2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第21章二次函数与反比例函数解直角三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线开口向下，则二次项系数小于0，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图像开口向下， ∴，解得． 2．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． 3．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 4．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：的对称轴是直线， A．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． B．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号一致． C．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号矛盾． D．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． 6．下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（     ）． A．当时，随的增大而增大 B．抛物线的开口向下 C．函数的最小值小于 D．方程的根为和 【答案】D 【分析】通过已知点求二次函数解析式，再判断各选项正误即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， A、当时，随的增大而减小，错误； B、由得抛物线开口向上，错误； C、根据，则函数的最小值等于，错误； D、令，得，解得，， 即方程的根为和，正确． 7．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 8．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可． 【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则： ，即，故①正确； 设，则， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴, ∴,故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 9．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 10．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】已知三点在反比例函数图象上，结合的条件，代入横坐标得到纵坐标表达式，即可比较大小． 【详解】解： ∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 12．如图，在矩形中，，，点Q在对角线上，且，连接并延长，与边交于点P，则线段________． 【答案】4 【分析】利用勾股定理求出，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 13．如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【答案】 是 【分析】（1）先利用矩形性质得所有内角为直角，再根据折叠性质得，推导，结合，得到两组角对应相等，用两角对应相等的三角形相似判定定理判断相似性． （2）根据折叠的全等性质，得，结合，运用勾股定理，即可用含的式子表示、． 【详解】判断与是否相似 ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质可知， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵在中，，且， ∴可得． ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 15．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④；⑤对于任意的实数m，总有．其中正确的是__________________． 【答案】 【分析】根据图象开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置确定系数符号及关系，结合判别式、特殊点函数值及函数最值性质进行判断． 【详解】由图象可知， 对称轴为直线， ， ， ， ，正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，错误； ， ，正确； 由图象知：当时，， 即：，错误； 对称轴为直线， 当时，函数有最小值， 当时，函数值为， ， ， 正确． 正确的有． 16．如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质证明，，进一步证明，可得，证明，，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴ ， ∴． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，符合题意， ∴常数的值为． 18．（8分）如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）结合点和点的运动速度求解即可； （3）利用列式求解即可； （4）利用列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． （2）解：动点的速度为每秒，运动时间为秒，因此； 动点从出发速度为每秒，秒后， 结合，得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． （4）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． 19．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】（1）先通过一次函数表达式求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）先求出点坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：将代入， ， 解得， ． 不等式的解集为或． （3）解：如图， 设直线交y轴于点C，令，则， ，． 的面积为8． 20．（8分）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：点即为所求． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质，取格点、，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． 21．（9分）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 22．（10分）按要求解答问题： (1)如图①，已知，若，且，则的长是________； (2)将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； (3)如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 【答案】(1)6 (2)证明：∵， ∴， ∵点，为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明，得出，再代入数据计算即可； （2）先证明，，即可证明； （3）取的中点H，作直线l过点P，H，证明，得出，说明直线l与的夹角为，得出点P在直线l上，过点C作直线l的对称点K，连接，，设直线l交的延长线于点S，直线l交于点O，连接，根据两点之间线段最短，得出当点P在点O处时，最小，且最小值为的长度，过点P作于点N，延长交于点G，以点C为原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，求出直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P的横坐标为，证明，得出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：取的中点H，作直线l过点P，H， ∵H是中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即直线l与的夹角为， ∴点P在直线l上， 过点C作直线l的对称点K，连接，，设直线l交的延长线于点S，直线l交于点O，连接，如图所示： 由对称性可知，，，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点O处时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，过点K作于点M， 则，， ∴， ∵，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 如图，过点P作于点N，延长交于点G，以点C为原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系， 则点，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为， 令， 解得：， ∴点P的横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当和最小时，的值为． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 24．（11分）在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，点关于直线的对称点为．给出如下定义：若图形上存在点，直线上存在点，使得点是的中点，则称点是直线关于图形的关联点． (1)已知，，直线．在，，中，是直线关于线段的关联点的是________； (2)已知直线，正方形的四个顶点分别为，，，，记正方形及其内部为图形． ①已知点，若点是直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围； ②令，记抛物线在之间的部分为图形，若图形上存在直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)和 (2)①② 【分析】（1）根据关联点的定义，先求出点关于直线的对称点．利用中点坐标公式，是线段的中点，可得的坐标，在直线上选取合适的点，检验点能否落在线段上； （2）①先求出点关于直线的对称点，结合中点公式写出点坐标，根据点落在正方形内部，得到纵坐标的不等式，求出的取值范围；②当，确定正方形的横、纵坐标范围．设图形上的点，求出关于直线的对称点，利用中点公式写出的坐标．横坐标可通过调整的横坐标满足正方形范围，只需对纵坐标列不等式，转化为：存在同时满足两组不等式，利用两个取值范围存在公共数的充要条件列出不等式组，求解取值范围． 【详解】（1）解：关于直线的对称点． 取直线上点，由中点公式，，在线段上，故是关联点． 关于直线的对称点． 设，则．线段上点纵坐标为，若纵坐标等于0，则，且横坐标不在范围内，故不是关联点． 关于直线的对称点． 取，，即为点，在线段上，故是关联点． 综上，是关联点的为和． （2）①点关于直线的对称点． 设在直线上，． 在正方形内：横坐标，存在使得，因此横坐标条件可以满足；纵坐标，满足． 解不等式组 解得． ②当，图形是正方形，满足． 设图形上点，其中． 关于直线的对称点． 设在直线上，由中点公式，． 的横坐标：，只要选取合适的，就可以使，横坐标条件一定可以满足． 的纵坐标：． 在正方形内，纵坐标满足，即 令，由，可得． 不等式转化为 拆分为两个不等式： ，化简得； ，化简得． ∴． 存在数同时满足 , 两个区间存在公共数的充要条件：区间右端点大于等于，并且区间左端点小于等于． 即 由得； 由，解得． 若，则不等式的取值范围内全部数值都小于0， 又因为，不存在满足条件的，此情况无解． 综合两种情况，取值范围：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第21章二次函数与反比例函数解直角三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 6．下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（     ）． A．当时，随的增大而增大 B．抛物线的开口向下 C．函数的最小值小于 D．方程的根为和 7．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 12．如图，在矩形中，，，点Q在对角线上，且，连接并延长，与边交于点P，则线段________． 13．如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 14．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 15．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④；⑤对于任意的实数m，总有．其中正确的是__________________． 16．如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 18．（8分）如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 19．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 20．（8分）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 21．（9分）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 22．（10分）按要求解答问题： (1)如图①，已知，若，且，则的长是________； (2)将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； (3)如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 24．（11分）在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，点关于直线的对称点为．给出如下定义：若图形上存在点，直线上存在点，使得点是的中点，则称点是直线关于图形的关联点． (1)已知，，直线．在，，中，是直线关于线段的关联点的是________； (2)已知直线，正方形的四个顶点分别为，，，，记正方形及其内部为图形． ①已知点，若点是直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围； ②令，记抛物线在之间的部分为图形，若图形上存在直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $