3.3探索与表达规律（分层作业，6大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 3.3 探索与表达规律 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 数与式的变化规律 题型02 周期规律探究 题型03 用代数式表示规律 题型04 图形的变化规律 B组 能力进阶 题型 图形规律的操作与计算 C组 思维拔高 题型 运算规律探究（新定义与程序） 数与式的变化规律题型01 1．（25-26七年级上·贵州·期末）我国传统文化博大精深，计算机使用的“二进制数”就可以用我国古老的八卦符号进行表示，如表展示了八卦符号及其表示的二进制数，根据对应规律，第五个八卦符号表示的二进制数为（   ） 符号 表示的二进制数 000 001 011 111 A．10 B．100 C．1000 D．10000 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个，2次分裂成4个，若每次分裂经过的时间为15分钟，则经过小时该细胞的分裂的个数为64，则（   ） A．90 B．1 C． D．2 3．（25-26七年级·宁夏银川·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中“杨辉三角”就是一例（如图）．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律．例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1．根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．16 4．（25-26七年级上·浙江·期末）已知整数满足下列条件：，（为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．给出两列数：1，3，5，7，9，…，2001和1，6，11，16，…，2001同时出现在这两列数中的数的个数为（    ） A．199 B．200 C．201 D．202 6．（25-26下·黑龙江绥化·期中）找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 7．按规律排列的一列数：1，－2，4，－8，16…中，第8个数为______. 8．（24-25上·山东泰安·期末）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 … 则数字在第______行． 周期规律探究题型02 1．如图,物体从A点出发,按照A→B(第一步)→C(第二步)→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动,则第2019步到达 (　　) A．C B．G C．F D．D 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 3．（25-26七年级·期中）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xₙ（n为正整数）表示第 n秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论： ；②；③；④；⑤，其中错误的是（　　） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③④ 4．北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融受到全世界人的关注．这个吉祥物上的数学来了：冰墩墩、雪容融冰墩墩、雪容融……，按照这样的文字排列规律，第101个字是_______． 5．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________． 6．“指间数数”是一个很有趣的游戏，如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式），从标记字母A开始数连续的正整数（即）．当数到正整数2024时，对应的字母是______；当字母C第2024次出现时，恰好数到的数是______． 7．如图，一张圆桌的周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球： ①若前一个箱子丢红球，则经过的箱子就丢绿球； ②若前一个箱子丢绿球，则经过的箱子就丢白球； ③若前一个箱子丢白球，则经过的箱子就丢红球． 如果他沿着圆桌走了100圈，那么4号箱内红球共有多少颗？说说你是如何思考的． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 用代数式表示规律题型03 1．有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 2．有一组按规律排列的单项式：，，，，…．第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1  1  2  3  5  8  13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 4．已知，计算 ， ， ． （1）观察以上各式并猜想：______．（为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①______． ②______（为正整数）． 5．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … b … (1)【初步感知】根据表中信息可知：a＝____；b＝____； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：_____； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为． 7．（2025·安徽宣城·模拟）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 8．，，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 图形的变化规律题型04 1．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）    A．32 B．34 C．37 D．41 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 3．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7，……，照此规律，八层二叉树的结点总数为 (　　) A．126 B．255 C．127 D．256 4．（25-26七年级上·期末）用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆1025个六边形的图形需要__________根火柴． 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，把一些完全相同的杯子摞起来．已知3个杯子摞起来的总高度是，5个杯子摞起来的总高度是，……，按照这样的规律，将个杯子摞起来的总高度是_______________．（用含的代数式表示） 6．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.    （1）按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 … （2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒； （3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数. 7．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 探索规律： 观察下列图形，第1个图形有1个三角形，第2个有5个，第3个有17个，……（图示：第n个图形由n层小三角形组成，呈等边三角形排列） (1)第4个图形有______个三角形； (2)第n个图形有______个三角形（用含n的式子表示）； (3)是否存在某个图形恰好有100个三角形？若存在，求出是第几个；若不存在，说明理由． 图形规律的操作与计算题型 1．如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…．根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成（　　）个角． A．28 B．36 C．45 D．55 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·月考）如图，在的方格表中，以格点为顶点的格点四边形中，边与格线平行的长方形有（    ）个 A．152 B．139 C．126 D．以上均不对 4．（24-25七年级上·广东深圳·质检）如图所示，以三角形纸片内部的点与三角形的3个顶点为顶点剪三角形．观察图中规律，当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，可最多剪出_______个三角形． 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到___________条折痕．（用含的代数式表示）． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）观察图中每个“品”字排列的三个方格中的数字之间的规律，写出的值为______．    7．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）平面上1个圆能把平面分成2个部分；平面上2个圆最多能把平面分成4个部分；平面上3个圆最多能把平面分成 _____个部分；依次类推，一般地，n个圆最多能把平面分成 ______个部分． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 运算规律探究（新定义与程序）题型 1．（24-25七年级下·河南项城·期末）在《设计自己的运算程序》综合与实践课上，乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三个数位上数字均不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复以上过程……从579开始，按照此程序运算2025次后得到的数是（   ） A．396 B．594 C．495 D．369 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为14，则第2023次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26·山东威海·质检）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“？”，小明马上就明白了意思是：“？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回复字条：“．”，内容是_____． A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 4．如图所示是一个“数值转换机”，若开始输入的值是8，则第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，第次输出的结果是______． 5．（24-25七年级上·广东深圳·月考）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数． 例如：，，． 现在有一列非负数，已知，当时，，则的值为 ______________． 6．（24-25七年级上·河北衡水·期中）定义一种新运算：观察下列式子： (1)请你想一想： (2)若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) (3)求的值 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 探索与表达规律 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 数与式的变化规律 题型02 周期规律探究 题型03 用代数式表示规律 题型04 图形的变化规律 B组 能力进阶 题型 图形规律的操作与计算 C组 思维拔高 题型 运算规律探究（新定义与程序） 数与式的变化规律题型01 1．（25-26七年级上·贵州·期末）我国传统文化博大精深，计算机使用的“二进制数”就可以用我国古老的八卦符号进行表示，如表展示了八卦符号及其表示的二进制数，根据对应规律，第五个八卦符号表示的二进制数为（   ） 符号 表示的二进制数 000 001 011 111 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】B 【分析】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，得出两短线段表示0，一长线段表示1是解题的关键． 【详解】解：由表格可知：两短线段表示0，一长线段表示1； 故表示的二进制数是100． 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个，2次分裂成4个，若每次分裂经过的时间为15分钟，则经过小时该细胞的分裂的个数为64，则（   ） A．90 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得n次分裂成个，从而得到经过小时该细胞分裂6次，即可求解． 【详解】解：∵细胞经过1次分裂便由1个分裂成个，2次分裂成个， ∴n次分裂成个， ∵经过小时该细胞的分裂的个数为64，， ∴经过小时该细胞分裂6次， ∴小时． 故选：C 3．（25-26七年级·宁夏银川·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中“杨辉三角”就是一例（如图）．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律．例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1．根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据规律写出第6行的数，进而得到的展开形式． 【详解】解：根据题意得： 展开式中各项系数为：1，4，6，4，1， 展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1， 展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，其中位于第三项， ∴含有这一项的系数为． 4．（25-26七年级上·浙江·期末）已知整数满足下列条件：，（为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，通过计算序列的前几项，发现规律：当n为偶数时，；当n为奇数时，，而2025为奇数，代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ……， 以此类推可知当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025为奇数， ∴ ． 故选：C． 5．给出两列数：1，3，5，7，9，…，2001和1，6，11，16，…，2001同时出现在这两列数中的数的个数为（    ） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】根据第一列数是从1开始每相邻的两个数相差2；第二列数是从1开始每相邻的两个数相差5．所以同时出现在两个数列中的数应是从1开始每相差为10的，即1，11，21，31，41，…，1991，2001，进一步即得答案． 【详解】解：同时出现在两个数列中的数应是从1开始每相差为10的，即1，11，21，31，41，…，1991，2001，共（2001﹣1）÷10+1＝201个． 故选：C． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是确定同时出现在两个数列中的数应是从1开始每相差为10的，发现规律是关键． 6．（25-26下·黑龙江绥化·期中）找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 【答案】 41 66 【分析】先计算已知相邻两数的差，找出差的变化规律，再根据规律计算要填的数． 【详解】解：计算相邻两数的差：，，， 可得规律：相邻两个数的差依次增加， 因此第一个括号中的数为， 验证可得，符合已知数列， 因此第二个括号中的数为． 7．按规律排列的一列数：1，－2，4，－8，16…中，第8个数为______. 【答案】-128 【分析】根据所给数据可以改写为以2为底的自然数次幂排列，且偶数位置的符号为负，第n个数为，代入n=8即可. 【详解】所给数据可以写为，，，，……，所以第8个为 . 故答案为. 【点睛】本题考查数字的变化规律探索，此类问题关键是从数据中找到一般规律，然后根据规律推出待求数据. 8．（24-25上·山东泰安·期末）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 … 则数字在第______行． 【答案】45 【分析】本题属于探究规律类题目，解答本题需掌握题目中数的排列规律，考虑从最大数与行数入手. 分析可得各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方，接下来求得，再结合结论即可得到答案. 【详解】解：观察可知：各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方. ∵ 所以是第45行的数. 故答案为：45 周期规律探究题型02 1．如图,物体从A点出发,按照A→B(第一步)→C(第二步)→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动,则第2019步到达 (　　) A．C B．G C．F D．D 【答案】D 【分析】根据物体的运动规律可知：每8步一个循环，结合2019=8×252+3可知第2019步和第3步到达同一点，进而即可得出结论． 【详解】根据物体的运动规律可知,每8步一个循环,又2019=8×252+3, ∴第2019步到达D点. 故选D. 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据物体的运动规律找出每8步一个循环是解题的关键． 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】D 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据题意得出规律：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位，从而通过计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位． ， ∴2025应在D位， 故选：D． 3．（25-26七年级·期中）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xₙ（n为正整数）表示第 n秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论： ；②；③；④；⑤，其中错误的是（　　） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字规律，数轴，找到规律是解题的关键． 根据该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步，得出，按照此规律逐项进行判断即可． 【详解】解：因为该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步． 所以 故①错误，②正确； 因为，所以第80秒是第20个运动周期的最后一步，为后退1步，即，因此．故③错误； 令，解得．所以．从101秒到104秒，该机器人先前进3步，再后退1步，所以，即．故④正确；同理，得．所以 故⑤正确． 综上，错误的是①③． 故选：C． 4．北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融受到全世界人的关注．这个吉祥物上的数学来了：冰墩墩、雪容融冰墩墩、雪容融……，按照这样的文字排列规律，第101个字是_______． 【答案】容 【分析】本题主要考查了简单的周期排列，找出周期是解题的关键．根据题意得出“冰墩墩、雪容融”为一个周期进行排列，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得出“冰墩墩、雪容融”为一个周期进行排列， ， 故第五个字是容， 故答案为：容． 5．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________． 【答案】7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】解：，，，，，…， 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：7． 6．“指间数数”是一个很有趣的游戏，如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式），从标记字母A开始数连续的正整数（即）．当数到正整数2024时，对应的字母是______；当字母C第2024次出现时，恰好数到的数是______． 【答案】 B 【分析】本题考查了循环性规律的探索与应用，观察已知找到循环规律是解题的关键．观察可知：，6个字母循环出现，用2024除以6，余数是几就是第几个，整除是第6个，即可进行判断；再把分为前后两组各3个，C分别出现一次，当次数为奇数时，对应的数是乘以次数，当次数为偶数时，对应的数是乘以次数再减去1，当字母C第2024次出现时，用出现的次数乘以3再减1即可． 【详解】解：观察可知：，6个字母循环出现， 当数到2024时，对应的字母是B； 当字母C第2024次出现时，C应在一组内，， 字母C第2024次出现时，恰好数到的数是． 故答案为：B，． 7．如图，一张圆桌的周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球： ①若前一个箱子丢红球，则经过的箱子就丢绿球； ②若前一个箱子丢绿球，则经过的箱子就丢白球； ③若前一个箱子丢白球，则经过的箱子就丢红球． 如果他沿着圆桌走了100圈，那么4号箱内红球共有多少颗？说说你是如何思考的． 【答案】走100圈，4号箱内会有34颗红球． 【分析】本题考查找规律，解题的关键是能够找出题目的中的规律．根据图形的变化规律得第圈会在4号箱内丢一颗红球，即可求出结果． 【详解】解：第一圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内， 第二圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内， 第三圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内， 第四圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内， … 第1、4、7、10…圈会在4号箱内丢一颗红球， ， ∴走100圈，4号箱内会有34颗红球． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）通过观察长方形内点的个数与分割出的三角形个数之间的数量关系，找到规律，并代入具体数值求解． （2）类比第（1）题的思路，观察化合物分子结构模型中碳原子个数与氢原子个数的变化规律，建立数学模型求解． （3）首先计算得出的个位数字，发现周期性变化规律，进而确定的个位数字． 【详解】（1）解：按照小天发现的规律，点的个数每增加1，三角形的个数增加2． 设长方形内点的个数为n，三角形的个数为y． 当时，； 当时，； 当时，； ∴． ∴当时，三角形的个数为：． 故答案为：，． （2）解：由前6种化合物的分子结构模型图可得： 碳原子的个数 1 2 3 4 5 6 氢原子的个数 4 6 8 10 12 14 发现碳原子的个数增加1，氢原子的个数增加2， 设化合物的序号（即碳原子个数）为n，氢原子个数为m． 规律为：． 当时，氢原子的个数为：． ∴第60种化合物的分子结构模型中有122个氢原子． （3）解：先计算的个位数字： 时，，个位是3； 时，，个位是9； 时，，个位是7； 时，，个位是1； 时，，个位是3； 可以看出，的个位数字按照3，9，7，1的顺序循环出现，周期为4． 计算指数2025除以周期4的余数：1，所以的个位数字与的个位 数字相同，即为3． 所以，的个位数字是2． 用代数式表示规律题型03 1．有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 【详解】第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 2．有一组按规律排列的单项式：，，，，…．第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要先分析这组单项式的系数和次数的规律，然后根据规律得出第个单项式的表达式，最后将代入表达式求出第个单项式． 【详解】由题意，得第个单项式的分子为，分母为， ∴第2025个单项式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式的规律探索，掌握通过分析单项式的次数、系数等部分的规律，进而得出第个单项式表达式的方法是解题的关键． 3．生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1  1  2  3  5  8  13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】## 【分析】观察可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，进而可得答案． 【详解】解：观察数列：1  1  2  3  5  8  13……， 可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和， 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是． 4．已知，计算 ， ， ． （1）观察以上各式并猜想：______．（为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①______． ②______（为正整数）． 【答案】 ## ## 【分析】此题考查了整式的混合运算及数字变化类问题． （1）观察可得； （2）①利用猜想的结论得到；②先变形，然后利用上述结论写出结果． 【详解】解：（1）由题意可得：； 故答案为：； （2）①由题意可得：， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 5．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … b … (1)【初步感知】根据表中信息可知：a＝____；b＝____； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：_____； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1， (2)x的值每增加1，的值都增加2 (3) 【分析】 （1）分别将代入两个代数式．计算可得结论； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）按要求使x的系数为，常数项为﹣7即可． 【详解】（1） 解：，由题意得：， ． 故答案为：1；； （2） 观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，的值都增加2， 故答案为：x的值每增加1，的值都增加2． （3） ∵x的值每增加1，代数式的值就都减小5， ∴x的系数为． ∵当时，代数式的值为， ∴代数式的常数项为． ∴这个含x的代数式是：． 【点睛】 本题考查了求代数式的值，数字类规律探究．发现规律是解题的关键． 7．（2025·安徽宣城·模拟）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 8．，，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字类规律探究： （1）根据题干给定的式子，得到相应的规律，作答即可； （2）利用（1）中规律，裂项相加即可； （3）原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 图形的变化规律题型04 1．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）    A．32 B．34 C．37 D．41 【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象规律探索，理解序号与数量的关系是解题的关键．根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【详解】解：第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故选：D． 3．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7，……，照此规律，八层二叉树的结点总数为 (　　) A．126 B．255 C．127 D．256 【答案】B 【分析】结合图形，知一层二叉树的结点总数为1，即2-1；二层二叉树的结点总数为3，即22-1；三层二叉树的结点总数为7，即23-1；依此类推，即可求解． 【详解】解：根据所给的二叉树的结点总数的规律，得 一层二叉树的结点总数为1，即2-1； 二层二叉树的结点总数为3，即22-1； 三层二叉树的结点总数为7，即23-1； … ∴n层二叉树的结点总数为2n-1 ∴八层二叉树的结点总数为28-1=256-1=255． 故选：B． 【点睛】此题考查数字的变化规律，要能够结合图形，发现二叉树的结点总数的规律：n层二叉树节点总数是2n-1． 4．（25-26七年级上·期末）用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆1025个六边形的图形需要__________根火柴． 【答案】5126 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知每多一个六边形，则多5根火柴，据此规律求解即可． 【详解】解：摆1个六边形的图形需要根火柴， 摆2个六边形的图形需要根火柴， 摆3个六边形的图形需要根火柴， ……， 以此类推可知，摆n个六边形的图形需要根火柴， ∴摆1025个六边形的图形需要根火柴， 故答案为：5126． 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，把一些完全相同的杯子摞起来．已知3个杯子摞起来的总高度是，5个杯子摞起来的总高度是，……，按照这样的规律，将个杯子摞起来的总高度是_______________．（用含的代数式表示） 【答案】## 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是理解题意；由题意易得每增加一个杯子，高度增加，然后可得一个杯子的高度为，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：每增加一个杯子，高度增加， ∵3个杯子摞起来的总高度是， ∴一个杯子的高度为， ∴将个杯子摞起来的总高度为； 故答案为． 6．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.    （1）按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 … （2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒； （3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数. 【答案】（1）16，23；（2）；（3） 【分析】（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据； （2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案； （3）根据（2）的代数式即可求得时的小木棒的数量． 【详解】（1）第一个图形中小木棒的根数为9； 第二个图形中小木棒的根数为9+7=16； 第三个图形中小木棒的根数为16+7=23； 填表如下： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 16 23 … 故答案为：16，23； （2）根据（1）的规律： 可以发现第几个图形中小木棒的根数为：； 故答案为：； （3）当，需要的小木棒的根数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键． 7．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)22；14 (2)； (3)选择第一种方式； 理由如下： 第一种方式：50张桌子一共可以坐（人）； 第二种方式：50张桌子一共可以坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌子可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌子可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐（人）， 第二种摆放方式能坐（人）； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即． （3）略 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 探索规律： 观察下列图形，第1个图形有1个三角形，第2个有5个，第3个有17个，……（图示：第n个图形由n层小三角形组成，呈等边三角形排列） (1)第4个图形有______个三角形； (2)第n个图形有______个三角形（用含n的式子表示）； (3)是否存在某个图形恰好有100个三角形？若存在，求出是第几个；若不存在，说明理由． 【答案】(1)53 (2) (3) 不存在，理由如下： 由（2）得，第5个图形中有个三角形， ∵， ∴不存在恰好有100个三角形的图形． 【分析】（1）观察给出的图形可知，每个图形增加的三角形数量是前一个图形新增三角形数量的3倍； （2）由（1）中找到的规律整理可得； （3）计算出第5个图形中的三角形数量后进行比较即可； 本题主要考查了图形类规律探索，含乘方的有理数混合运算和用代数式表示数、图形的规律，找出每增加一个图形，新增三角形数量的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形得： 第1个图形有1个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， 第4个图形中有个三角形， 故答案为：53； （2）以此类推：第n个图形中有个三角形， ， ， 则 故答案为：； （3）略 图形规律的操作与计算题型 1．如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…．根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成（　　）个角． A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，角的概念，根据题意找出规律是解题的关键．若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是：，代入计算即可． 【详解】解：当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角； 当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角； 当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…． 根据以上规律，当过O点画不重合的n条射线时组成的角的个数是：， 故当n=10时，； 故选C． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江温州·月考）如图，在的方格表中，以格点为顶点的格点四边形中，边与格线平行的长方形有（    ）个 A．152 B．139 C．126 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了方格表中格点长方形个数的计算（适合初一新生），解题的关键是按长方形“占的行数（高度）”和“占的列数（宽度）”分类统计，明确“1种高度选法+1种宽度选法=1个长方形”，再用乘法求总数． 先看方格表：方格表有4条水平格线（上下边需从这4条中选2条）、7条竖直格线（左右边需从这7条中选2条）；按“高度”分：占1行、2行、3行，分别数水平选法；按“宽度”分：占1列、2列…6列，分别数竖直选法；最后用“水平选法总数竖直选法总数”得长方形总数． 【详解】解：方格表有4条水平格线（记为横线）、7条竖直格线（记为竖线），长方形由“2条横线条竖线”组成，分两步计数： 第一步：数选2条横线的方法（对应长方形高度）： 占1行（相邻横线）：横线1&2、2&3、3&4，共3种； 占2行（隔1条横线）：横线1&3、2&4，共2种； 占3行（隔2条横线）：横线1&4，共1种； ∴选横线总方法：； 第二步：数选2条竖线的方法（对应长方形宽度）： 占1列（相邻竖线）：竖线1&2、2&3…6&7，共6种； 占2列（隔1条竖线）：竖线1&3、2&4…5&7，共5种； 占3列：共4种； 占4列：共3种； 占5列：共2种； 占6列：共1种； ∴选竖线总方法：； ∴长方形总数：，对应选项C． 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东深圳·质检）如图所示，以三角形纸片内部的点与三角形的3个顶点为顶点剪三角形．观察图中规律，当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，可最多剪出_______个三角形． 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律题，根据所给图形依次求出三角形的个数，发现规律：当三角形内部由个点时，最多可剪出三角形个数为：个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当三角形内部由1个点时，最多可剪出三角形个数为：， 当三角形内部由2个点时，最多可剪出三角形个数为：， 当三角形内部由3个点时，最多可剪出三角形个数为：， …… ∴当三角形内部由个点时，最多可剪出三角形个数为：个， 当时，， 即当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，可最多剪出个三角形． 故答案为： 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到___________条折痕．（用含的代数式表示）． 【答案】## 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，得出第次对折，把纸分成部分，得到条折痕，即可求解． 【详解】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，得到1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，得到3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，得到7条折痕， 第4次对折，把纸分成16部分，得到15条折痕， …… 以此类推，第次对折，把纸分成部分，得到条折痕， 故答案为： 6．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）观察图中每个“品”字排列的三个方格中的数字之间的规律，写出的值为______．    【答案】47 【分析】此题考查了数字变化规律，由图可知，上面的数分别为，，，，，左下的数分别为，，，，，由上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数即可求解，通过表中的数找到它们之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵上面的数分别为，，，，； ∵左下的数分别为，，，，， ∵上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）平面上1个圆能把平面分成2个部分；平面上2个圆最多能把平面分成4个部分；平面上3个圆最多能把平面分成 _____个部分；依次类推，一般地，n个圆最多能把平面分成 ______个部分． 【答案】 8 【分析】此题考查的是图形类规律问题，根据规律总结公式是解决此题的关键． 根据题意，探索出圆的个数与分成的平面个数的关系，从而得出结论． 【详解】如图所示，3个圆最多能把平面分成8个部分； ∵新增的一个圆与个圆的每一个有2个交点 ∴共有个交点 ∵新增区域和交点的个数相同 ∴新增的圆分成部分 ∴n个圆最多分平面为： ． 故答案为：8，． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 运算规律探究（新定义与程序）题型 1．（24-25七年级下·河南项城·期末）在《设计自己的运算程序》综合与实践课上，乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三个数位上数字均不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复以上过程……从579开始，按照此程序运算2025次后得到的数是（   ） A．396 B．594 C．495 D．369 【答案】C 【分析】此题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是找出变化规律及对有理数的相应的运算法则的掌握 通过模拟每次运算过程，发现结果会进入固定值495，之后不再变化．因此无论运算次数多少，只要超过3次，结果均为495． 【详解】解：组成一个最大的数975和一个最小的数579， 用大数减去小数， 第一次：， 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 第六次：． …… 从第四次开始，每次运算结果与第3次的结果相同，均为495，不再改变． 由于，故运算2025次后结果为495， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为14，则第2023次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分别计算出前11次输出的结果可得从第4次输出开始，每6次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输出， 第2次输出， 第3次输出， 第4次输出， 第5次输出， 第6次输出， 第7次输出， 第8次输出， 第9次输出， 第10次输出， 第11次输出， ……， 以此类推，可知从第4次输出开始，每6次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第2023次输出的结果是， 故选：D． 3．（25-26·山东威海·质检）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“？”，小明马上就明白了意思是：“？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回复字条：“．”，内容是_____． A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 【答案】 【分析】本题考查规律探究，通过对比已知加密文本“？”和明文“？”，发现加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26则循环），解密则减2．对回复字条“”应用解密规则，得到字母序列“”，组合成短语“”． 【详解】解：观察可知：加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26则循环），解密则减2， 故对应序列为“”，组合为“”． 故答案为：． 4．如图所示是一个“数值转换机”，若开始输入的值是8，则第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，第次输出的结果是______． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的计算和数字的周期性规律，关键是根据数值转换机的规则，推导输出结果的循环规律，再利用周期计算第次的结果． 【详解】解：根据数值转换机的运算规则，依次计算输出结果： 第1次输入(偶数)，输出； 第2次输入(偶数)，输出； 第3次输入(偶数)，输出； 第4次输入(奇数)，输出； 第5次输入(偶数)，输出； 观察可知，输出结果以为周期循环，周期长度为3． ，即第次输出的结果是循环节的第1个数字，为4． 故答案为：4． 5．（24-25七年级上·广东深圳·月考）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数． 例如：，，． 现在有一列非负数，已知，当时，，则的值为 ______________． 【答案】13 【分析】此题考查了规律型—数字的变化类，解题的关键是理解取整符号的定义，找到规律．根据题意依次求出，，，，，，得出，，…的变化规律，再利用规律求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ．．．．．， ∴，，…的变化规律是以10，11，12，13，14这五个数依次循环， ∵， ∴， 故答案为：13． 6．（24-25七年级上·河北衡水·期中）定义一种新运算：观察下列式子： (1)请你想一想： (2)若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义； （1）根据题目中的式子，可以写出； （2）分别写出和，然后作差，即可得到它们的关系； （3）根据（1）中的结果，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $