3.3 探索与表达规律 常见的六种题型 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

3.3探索与表达规律常见的六种题型 目　录 题型一　数字类规律探究（数列、数表与末位数字） 题型二　图形计数规律（图案中的元素个数） 题型三　图形分割与火柴棒规律（剪开、拼摆与分子结构） 题型四　运算程序与周期循环规律 题型五　观察等式与裂项求和 题型六　新定义运算与日历规律（实际应用） 题型一　数字类规律探究（数列、数表与末位数字） 【解题技巧】数字规律题先列前几项，观察相邻项的差、比、符号及分子分母的变化，归纳出第 n 项的表达式；“末位数字”类题目先算出前几项的末位，找出以 2、3、4、6 等为周期的循环节，用 n 除以周期取余数确定；“三角形数”(）、“正方形数”（n²）、“杨辉三角”等特殊数，先找行、列、对角线或系数规律。注意区分“第 n 个数”与“第 n 次运算”，余数为 0 时取周期最后一个。 1．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 3．设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足若这列数为4，则的值是（    ）． A．352 B． C．371 D． 4．已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（   ） 当时，；； ；中，的系数为偶数，常数项为奇数． A． B． C． D． 5．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 7．观察下列等式：，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．7 C．5 D．9 8．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和． 表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则（    ） A．20110 B．20111 C．20112 D．20113 9．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第12列的数是 ___________ ． 10．按规律填空：，，，，________． 11．是不为1的有理数，我们把称为的“差倒数”，如2的“差倒数”是，－1的“差倒数”是，已知是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，，依次类推，则______． 12．如果一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，各个数位上的数字均不相等，且满足．去掉的个位数字得到一个两位数，交换的百位与十位数字得到一个新的三位数．若能被7整除，则这个三位数的最小值是___________． 13．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 14．（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 15．观察下列这行数，并完成填空： ，4，，16，，64，， 根据以上数字的排列规律，请写出第2025个数字是________． 16．有一组数：1，，，，…，则第8个数为__________． 17．按规律填数字： 2、5、 10、 17、26、37、…， 则第七个是___________． 18．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第10个数是____________，第①行的第n个数是____________； (2)第②行的第10个数是____________，第②行的第n个数是____________； (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 19．如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 20．探索规律：观察下面※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想___________； (2)请猜想___________； (3)请用上述规律计算：的值． 题型二　图形计数规律（图案中的元素个数） 【解题技巧】图形计数规律题：先分别数出第 1、2、3 个图案中目标元素的个数，把每个图形对应的数据写成式子，比较相邻图形增加的数量，归纳第 n 个图形的通项公式，再代入所求的 n 值计算。常见模型：每次固定增加（an+b 型）、增加量递增（如 型）。仔细看清题目问的是“白色”“黑色”“阴影”还是总数。 1．根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 2．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 3．少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到人们的喜爱，某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（    ） A．6070 B．6076 C．6078 D．6079 4．虎头岩校区某学生活动区域按如图规律铺地砖，第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，．．．．．．，则第6个图案中有白色地砖(    ) 块 ． A．24 B．26 C．28 D．36 5．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2022个图形中字母“H”的个数是（　　） A．4047 B．4046 C．4045 D．4044 6．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，…，依此规律，第个图案需要（   ） A． B． C． D． 7．把黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子，…，按此规律排列下去，则第7个图案中棋子的颗数为（   ） A．21 B．23 C．26 D．28 8．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，按此规律，第个图案中有白色地砖（   ）块 A．块 B．块 C．块 D．块 9．围棋是我国琴棋书画四艺之一，因其完美地将科学、艺术和竞技三者融为一体，有着发展智力、培养意志品质和战略战术机动灵活的特点，现在已逐渐发展成为一种国际性的文化竞技活动．如图是用围棋摆成的图案，观察其中的规律，第个图形中围棋的个数是（    ） A． B． C． D． 10．小红用珠子串出如图所示的饰品，第一个饰品有10颗珠子，第2个饰品有19颗珠子，第3个饰品有28颗珠子，…，按此规律串下去，n个饰品有（    ）颗珠子 A． B． C． D． 11．如图是用棋子摆成的图形，摆第一个图形需要3枚棋子，摆第二个图形需要6枚棋子，摆第三个图形需要9枚棋子……照这样的规律摆第11个图形需要（     ）枚棋子．    A． B． C． D． 12．如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第个图形中圆圈的个数是（    ）    A． B． C． D． 13．在学习了“探索表达规律”后，为激发学生学习数学的兴趣，王老师让同学们做摆图游戏．如图，小刚用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（　　） A． B． C． D． 14．下列图形都是由同样大小的笑脸按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个笑脸，第②个图形一共有8个笑脸，第③个图形一共有18个笑脸……，按此规律，则第⑧个图形中笑脸的个数为（    ） A．128 B．98 C．72 D．60 15．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（     ）个． A． B． C． D． 16．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．第一个图形（如图1）有5个涂色的小正方形，第2个图形（如图2）有9个涂色的小正方形，第3个图形（如图3）有13个涂色的小正方形……，则第n（n为正整数）个图形有________个涂色的小正方形． 17．汉字文化正在走进人们的日常消费生活，如图所示的图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点，．．．，依此规律，图⑥中圆点的个数是___________． 18．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有________个〇． 19．如图是由黑白两种颜色的地砖铺成的花朵图案，按照这样的规律，第⑧幅图中白砖的个数为________． 20．小明用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第1个图案中有5颗围棋子，第2个图案中有9颗围棋子，第3个图案中有13颗围棋子，第4个图案中有17颗围棋子，．．．，按此规律摆放下去． (1)第6个图案中有___________颗围棋子； (2)用含的代数式表示第个图案中围棋子的颗数； (3)求摆第527个图案比摆第312个图案多用多少颗围棋子？ 题型三　图形分割与火柴棒规律（剪开、拼摆与分子结构） 【解题技巧】图形分割类：每剪开一个图形会增加固定数量的图形（如每剪一刀增加 3 个），据此得出第 n 个图形的个数。火柴棒/木棒拼摆类：数出前几个图形所需根数，找相邻图形增加的根数，归纳通项。分子结构类：数出第 1、2、3 个结构中碳原子数与氢原子数，归纳“第 n 个结构中碳 n 个、氢 (2n+2) 个”等规律；计算点的总数时注意顶点是否被重复计数。 1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，它的前四种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第100种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．198 B．200 C．202 D．204 2．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，则第19个结构式中H的个数是（   ） A．38 B．40 C．42 D．44 3．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有个点，当时，这个图形总的点数S为（   ） A．8076 B．8077 C．8078 D．8079 4．如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第20个图案需用火柴棒的根数为（    ） A．20 B．41 C．80 D．81 5．如图所示，把同样大小的黑色棋子分别摆放在正多边形（正三角形、正四边形、正五边形、正六边形…）的边上，按照这样的规律继续摆放下去…，则第5个图形需要黑色棋子的个数是 （  ） A．30 B．33 C．35 D．42 6．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第10个图中共有正方形的个数为________． 7．如图是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．仔细观察图形，在第n个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多_______块． 8．班级板报有一正六边形区域，为展现数学之美，现要将其规划为“低多边形风格”，构造过程如下：在正六边形内取一定数量的点，连同正六边形的6个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到正六边形内所有区域都变成三角形．如图，当正六边形内有100个点时，可分为___________个三角形． 9．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为____． 10．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，阴影部分的面积是______． 11．如图，将图①中的等边三角形剪开得到图②，图②中共有4个等边三角形；将图②中的个等边三角形剪开得到③图，图③中共有7个等边此下法，则图⑤中共有_______个等边三角形，图n中共有_______个等边三角形．    12．用木棒按如图所示的规律摆放图形，第n个图形需要木棒_______根． 13．找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 14．下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴； (2)第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 题型四　运算程序与周期循环规律 【解题技巧】运算程序题：按程序框图或文字规则，把前几次的输出结果依次算出，观察是否出现循环（周期），再用 n 除以周期取余数确定第 n 次的结果；注意输入的奇偶性决定走哪条运算分支。数轴翻转、动点跳动类：先分析一个周期内各点/位置的对应情况，找出循环节，再作周期除法。方格中“任意相邻几个数之和相等”的题，可推出格子中数字按固定周期重复。 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 3．如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（  ） 数学兴趣活动室欢迎你！ 密码 A．722724 B．729624 C．722427 D．722496 4．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，再把输入，第二次输出的结果为，第三次输出的结果为，……这样下去，第2025次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 6．如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 7．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，某同学设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程…现小黎写下一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的差为________． 8．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______． 9．如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数，则经过2023次运行后，输出的数是______． 题型五　观察等式与裂项求和 【解题技巧】裂项求和：观察等式，把每一项拆成两项之差（如），使前后项相互抵消，只留首项与末项再计算。先由前几个等式归纳出第 k 个等式的一般规律，再套用求和；三个连续奇数乘积的倒数可拆成相应三个奇数的倒数之差。注意裂项时的系数与符号。 1．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 2．通过计算，同学们可以得知以下关系式 … 由此可以推断出：_______． 3．数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 4．观察下列各式： ；；； (1)按照上述规律，第4个等式是：___________________； (2)运用你发现的规律计算：． 5．观察下列各等式，并回答问题（是不小于2的正整数）： ；；；；⋯ (1)填空：_______； (2)计算：_______； (3)计算：_______． 6．观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式；…… (1)请写出第7个等式：______________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算：． 7．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：__________；用含有的代数式表示第个等式：________（为正整数）； (2)求的值； (3)探究：若，则__________ 8．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 9．观察下列各式： ；；；；…． (1)用你发现的规律填写下列式子的结果：； (2)用你发现的规律计算：． 题型六　新定义运算与日历规律（实际应用） 【解题技巧】新定义运算题：先按给出的示例理解新定义的运算法则，再把所求式子按法则逐步计算。日历框数题：根据日历“同行相邻相差 1、同列相邻相差 7”的规律，设中间数（或某数为 a），用含 a 的代数式表示其余各数，再求和化简——方框/十字框框住的五个数之和通常是中心数的 5 倍。组合、反转数等应用题，先把新定义抽象成算式，再计算或说明整除性。 1．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 2．根据下图中方格内数的规律，a与b的值分别是（   ） A．20， B．，10 C．4， D． 3．如图1是年月份的日历，小乐在其中画出了一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图1中的结果为________． 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则________，________， （________）（________）________． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 4．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ， ； ，，； ，． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算______________________________________， 异号两数运算________________________________________________________， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍_________________． 【用数学的思维思考】 (2)计算： ①_________； ②_________． (3)若，，求的值． 5．将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 6．先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20 （1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ （2）探索发现： 计算：＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） （3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+． 7．背景知识 将一个多位正整数的数位顺序完全颠倒后得到一个新数（两数数位顺序完全相反），我们称这样的两个数互为“反转数”，又称“逆序数”．如：256和652互为反转数． 解决问题 (1)428的反转数是_____． (2)设是一个四位数． ①_____（用含、、、的式子表示）． ②试说明能被9整除． 参考答案 题型一　数字类规律探究（数列、数表与末位数字） 1．D 【详解】解：由题意得： 这列数中的第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，故这组数的第个数的符号为， 分数的分子为从开始的连续的奇数，故这组数的第个数的分子为， 分数的分母依次扩大倍，且第一个分数的分母是，故这组数的第个数的分母为， 这组数的第个数为， 故选：D． 2．B 【详解】解：观察题中2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 是从2开始的连续偶数， 观察题中2，5，8，11，14，17，20，23，26，…． 是从2开始依次增加3的数列， 所以它们第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第4个相同的数是， 所以第2025个相同的数是：， 故选：B． 3．B 【详解】解：∵这列数为4，， ∴对于相邻三个数，有， ∵ ∴， 即， ∴． ∵相邻三个数，有， ∴， ∴． 故选：B． 4．C 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，，原说法正确，符合题意； ， ∴ ，原说法错误，不符合题意； ∵前项和，由递推得， ∴，原说法正确，符合题意； 设，其中为系数，为常数项， 由，，，，，，， ∴为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，， 为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，， ∵， ∴中，的系数为偶数，常数项为奇数，原说法正确，符合题意； 综上，正确，共个， 故选：． 5．D 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 6．C 【详解】解：由图①可知，三角形数的第个图中点的个数为：， 由图②可知，正方形数的第个图中点的个数为：， A、由无整数解， ∴不是正方形数，故选项不符合题意； B、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； C、由， ∴， ∴是三角形数， 又∵， ∴是正方形数，故选项符合题意； D、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； 故选：C． 7．A 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故选A． 8．A 【详解】解：这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，． ∴ ， 从而； 故选：A． 9．2025 【详解】解：由题意可知： 第1行第1列的数是1，， 第2行第2列的数是5，， 第3行第3列的数是13，， 第4行第4列的数是25，， …， 第32行第32列的数是， 即第32行最右边的数是1985， 第32行第12列需要从右向左移动20个数，， 所以第32行第12列的数是， 故答案为：2025． 10． 【详解】解：，，，， 奇数项为正，偶数项为负，各项系数依次增加1，字母指数依次增加1， ∴， 故答案为： ． 11． 【详解】解：由题意得， ， ， ，……， 可得这列数每个数为一个周期循环， ， ． 12． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵，，且， ∴， ∴，，，，，，即，，，，，． ①当时， ∵， ∴，此时，与题意不符，故舍去； ②当时， ∵， ∴， 当时，，，此时； 当时，，，不符题意，舍去； ③当时， ∵， ∴， 当时，，，不符题意，舍去； 当时，，，与矛盾，不符题意，舍去； 当时，，，不符题意，舍去； ④当时， ∵， ∴， 当时，，，不符题意，舍去； 当时，，，此时； ⑤当时， ∵， ∴， 当时，，，不符题意，舍去； 当时，，，不符题意，舍去； ⑥当时， ∵， ∴， 当时，，，不符题意，舍去； 当时，，，此时； ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 13． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是，且排完个数后，从第1行第列开始排列这个数， ∴第行，第列的数是， ∴2026为第1行，第46列的第一个数， ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 14． 4 【详解】解：（1）按照题目规则写出数列找循环：前两个数是，，从第三个数起依次计算：，个位是，即第三个数是；，个位是，即第四个数是；，个位是，即第五个数是；，个位是，即第六个数是；，个位是，即第七个数是；，个位是，即第八个数是；，个位是，即第九个数是，开始重复前面第三个数的结果；因此，去掉前个不参与循环的数，循环节为，长度为。计算：，，没有余数，因此第个数对应循环节的最后一个数，即； （2）观察数列规律：第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，以此类推，第个数为． 15． 【详解】解：观察发现：第1个数字为， 第2个数字为， 第3个数字为， 第4个数字为， 归纳类推得：第个数字为，其中为正整数， 所以第2025个数字是， 故答案为：． 16． 【详解】解：第1个数为1， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为， ∴第8个数为， 故答案为：． 17．50 【详解】解： 故前后两个数的差值为从3开始的连续的奇数， 所以第七个数是； 故答案为：50． 18．(1)； (2)1027； (3) 【详解】（1）解：由题意知，， ， ， ， ， ， …， ∴可推导一般性规律为：第n个数为， ∴第10个数是， 故答案为：1024，； （2）解：由题意知，，，，，，…， ∴第①行中每个数字加3，可得第②行的对应位置的数字； ∴第②行的第10个数是，第②行的第n个数是， 故答案为：1027，； （3）解：①和③中，， ， ， ， ， …， ∴第①行中每个数字除以2，可得第③行的对应位置的数字， ∴第①行的第9个数字为，则第②行的第9个数字为，第③行第9个数字为， ∴三个数的和为： ． 19．(1)在A处的数是正数 (2)负数排在B和D的位置 (3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置 【详解】（1）解：根据题意，数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，A在向上的的箭头所指的位置上，故为正数， 故A表示的数是正数． （2）解：根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数， 故负数排在B和D的位置． （3）解：根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；且序号是奇数时，其对应位置上的数一定是负数，且数值等于序号，由2025是奇数，故第2025个数一定是负数，且为，当时， 解得；当时，解得，不是整数， 故第2025个数一定是上方负数，故一定排在B的位置． 20．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵是从1开始的个连续奇数， ∴. （2）解：∵是从1开始的个连续奇数， ∴. （3）解：∵，， ∴. 题型二　图形计数规律（图案中的元素个数） 1．A 【详解】解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 2．A 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 3．B 【详解】解：第1个图案：， 第2个图案：， 第3个图案：， ……， 第个图案基础图形个数的表达式：， 当时，， 故选：B． 4．B 【详解】解：观察可知，第1个图形中有白色地砖6块，后一个图形中白色地砖的数量比前一个图形中的白色地砖多4块， ∴第个图形中有白色地砖（块）， ∴第6个图案中有白色地砖块； 故选B． 5．B 【详解】解：第1个图中“H”的个数为； 第2个图中“H”的个数为； 第3个图中“H”的个数为， ∴第n个图中“H”的个数为， ∴第2022个图中“H”的个数为． 故选：B． 6．C 【详解】第1个图案基础图形的个数为， 第2个图案基础图形的个数为， 第3个图案基础图形的个数为， ， ∴第个图案基础图形的个数为． 7．D 【详解】解：∵第①个图案中棋子的个数为1， 第②个图案中棋子的个数， 第③个图案中棋子的个数， 第④个图案中棋子的个数， …， ∴第n个图案中棋子的个数为， ∴第7个图案中棋子的颗数为． 故选D． 8．B 【详解】解：由图可知：第个图案中有白色地砖块， 第个图案中有白色地砖块， 第个图案中有白色地砖块， ∴第个图案中有白色地砖块， 故选：B． 9．D 【详解】解：第一个图形有个围棋， 第二个图形有个围棋， 第三个图形有个围棋， 第四个图形有个围棋， …… 第n个图形有个围棋， ∴第个图形中围棋的个数为： （个）． 故选：D． 10．D 【详解】解：根据题意得： 第一个饰品有颗珠子， 第2个饰品有颗珠子， 第3个饰品有颗珠子， ……， 由此发现，第n个饰品有颗珠子． 故选：D 11．C 【详解】解：第一个图案中，棋子总数是； 第二个图案中，棋子总数为； 第三个图案中，棋子总数为； …… 第个图案中，棋子总数有； 所以当时，棋子总数为：（个）， 即摆第11个图形需要个棋子． 故选：C． 12．B 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中圆的个数为； 第2个图形中圆的个数为； 第3个图形中圆的个数为； …， ∴第n个图形中圆的个数为． 故选：B． 13．C 【详解】解：第1个图形需要个围棋子， 第2个图形需要个围棋子， 第3个图形需要个围棋子， … ∴第n个图形需要个围棋子， 故选C． 14．A 【详解】解：第①个图形一共有1×2个笑脸， 第②个图形一共有：1×2+3×2=8个笑脸， 第③个图形一共有1×2+3×2+5×2=18个笑脸， …… 第n个图形一共有： 1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n-1） =2[1+3+5+…+（2n-1）] =n[1+（2n-1）] =2n2， 则第⑧个图形一共有： 2×82=128个笑脸； 故选A． 15．C 【详解】解：第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， ， 第个图形的小共有个． 16． 【详解】解：第1个图案有5个涂色的小正方形， 第2个图案有个涂色的小正方形， 第3个图案有个涂色的小正方形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个涂色的小正方形， 故答案为：． 17．52 【详解】解：在图①中，圆点个数为个． 在图②中，圆点个数为个． 在图③中，圆点个数为个． 在图④中，圆点个数为个． 在图⑤中，圆点个数为个． 在图⑥中，圆点个数为个． 故答案为：52． 18． 【详解】∵第一个图形中圆的个数， 第二个图形中圆的个数， 第三个图形中圆的个数， 第四个图形中圆的个数， 第个图形中圆的个数为， 故答案为：． 19．34 【详解】解：第①个图案有6块白砖， 第②个图案有10块白砖， 第③个图案有14块白砖， …… 第n个图案有块白砖， 因此第⑧幅图中白砖的个数为:（块）． 故答案为：34． 20．(1) (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图案中有颗棋子， 第3个图案中有颗棋子， 第4个图案中有颗棋子， …， ∴第6个图案中有颗棋子， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第个图案中棋子的数量为， ∴用含的代数式表示第个图案中棋子的数量为； （3）解：当时，，当时，， ∴， 答：摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子． 题型三　图形分割与火柴棒规律（剪开、拼摆与分子结构） 1．C 【详解】解：第①个结构模型中有（个）氢原子； 第②个结构模型中有（个）氢原子； 第③个结构模型中有（个）氢原子； 第④个结构模型中有（个）氢原子， 第100种化合物的结构模型中有（个）氢原子． 故选：C． 2．B 【详解】解：第1个结构式中有1个C和个H， 第2个结构式中有2个C和个H， 第3个结构式中有3个C和个H， ……， 以此类推，第n个结构式中有n个C和个H， ∴第19个结构式中有19个C和个H， 故选：B． 3．A 【详解】解：第1个图形中，每条边上有2个点，共有个点， 第2个图形中，每条边上3个点，共有个点， …， ∴， 当时，这个图形总的点数为． 故选：A． 4．D 【详解】解：由所给图形可知， 摆第1个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第2个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第3个图案需用的火柴棒的根数为：； …， 所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为根． 当时， (根)． 故选：D． 5．C 【详解】解：∵第1个图形需要黑色棋子的个数是2×3-3=3， 第2个图形需要黑色棋子的个数是3×4-4=8， 第3个图形需要黑色棋子的个数是4×5-5=15， … ∴第5个图形需要黑色棋子的个数是． 故选：C． 6．28 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图中正方形的总个数为：； 第2个图中正方形的总个数为：； 第3个图中正方形的总个数为：； 第4个图中正方形的总个数为：； ， ∴第个图中正方形的总个数为个， 当时，（个）， 即第10个图中正方形的总个数为28个． 故答案为：28． 7．/ 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多2块； 第2个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多3块； 第3个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多4块； 发现规律， 第n个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多块； 故答案为：． 8．204 【详解】解：当时，有6个三角形 当时，有个三角形 当时，有个 规律为个 当时，有个 故答案为：204 9． 【详解】解：由题图可得， 第一个甲烷分子结构式中“C”的个数是1，“H”的个数是； 第二个乙烷分子结构式中“C”的个数是2，“H”的个数是； 第三个丙烷分子结构式中“C”的个数是3，“H”的个数是； …， 第n个分子结构式中“C”的个数是n，“H”的个数是； ∴第6个己烷分子结构式中“C”的个数是6，“H”的个数是， ∴己烷的化学式为． 故答案为：． 10． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为． 故答案为： ． 11． 13 【详解】解：图①中共有个等边三角形， 图②中共有个等边三角形， 图③中共有个等边三角形， 故图⑤中共有个等边三角形， 图n中共有个等边三角形． 故答案为：13，． 12．/ 【详解】解：第1个图形需要木棒根数是， 第2个图形需要木棒根数是， 第3个图形需要木棒根数是， 由此发现规律，第个图形需要木棒根数是根， 故答案为：． 13．(1)12 (2)24 (3) 【详解】（1）解：3张桌子拼在一起可坐10人， 4张桌子拼在一起比3张时多坐2人，故可坐12人， 故答案为：12； （2）解：10张桌子拼在一起，左右两边共可坐4人，上下可坐（人）， 故共可坐24人， 故答案为：24； （3）解：从图片中可以看出，左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍， 故n张桌子拼在一起时，可坐人， 故答案为：． 14．(1)10；13；19 (2) (3)共有6064根火柴 【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； …… ∴第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：10；13；19； （2）解：由（1）可得第n个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴 题型四　运算程序与周期循环规律 1．A 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 2．A 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 3．C 【详解】解：给出示例的运算规律可知，密码共有6位， 前两位为：， 中间两位为：， 后两位为：， ∴密码为722427， 故选：C． 4．C 【详解】解：当输入的值为时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 输出的结果以，，这三个数进行循环， 第次输出的结果为． 5．C 【详解】解：第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， ……， 以此类推，可知输出的结果每4次为一个循环，依次为， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 6．B 【详解】解：根据题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴格子中的数字为：、3、、、3、 ∴格子中的数为3个数一个循环， ∴， ∴第2025个格子中的数为：． 故选：B． 7． 【详解】解：第一次： 写下一个四位数1752， 重新排列各位数字，使其组成一个最大的数7521和一个最小的数1257， 然后用最大的数减去最小的数得到差，即； 第二次： 写下一个四位数6264， 重新排列各位数字，使其组成一个最大的数6642和一个最小的数2466， 然后用最大的数减去最小的数得到差，即； 第三次： 写下一个四位数4176， 重新排列各位数字，使其组成一个最大的数7641和一个最小的数1467， 然后用最大的数减去最小的数得到差，即； 第四次： 写下一个四位数6174， 重新排列各位数字，使其组成一个最大的数7641和一个最小的数1467， 然后用最大的数减去最小的数得到差，即； …… 从第三次开始，差均为6174． 8． 【详解】解：第一次输入计算，已知开始输入， ∵2是偶数，根据运算程序，当为偶数时，输出， ∴第一次输出的结果为； 第二次输入计算，将第一次输出的结果1再次输入， ∵1是奇数，根据运算程序，当为奇数时，输出， ∴第二次输出的结果为； 第三次输入计算，将第二次输出的结果输入， ∵是偶数， ∴第三次输出的结果为； 第四次输入计算，将第三次输出的结果输入， ∵是奇数， ∴第四次输出的结果为； 第五次输入计算，将第四次输出的结果输入， ∵是偶数， ∴第五次输出的结果为， 发现规律，从第二次输出开始，结果按照，，循环出现； ∴第6次输出结果为； 计算第次输出结果， ∵， ∴第次输出的结果是循环节，，的最后一个，即． 故答案为：，． 9．2 【详解】解：若输入的数为5， 第1次输出， 第2次输出， 第3次输出， 第4次输出， 第5次输出， 第6次输出， …， 故从第3次输出开始，三个一循环， 所以2023次输出的数为2； 故答案为：2． 题型五　观察等式与裂项求和 1．C 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 2． 【详解】解：根据题中规律可得：， 故答案为：． 3．（1）1；3；；（2）；（3）；（4）1275 ；（5）2360 【详解】解：（1）从图①中可以得到：，因此图①中共有 1 个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有 3 个黑色小正方形； 从图③中可以得到：，因此图③中共有 6 个黑色小正方形； 故答案为：1；3；； （2）由（1）可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，； （5）解： ． 4．(1) (2) 【详解】（1）解：按照上述规律，第4个等式是， 故答案为：； （2）解：按照上述规律，，， 那么． 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ⋯ ∴， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； ； ； …， 则第n个等式可表示为：， 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ． 7．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， ， 当时， ． 故答案为：． 8．(1)，； (2)； (3)． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 9．(1) ； (2)． 【详解】（1）解：略． （2）解： ． 题型六　新定义运算与日历规律（实际应用） 1．C 【详解】解： … ，，， 故选：C． 2．B 【详解】解：由题意可得： ，， 故选：B 3．（1），；（2），，，，0； （3），理由如下： 解：设，则，，， ． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）解：设，则，，， ； 故答案为：，，，，0； （3） 略 4．(1)结果为正，并把两数的绝对值相加；结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；得这个数 (2)①43；② (3)2 【详解】（1）解：两数进行运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：① ； ② ． （3）解：∵， ∴a与同号，即， ． ∵， ∴b与1异号，即， ． ∴． 5．(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)有 (3) (4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2000， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2000； 5个数之和能等于2055， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423． 6．（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+∁nk+1＝Cn+1k+1；（3）165 【详解】解：（1）根据公式＝＝56， 答：共有56种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵+＝3+1＝4=， +＝10+5=15=， ∴+=，      故答案为3；1；4；10；5；15； （3）++++…+， ＝+++…+， ＝++…+， ＝， ＝， ＝165． 7．(1)824 (2)①； ②解： ， ∵是整数， ∴能被9整除， 即能被9整除． 【详解】（1）解：根据题意得：428的反转数是； （2）解：①略 ②略 学科网（北京）股份有限公司 $