最多可悬挂灯笼数为0.8 10-6×2+1=11个：…(7分) ②最多只能悬挂7个灯笼， ∴悬挂点从拱顶向左右各延伸3个，共3×2+1=7个， 设每个灯笼的水平间距为d, 最左灯笼坐标为g).则10-p=3a,9=动p-10+5, ∴d=10-p 3, 5/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为10-4d=10-4×10-卫-4p-10 3 3 这个灯竞的标为000j5=名0-o5 203 p-102+5242 20 根据题意可得 希D-1o+5<42 解得9<(p-102≤16 p<10 ∴.-4≤p-10<-3 .6≤p<7 当p-6时.9=06-10旷+5=42。 当p=7时，9= 20×(7-10+5=4.5」 1 ∴4.2≤q<4.55 …(12分) 23.新考法(13分) 【详解】(1)解：：∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8 根据勾股定理得 AB=AC2+BC2=10,BE=BD2+DE2=10 ABBE ·BCBD 由旋转得∠ABE=∠CBD, ∴.△BAE∽ABCD. AE BE 10 5 CDBD6=3:…(3分) 6/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：如图所示，延长CD交AE于点H,连接BH交DE于点M, H 、D M 由(1)得△BAE∽△BCD, ∴.∠BAE=∠BCD ,CF是△ABC的中线，∠ACB=90°， 、F=BF=2AB=5 ∴.∠BCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE .·∠BFC=∠AFH,AF=BF, .△BFC≌△AFH(ASA). ..CF=HF, ∴四边形ACBH是平行四边形. .∠ACB=90° 四边形ACBH是矩形， .∠AHB=90,AH=BC=6 AB=BE, ∴EH=AH=6,AE=2EH, .AG∥HM, .△AEG∽△HEM. 4G-E=2, ·HMHE .AG=2HM 'EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， .△EHM≌aBDM(AAS) ∴.EM=BM=BH-HM=8-HM 7/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△EHM中，根据勾股定理，得EH+HM2=EM2, 62+HM2=(8-HM)2 即 解得M=了 4 .AG=2HM=2x2-7 42:…(8分) (3)解：如图，当∠EAD=90°时，过点B作BO⊥AE于点Q,过点D作DP⊥B0于点P,则 ∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° B 四边形ADP吧是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD 设AQ=PD=b. AB=BE,BQ⊥AE ..AO=EO=b. .AE=26 .∠ADP=∠BDE=90°， ∴.∠ADE=∠PDB. .∠EAD=∠BPD=90°， .△DAEr△DPB, AD AE DE PD PB DB' 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD 2b 8 即b=PB6, 解得PB=多6，AD=4b 2 3· 在Rt△BPD中，根据勾股定理，得BP2+PD=BD, 即b+6=6, 1213 b= 解得13（负值舍去）， 所以D16 3: ②如图所示，∠AED=90°，过点B作B2⊥AE于点Q,则∠BOE=∠AED=∠BDE=90° ∴四边形BDEO是矩形， .EO=BD=6 :AB=BE,BQ⊥AE, .AE=2EQ=12 :4D=VAE2+DE=i2+8=4N15 1613 综上所述，线段AD的长为13或4V13.…(13分) 24.(15分) 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：A(-3,0) .0A=3, ..OC=OA. .OC=0A=3, :c0-3) 9a-6a+c=0 根据题意，得c=-3 a=1 解得c=-3, 故a=1,c=-3;…(4分) 2)证明：由(1)得'=r+2x-3 y=x2+2x-3=(x+1)2-4 顶点坐标为 M(-1,-4) .A(-3,0)C(0,-3)M(-1,4) :A0=0C=3,4C=0M+0C=3W2,CM=VP+(4-3}=2,AM=V2+4=25, .32j+2j°-20=(25. ..AC2+CM2=AM2, .△ACM是直角三角形；…(8分) (3)解：令y=0,则x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1, :80.0) :1(-30,点c0.-3),B,0), 10/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :A0=0C=3.AB=44C=3V2 .∠0AC=∠0CA=45°， 当∠CPO=∠ABC时， .∠OCP=∠CAB=45°， ∴.aOCP∽ACAB CO PC :CA AB' 3 PC 324· 解得PC=2V5 过点P作PF上y轴于点F, 则PF=FC=2, ..OF=OC-FC=1. :P-2) 当∠CPO=∠ACB时， ·∠OCP=∠BAC=45° ∴，△OCPPABAC, 11/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CO PC :AB CA' 3 PC .432’ 解得℃ 4, 过点P作PGLy轴于点G, 9 则PG=GC=4, ·0G=0C-GC=3 4 综上所达，布在点P使霸0。QP为项点的三角形与A8C相似，P方坐标为2安（子》 (15分) 12/122026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1.A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A][BJ[C][D] 6.[A][B][CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分) 1 8 10 11 12 13 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7小题，82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.(10分) 19.(10分) B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) /米 5米 20米 米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) E E A B B B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(15分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版五四制九年级上册第27~28章二次函数+相似三角形。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．热点下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 2．热点若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 4．已知线段､､，求作线段，使，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．新考法如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．热点在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 8．热点已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 9．新考法如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 10．已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 11．如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 12．已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 13．抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 14．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 15．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 16．新考法如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 17．新考法抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 三、解答题:(本大题共7题，共82分) 【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 19．新考法（10分）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 20．（10分）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21．（12分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 22.新考法（12分）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 23．新考法（13分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 24．（15分）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $