3.2整式的加减常见的七种题型2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3.2整式的加减常见的七种题型 目　录 题型一　同类项的概念、识别与求值 题型二　合并同类项与整式的加减运算 题型三　整式的化简与求值 题型四　整体代入（整体思想）求值 题型五　无关型与“不含某项”问题 题型六　整式的加减综合应用（图形与实际问题） 题型七　数轴、绝对值与整式的化简 题型一　同类项的概念、识别与求值 【解题技巧】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项都是同类项。判断同类项只看字母与指数，与系数、字母的先后顺序无关。已知两个单项式的和（或差）仍是单项式，说明它们是同类项，据此列方程组求字母指数。注意：单项式的系数是数字因数（含符号），次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数，“几次几项式”按最高次数与项数判断。 1．下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．的次数是4 C．的系数是 D．和是同类项 2．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组式子中，不是同类项的是（    ） A．3a和﹣2a B．0.5mn与2mn C．2a2b与﹣4ba2 D．x2y3与﹣x3y2 4．下列判断中正确的是（    ） A．与不是同类项 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 5．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 6．下列说法中，不正确的个数有（   ） ①若，则； ②A，B，C，三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ④，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若单项式与的和是单项式，那么的值为_____． 8．若单项式与的差是，则____． 题型二　合并同类项与整式的加减运算 【解题技巧】合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“−”，去括号后各项都要变号；括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘进括号再合并。整式加减的一般步骤：先去掉括号，再合并同类项。判断运算正误时，逐项按法则核对系数、符号与指数。 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．合并同类项 (1) (2) 8．化简： (1)； (2)． 9．阅读下面材料，并完成相应学习任务，晓彬同学在计算时，写出如下计算步骤：    第一步    第二步    第三步    第四步 任务一： 以上步骤第一步是进行_____变形，此步骤的依据是_____（选A交换律或B分配律）． 任务二： ①以上步骤中第_____步出现了错误，正确的化简结果_____． ②计算：当，时，求该整式的值． 10．已知代数式，代数式，代数式． (1)求代数式； (2)当时，求代数式的值． 题型三　整式的化简与求值 【解题技巧】先化简，再求值：先把整式去括号、合并同类项化为最简形式，再代入字母的取值计算。若字母取值未直接给出，常需由条件先求出其值（如非负数的性质、同类项定义、最小的正整数 / 最大的负整数等）；代入负数或分数时注意加上括号，防止符号错误。 1．先化简，再求值：已知，且，求的值．其中，． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．（1）化简：； （2）化简求值：，其中． 4．按要求完成计算： (1)； (2)化简求值：，其中． 5．化简求值：，其中， 6．先化简，再求值：．其中是最小的正整数，是最大的负整数． 7．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，； (3)，其中，． 8．先化简，再求值：，其中a，b的取值使得与是同类项． 题型四　整体代入（整体思想）求值 【解题技巧】整体代入（整体思想）：把含字母的式子（如 x+2y、m−2n）看成一个整体，先将所求代数式用添括号、提取公因数、倍分变形等方式改写成含已知式的形式，再整体代入计算。例如：已知 x+2y=3，则 1−2x−4y=1−2(x+2y)=1−6=−5。 1．已知代数式x+2y的值是3，则1-2x-4y的值是（　　） A．-2 B．-4 C．-5 D．-6 2．已知，则的值为______． 3．若，则的值为____． 4．若代数式的值为，则的值是______． 5．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 6．【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含，的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值． 题型五　无关型与“不含某项”问题 【解题技巧】“值与某字母无关”或“不含某项”的实质：合并同类项后，含该字母的项的系数为 0（或该项本身为 0）。先化简（去括号、合并同类项），再令相应项的系数等于 0，列方程求参数。注意“不含 x² 项和 x³ 项”要分别令 x²、x³ 的系数为 0；涉及多个多项式相加时，先求和再判断。 1．若多项式与的和与的取值无关，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．当取_____时，多项式中不含． 3．已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝_____． 4．已知关于x的多项式，其中（m，n为有理数） (1)化简，当时，并求值； (2)若的结果不含项和项，求的值． 5．已知代数式合并同类项后不含项，求的值． 6．关于的多项式与的和不含和项． (1)求，的值； (2)求的值． 7．已知：，， (1)当时，的值， (2)若的值与的取值无关，求的值． 8．珊珊不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是一个多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 9．计算： (1)； (2)已知，若的值与a的取值无关，求b的值． 10．中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 题型六　整式的加减综合应用（图形与实际问题） 【解题技巧】列代数式解决图形的周长、面积及实际方案问题时，先用字母表示各相关量，再根据周长、面积、总价等公式列出代数式并化简；方案比较题通常把各方案费用化为代数式，再代入具体值比较大小。错解问题（把“加”看成“减”、漏加括号等）：先由已知错解结果反求原多项式，再按正确运算重新计算。若题中要求“周长 / 面积与某字母无关”，仍用“含该字母项的系数为 0”处理。 1．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法正确的个数是： ①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ②不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 4．把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长20cm，若记图2中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1-C2=（    ） A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm 5．如图，已知线段AB长度为x，CD长度为y，则图中所有线段的长度和为___________． 6．将①和②两张大小不同的正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且，．若，，则正方形①与正方形②的边长差为__________． 7．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________________． 8．如图，长方形被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形，若小长方形的两边，则大长方形的两边的值为______． 9．现有一堆卡片，小颖按如下步骤操作： ①将这堆卡片分成左、中、右三堆张数相同的卡片，且每堆卡片不少于八张 ②分别从左、右两堆卡片中各拿出三张卡片，放入中间一堆； ③左边一堆有几张卡片，就从中间一堆拿几张卡片放入左边一堆． 这时，小聪准确说出了中间一堆卡片现有的张数，则他说出的张数是______． 10．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 11．如图，用5个完全相同的边长为，的小长方形（图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为12的大长方形（图2）． (1)请用含，的代数式表示阴影长方形的面积； (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长的和与的取值无关． 12．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 13．如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． (1)求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； (2)分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； (3)若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． 14．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为则这个三位数可记为，易得． (1)如果要用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． (2)若一个三位数各数位上的数由三个数字组成，且．那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 15．对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； 16．“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价为70元，跳绳每条定价为10元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体方案如下： 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知该校计划从两家网店购买篮球50个，跳绳条（，且为整数）． (1)求在网店购买各需付款多少元．（用含的代数式表示，只列式，不化简） (2)当时，通过计算说明此时去哪个网店购买较合算； (3)当时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？ 17．为了配合国家提倡的全民健身运动，我市某社区准备买一些羽毛球和羽毛球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球拍每副128元，羽毛球每盒24元，经商谈后，甲商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球，乙商店全部按定价的9折优惠这个社区需要球拍5副，羽毛球盒（）． (1)分别求甲、乙两家商店购买这些商品所需的费用（用含x的代数式表示）； (2)当时，购买所需商品去哪家商店合算？请通过计算说明理由． 18．某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 19．做大小不同的两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)： 长 宽 高 小纸盒 2b 1.5c 大纸盒 2.5 4b 3c （1）做这两个纸盒共用材料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用材料多少平方厘米？ 20．今年暑假小明家买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，这套住宅的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示（图中长度单位：米）． (1)求出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？ (2)当，时，若铺1平方米地砖平均费用120元，求这套住宅铺地砖总费用． 21．一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求正确答案． 22．亮亮在计算多项式A减多项式时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，计算成了，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果，并求时正确结果的值． 23．一条防洪堤坝的横断面是梯形（如图），上底宽a米，下底宽米，坝高米． (1)求防洪堤坝的横断面积（用代数式表示）； (2)若防洪堤坝长米，求这段防洪堤坝的体积． 题型七　数轴、绝对值与整式的化简 【解题技巧】数轴上表示 a、b、c 的点从左到右对应的数由小到大。根据点在数轴上的位置先确定各字母的大小关系及绝对值内式子的符号，再利用 |a|=a（a≥0）、|a|=−a（a<0）去掉绝对值符号，最后合并同类项。含多个字母绝对值的分类讨论题，按字母取值的正、负、零或负数的个数分类讨论，逐一求出所有可能值后再求和、比较。 1．已知，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 3．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则________ ． 5．若，那么_____． 6．如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为________．（表示、、的乘积） 7．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则______． 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 9．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时， ，当时， ． （2）如果有理数a、b满足时，则 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足，求的值． 10．点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 11．若，，且，求的值． 12．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 参考答案 题型一　同类项的概念、识别与求值 1．B 【详解】解：A选项： 中，最高次项次数为， ∴多项式是二次三项式，不是三次三项式，故A选项错误； B选项： ，次数为、、指数之和，故B选项正确； C选项：单项式的系数为，不是，故C选项错误； D选项：与的相同字母指数不同， 不是同类项，故D选项错误． 故选：B． 2．C 【详解】解：、、与不是同类项， 与是同类项， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 3．D 【详解】解：A、3a和﹣2a是同类项，不符合题意； B、0.5mn与2mn是同类项，不符合题意； C、2a2b与﹣4ba2是同类项，不符合题意； D、x2y3与﹣x3y2，相同字母的次数不相同，不是同类项，符合题意． 故选：D． 4．C 【详解】解：A、与是同类项，故错误； B、是整式，故错； C、单项式的系数是，正确； D、是3次3项式，故错误． 故选：C． 5．B 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 6．D 【详解】解：①∵， ∴且， ∴，故①错误； ②∵A，B，C，三点在数轴上对应的数分别是、6、， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，故②错误； ③∵代数式 ∴当时， ∴此时代数式的值与有关； ∴当时，，此时与x无关； 当时，， ∴此时代数式的值与有关； 综上所述，若代数式的值与无关，则该代数式的值为2019，故③错误； ④∵，， ∴a，b，c中有两个正数，一个负数， ∴不妨设，， ∴，故④错误． 综上所述，不正确的个数有4个． 故选：D． 7．1 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项，即，， 解得：，， 则． 故答案为：1． 8．13 【详解】解：单项式与的差是， ， 解得：，， 把，代入， 故答案为：13 题型二　合并同类项与整式的加减运算 1．C 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选C． 2．C 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意， B、与不是同类项，不能合并，不符合题意， C、，计算正确，符合题意； D、与，不是同类项，不能合并，不符合题意， 故选：C． 3．D 【详解】解：A、∵，∴此选项错误，不合题意； B、∵和不是同类项，不能合并，∴此选项错误，不合题意； C、∵和 不是同类项，不能合并，∴此选项错误，不合题意； D、∵，∴此选项正确，符合题意； 故选：D． 4．B 【详解】解：A. ，故运算错误，该选项不符合题意； B. ，运算正确，该选项符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故运算错误，该选项不符合题意； D. ，故运算错误，该选项不符合题意． 故选：B． 5．D 【详解】解：A. ，原运算错误，故该选项不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C. ，原运算错误，故该选项不符合题意； D. ，原运算正确，故该选项符合题意． 故选：D． 6．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：                   ； （2）解：， ； （3）解： ； （4）解： ． 7．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 8．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 9．任务一：去括号；B分配律；任务二：①四；；②10 【详解】解：任务一：根据整式加减法则可得第一步是去括号，此步骤的依据是乘法分配律； 故答案为：去括号；B分配律； 任务二：①， 所以第四步出错了，正确的化简结果是， 故答案为：四，； ②当，时， 原式． 10．(1) (2) 【详解】（1）解： ; （2）解：， ， 可得，， 代入可得原式． 题型三　整式的化简与求值 1．； 【详解】解：，， ， 当，时， 原式 ． 2．， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 3．（1）；（2），． 【详解】（1）解： （2）解： ， 当时，原式 4．(1) (2)， 【详解】（1）解：    （2）解： ； 当时， 原式 ． 5．，39 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 6．， 【详解】解： ； ∵是最小的正整数，是最大的负整数， ∴， ∴原式． 7．(1)， (2)， (3)，4 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当，时，原式． （3）解： ． 当，时，原式． 8．， 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， ∴原式． 题型四　整体代入（整体思想）求值 1．C 【详解】∵x+2y=3， ∴2x+4y=6， ∴1-2x-4y=1-（2x+4y） =1-6 = -5， 故选C． 2．3.5 【详解】解：， 故答案为：3.5． 3． 【详解】解：， ． 4．9 【详解】解：因为， 所以 ， 故答案为：． 5．（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 6．(1) (2)． 【详解】（1）解：把看成一个字母， 所以转化为 即原式 ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型五　无关型与“不含某项”问题 1．A 【详解】解： ， 多项式与的和与的取值无关， ，， 解得：，， 则， 故选：A． 2． 【详解】解： ， ∵多项式中不含， ∴， 解得：， 故答案为：． 3． 【详解】解：2P﹣3Q=2（xy﹣5x+3）-3（x﹣3xy+1） =2xy﹣10x+6-3x+9xy-3 =11xy-13x+3 =(11y-13)x+3 ∵无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3， ∴(11y-13)x+3=3， ∴11y-13=0， y=， 故答案为：． 4．(1)0 (2) 【详解】（1）解： ， ， ， 当时， ， ， =0． （2）解： ， ∵的结果不含x项和项， ∴， ∴． 5． 【详解】解：， ∵代数式合并同类项后不含项， ∴， ∴， ∴． 6．(1) (2) 【详解】（1）解： ∵关于的多项式与的和不含和项， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ． 7．(1)，； (2)． 【详解】（1）由， ， ， ， ， ∵， ∴，， ∴， ， ； （2）由（）得：， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 8．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：， 因为的结果中不含的一次项， 所以， 解得． 9．(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵， ∴ ∵的值与的取值无关 ∴ 解得 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 因为其值与的取值无关， 所以，解得， 故当时，多项式的值与的取值无关； （2）因为，， 所以 因为的值与的取值无关，所以，即； （3）解：设，由图可知，， 所以， 因为当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， 所以，即． 题型六　整式的加减综合应用（图形与实际问题） 1．C 【详解】解：选择进行“加括号操作”得到， 与原多项式相等，故说法正确； ∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的， ∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去， ∴不存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是正确的； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果， 举出反例：选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于四种，故说法错误； ∴正确的个数为 故选：． 2．A 【详解】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和， 设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为， ∴可得， 解得：， ∴块阴影长方形的周长之和为 ， ， 故选：． 3．A 【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n， ∴AB+BC，JI+HI=， 延长FG交AD于M， 正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA， 正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG， ∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC， ∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=， ∵AM+GL=AD=BC， ∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL， ∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH， ∵EH=DL， ∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n． 故选：A． ． 4．D 【详解】解：设图2与图3中的大长方形的宽为acm，则长为cm， 图1中的长方形长为xcm，宽为ycm， 由图2可知：； 由图3可知：， ， ， ， ， 则(cm)， 故选：D． 5．3x+y/y+3x 【详解】解：∵线段AB长度为x， ∴AB=AC+CD+DB=x， 又∵CD长度为y， ∴AD+CB=x+ y， ∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=x+x+x+y=3x+y， 故答案为：3x+y． 6．/ 【详解】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ，，， ∴图（1）中阴影部分的周长和， 图（2）中阴影部分的周长和为： ， ， ， ∴，即正方形①与正方形②的边长差为 故答案为：． 7． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是正整数，由日历表，可知的最大值为，此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 8． 【详解】解：∵， ∴设，，最小正方的边长为a， 则其余四个正方形的边长从小到大依次为，，，， ∴，，， ∵长方形中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．9 【详解】解：设初始状态左堆张，中堆张，右堆张， 执行步骤②：从左堆拿出3张，右堆拿出3张放入中堆，左堆剩张，右堆剩 张，中堆变为张； 执行步骤③：左边一堆有张，因此从中间一堆拿张放入左边一堆，中间一堆原有张，拿出张后，剩余张； 故中间一堆卡片现有张数为 9，与无关， 故答案为：9． 10．(1)①12，1；②， (2) 解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； (3) 解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）略 （3）略 11．(1)阴影长方形的面积 (2) 阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， 阴影与阴影的周长的和为： 阴影长方形与阴影长方形的周长的和与的取值无关． 【详解】（1）解：由图可知，阴影长方形的长为，宽为， 所以阴影长方形的面积． （2）略． 12．(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 13．(1) (2)阴影M的面积为：；阴影N的面积为： (3) 解： ∵阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化， ∴， 解得， 故x的值为． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的长等于的长减去3个小长方形的宽， ∴每个小长方形的长为． （2）解：阴影M的面积为：． 阴影N的面积为：． （3）略 14．(1) (2) 证明:一个三位数各数位上的数由三个数字组成,且， 所组成的最大三位数为：，最小三位数为：， 所组成的最大三位数与最小三位数之差为， ， 所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 【详解】（1）解：用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． 故答案为：； （2）略 15．(1)， (2) 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）由（1）得 ，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； 16．(1)网店：；网店： (2)网店合算 (3)先在网店购买个篮球，获得条免费跳绳，再在网店购买条跳绳，共需付款元 【详解】（1）网店：买个篮球送条跳绳，需额外购买条跳绳，付款金额为元； 网店：篮球和跳绳均按定价付款，付款金额为元； （2）当时， 网店付款：元； 网店付款：元； ， 网店更划算； （3）网店买篮球送跳绳，网店跳绳打折， 先在网店购买个篮球，获得条免费跳绳，再在网店购买条跳绳 网店付款：元； 网店付款：元； 总付款：元； 答：该方案需要付款元． 17．(1)甲商店费用元；乙商店费用元 (2)当时，购买所需商品去甲商店合算 【详解】（1）解：甲商店购买这些商品所需的费用： 元， 乙商店购买这些商品所需的费用：元； （2）去甲商店合算，理由如下： 当时， 甲商店购买这些商品所需的费用：元， 乙商店购买这些商品所需的费用：元； ∴甲商店合算， 答：当时，购买所需商品去甲商店合算． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：方案一中直播团队的费用为元， 故答案为：； （2）解：（元）； （3）解：商家两种方案销售后的总盈利为：元． 19．（1）24b＋18c＋30bc；（2）16b＋12c＋18bc 【详解】解：（1）(4b＋3c＋6bc)＋(20b＋15c＋24bc) ＝（24b＋18c＋30bc）平方厘米 （2）(20b＋15c＋24bc)－(4b＋3c＋6bc)＝（16b＋12c＋18bc）平方厘米 20．(1)平方米 (2)4560元 【详解】（1）由题意得，该住房的面积为：平方米； （2）由（1）可知，当时，总费用为：（元） 21． 【详解】解：根据题意得 ． ． 22．(1) (2)1 【详解】（1）解： ． （2）解： 当时，原式． 23．(1)平方米 (2)立方米 【详解】（1）解：∵防洪堤坝的横断面是梯形，其上底宽a米，下底宽米，坝高米 ∴梯形的面积公式为：（上底+下底）×高× ∴防洪堤坝的横断面积为： ∴平方米； （2）解：由（1）防洪堤坝的横断面积为：平方米 ∵体积公式为：底面积乘以高；防洪堤坝长 ∴防洪堤坝的体积为：立方米 ∴防洪堤坝的体积为：立方米． 题型七　数轴、绝对值与整式的化简 1．D 【详解】解：根据题意可知，或，或， 又， ，或，， 当，时，， 当，时，． 故选：． 2．D 【详解】解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 3．C 【详解】解：根据数轴可知，， A.，故此选项错误，不符合题意； B.，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项正确，符合题意； D. ，故此选项错误，不符合题意． 4． 【详解】解：从数轴可知：，， 所以， 所以 ， 故答案为：． 5．7 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 6．或或或 【详解】解：①、、中有一个负数时， 所以， 原式 ； ②、、中有两个负数时， 所以， 原式 ； ③、、中有三个负数时， 所以， 原式 ； ④、、都是正数时， 所以， 原式 ； 故答案：或或或． 7．7 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 8．0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 9．解决问题：（1）1；；（2）0；类比探究：0或 【详解】解：解决问题：（1）当时，， 当时，； （2）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，当时，； 类比探究：， ∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数， 当a、 b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设， 则， 当a、 b、c均为负数时，不妨设， 则， 综上，的值为0或． 10．(1)6 (2) (3)3或 (4) 【详解】（1）解：表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）解：表示和的两点之间距离是， 故答案为：； （3）解：表示和的两点之间的距离是4，则， 即或， 解得：或 故答案为：3或； （4）解：的所有整数的值为，，，，0，1，2， 满足的所有整数的和为， 故答案为：． 11．或． 【详解】由，则， ∵，， ∴，， 则当，时， ； 当，时， ， 综上可知：的值为或． 12．（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $