25.2.3 因式分解法（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.3 因式分解法（第1课时） 一、教材分析 到本课为止，直接开平方法、配方法、公式法三条路都摆在了桌面上，解方程的“工具箱”已齐，本课再添最后一件、也是对付特殊结构最快的一件：把方程一边化为零，另一边分解成两个一次因式的乘积，依据“两个式子相乘等于0，则至少一个式子等于0”降次为两个一次方程。教材用竖直上抛的物理情境引入：10x−5x²=0 用老方法能解，但提出公因式 5x 后两步就出根，快慢对比一眼可见。本课同时承担“方法选用”的梳理任务，四条路各适合什么形状的方程，要让学生自己排出来。 本课最大的坑不在分解，而在“两边除以含未知数的式子”——x²=x 两边除以 x，x=0 这个根无声无息地丢了；这也是全章的纪律性知识点，必须让学生自己撞一次、自己找回来。 二、学情分析 往届本课随堂批改的典型错误：约三分之一的学生解 x²=x 时两边同除以 x 只得 x=1，追问“还有一个根呢”才有人反应过来；提公因式的眼光不够，3x(2x+1)=4x+2 中右边 4x+2 要先提出 2 变成 2(2x+1)，约四成学生看不出公共整体；平方差分解时符号出错，(x−4)²−(5−2x)² 分解成 [(x−4)−(5−2x)][(x−4)+(5+2x)] 的每个班都有。应用题方面，解出负根后忘检验实际意义直接作答的约占两成。 三、教学目标 1. 能说出因式分解法解方程的依据——两个式子的积为0，则至少有一个式子为0，并复述“一移、二分、三化、四解”四个步骤。 2. 能对一边为0且另一边可分解的方程，用提公因式、平方差公式、完全平方公式完成分解，解出两个根并写成 x1、x2。 3. 面对一个新方程，能比较直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件，说出并实际选用较简便的方法。 4. 解应用问题时能对方程的根检验实际意义，舍去不合题意的根。 四、教学重点与难点 重点：用因式分解法解一边为0、另一边可分解的一元二次方程。练到“右边先化零、两个根都写出、检验不省略”。 难点：根据方程的特点选用恰当的方法。学生卡在两处：一是看不出可以整体提公因式——尤其当公因式藏在括号里；二是分解后习惯只写一个根。教学中用例2四小题逐题追问“你选哪条路、为什么”，把选择标准逼出来。 五、教学环境与资源准备 多媒体投影一套；竖直上抛情境动画或图片一幅；图2圆形场地图制成投影片；当堂检测练习纸（含全部检测题）；人教版九年级数学上册教材；红粉笔两支，用于圈出公因式与标注舍去的根；图3知识结构图投影片。 六、设计思想 这节课先“绕路”再“抄近道”：情境方程 10x−5x²=0 先要求用配方法和公式法各解一遍，学生刚体会到步骤长，教师再抛出“有更简单的方法吗”，提公因式 5x 由学生自己完成，因式分解法的价值不用教师宣传。概念与四步由学生填空归纳，直接写根的五道小题专练“积为零则因式为零”。例1两小题分别示范整体提公因式与“移项化简后平方差”，例2四小题覆盖开平方、配方、公式、因式分解四种选择，解法选用表由小组讨论填出。丢根的教训安排在直接写根第(5)题，让学生当场犯错、当场纠正。 七、教学过程（共六个环节，45分钟） 环节一 复习导入（约4分钟） 【师】两个问题热身：问题1，我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？问题2，学过的因式分解方法有哪些？(1) 提取公因式法：＿＿＿＿。(2) 公式法：＿＿＿＿。(3) 十字相法：＿＿＿＿。 【生甲】直接开平方法、配方法、公式法三种。 【生乙】(1) 提取公因式法，例如 ma+mb+mc=m(a+b+c)；(2) 公式法：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²−2ab+b²=(a−b)²，a²−b²=(a+b)(a−b)；(3) 十字相法用来分解二次项系数不是1的部分情形。 【师】（原稿第(3)空写作“十字相法”，即通常说的十字相乘法，此处沿用原稿表述。）分解因式能把二次式变成两个一次式的乘积。乘积和方程碰在一起会发生什么？看下面的情境。（板书课题） 环节二 情境探究：从上抛问题到因式分解法（约10分钟） 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x−5x². 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 【师】“落回地面”翻成数学语言是什么？ 【生甲】高度等于0，即 10x−5x²=0，记为方程①。 思考 1. 用配方法和公式法解方程 10x−5x²=0；2. 除这些方法以外，有更简单的方法解方程①吗？解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 【生乙】公式法：化成 5x²−10x=0，a=5，b=−10，c=0，Δ=100>0，x=(10±10)/10，x1=2，x2=0。 【生丙】配方法：x²−2x=0，两边加1得 (x−1)²=1，x−1=±1，x=0 或 x=2，结果相同。 【生丁】更简单：左边提公因式 5x，得 5x(2−x)=0；5x=0 得 x=0，2−x=0 得 x=2。两步就完了。 【师】验算 x=2：10×2−5×4=0，成立；x=0 是刚抛出的时刻，落回地面取 x=2 s。追问一句：两个式子相乘等于0，凭什么敢断定其中一个等于0？ 【生丁】两个不为0的数相乘不可能得0，所以积是0时至少有一个因数是0。 环节三 归纳新知与直接写根（约8分钟） 【师】（板书概念）先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。四步框架请对照学案填空： 【生甲】一移——移项，使方程右边为0；二分——把左边分解成两个一次因式的乘积；三化——令每个因式分别等于0，化成两个一次方程；四解——解这两个一次方程，得到两个根。口诀是：右化零，左分解；两因式，各求解。 直接写根 直接写出下列方程的两个根：(1) (3x+6)(2x−4)=0；(2) (x+2)(x−3)=0；(3) (x+5)(x−1)=0；(4) x(x−2)=0；(5) x²=x. 【生乙】(1) 3x+6=0 得 x=−2，2x−4=0 得 x=2；(2) x1=−2，x2=3；(3) x1=−5，x2=1；(4) x1=0，x2=2。 【生丙】(5) 我两边除以 x，得 x=1，就一个根。 【生丁】不对——x=0 也是根！两边除以 x 把 x=0 丢了，含未知数的式子不能当除数。应该先移项得 x²−x=0，提公因式 x(x−1)=0，x1=0，x2=1。 【师】（预设错误：第(5)题两边同除以 x 丢根，错因是把“两边除以同一个数”的旧习惯无限制地搬了过来——除数必须是不为0的数，含未知数的式子可能恰好是0；纠正时让全班对比“x(x−1)=0”与“除以 x 得 x=1”两种过程，数一数各丢了什么。） 环节四 例题精讲（约11分钟） 例1 解下列方程：(1) x(x−2)+x−2=0；(2) 5x²−2x−1/4=x²−2x+3/4. （说明：两小题题干在原稿中以公式对象呈现，提取为文本时缺损，现已按原稿对象内容补全。） 【师】(1) 方程里哪一块东西反复出现？ 【生甲】(x−2) 出现了两次，把它当公因式提出来：x(x−2)+(x−2)=(x−2)(x+1)=0，得 x1=2，x2=−1。验算 x=2：2×0+0=0，成立。 【师】(2) 两边都挂着 −2x，怎么先处理？ 【生乙】移项：5x²−2x−1/4−x²+2x−3/4=0，−2x 与 2x 正好抵消，合并得 4x²−1=0；用平方差公式分解得 (2x+1)(2x−1)=0，x1=1/2，x2=−1/2。验算 x2：4×(1/4)−1=0，成立。 【师】（预设错误：第(2)题移项时把 −x² 写成 +x²，合并出 6x²−1=0；或把 −1/4 移过去忘了变号。纠正：移项逐项过，每移一项变一次号，同桌互查。）第(1)题的公因式不是单个字母而是括号整体，眼睛要认得出“整体”。 例2 用适当的方法解方程：(1) 4(x−1)²−9=0；(2) x²+6x=1；(3) 3x²−4x=5；(4) (2x+1)²−4x−2=0. 【生丙】(1) 移项得 4(x−1)²=9，即 (x−1)²=9/4，直接开平方 x−1=±3/2，x1=5/2，x2=−1/2。 【生丁】(2) 二次项系数是1、一次项系数是偶数，配方最顺手：移项后两边加9，(x+3)²=10，x=−3±√10。 【生甲】(3) 化成 3x²−4x−5=0，左边不好分解，用公式法：a=3，b=−4，c=−5，Δ=16+60=76>0，x=(4±√76)/6=(2±√19)/3。 【生乙】(4) 先展开：4x²+4x+1−4x−2=0，合并得 4x²−1=0，平方差分解 (2x+1)(2x−1)=0，x1=1/2，x2=−1/2。 【师】四道题四条路：有现成平方式的开平方；系数小、好配的配方；难分解的交公式法；能提出公因式或化成平方差的用因式分解。动手之前先观察形状，选路对了计算就省力。（预设错误：第(4)题有学生把 (2x+1)² 展开丢掉中间项 4x，得 4x²−3=0；纠正时按完全平方公式逐项展开并当场验算。） 填一填 一元二次方程的各种解法及适用类型，小组讨论后填表： 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 能化成 x²=p 或 (x+n)²=p（p≥0）的方程 配方法 任何一元二次方程；二次项系数为1、一次项系数为偶数时尤其顺手 公式法 任何一元二次方程；先化一般形式并算出 Δ 因式分解法 一边为0且另一边能分解（提公因式、公式法分解）的方程 环节五 当堂检测（约8分钟） 随堂训练安排见《练习册》“随堂小练”相应课时。完成下列两题： 1. 用合适方法解下列方程：(1) x²+x=0；(2) x²−2√3x=0；(3) 3x²−6x=−3；(4) 4x²−81=0；(5) 3x(2x+1)=4x+2；(6) (x−4)²=(5−2x)². 2. 如图2，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4. 求小圆形场地的半径。 图 2 圆形场地的半径增加 5 m 【师】巡视记录：第1(3)题有同学移项忘变号，写成 3x²−6x−3=0；第1(5)题不少学生提不出公因式——先把右边 4x+2 分解成 2(2x+1)，两边再比较就看见了公共整体；第1(6)题直接开方得 x−4=±(5−2x) 的也行，但只取正号会丢一个根；第2题解出负根忘舍的约占两成。逐题答案与验算见“参考答案与解析”。 环节六 总结与作业（约4分钟） 【生甲】因式分解法四步：一移、二分、三化、四解；口诀“右化零，左分解；两因式，各求解”。 【生乙】四种方法怎么选：有平方式开平方，好配的配方，难分解的用公式，能分解的优先因式分解法；两条纪律——两边不能除以含未知数的式子，应用题的根要检验实际意义。 【师】补一条：分解用的三件工具就是八上学过的提公因式、平方差、完全平方，工具不新，新的是用法。（出示图3，对照结构图把概念、依据、步骤读一遍。）作业：1. 教材习题25.2相关题目；2. 同步练习相应课时训练。 图 3 因式分解法解一元二次方程的知识结构 八、板书设计 25.2.3 因式分解法（第1课时） 一、依据：若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 二、四步：一移（右化零），二分（左分解），三化（两因式各为0），四解（各解一次方程） 三、例：x(x−2)+x−2=0，(x−2)(x+1)=0，x1=2，x2=−1 四、选法：能分解优先因式分解；两边不得除以含未知数的式子 九、教学反思 直接写根第(5)题 x²=x 照预设让13个学生当众丢了根 x=0，由同桌找回的纠错比教师直接讲解印象深刻得多，这一题保留为固定环节。例1(2)移项合并有9人出错，符号仍是主因，移项逐项变号的口令还要喊。第1(5)题12人提不出公因式 2(2x+1)，说明“先把两边各自分解再找公共整体”的眼光要专门练；第1(6)题用移项平方差做对的人数是用开平方做法的两倍，两种做法在讲评时并排板书对比了一次。第2题6人把负根 −5/2 直接作答，检验实际意义的习惯仍未养成，下次要求“答句前必须先写检验”并记入过程分。 参考答案与解析 第1题： (1) 提公因式 x：x(x+1)=0，x1=0，x2=−1。验算：0+0=0；(−1)²+(−1)=0，均成立。 (2) 提公因式 x：x(x−2√3)=0，x1=0，x2=2√3。验算：(2√3)²−2√3×2√3=12−12=0，成立。 (3) 移项得 3x²−6x+3=0，左边提出3再用完全平方公式：3(x−1)²=0，x1=x2=1。验算：3−6+3=0，成立。 (4) 移项得 4x²=81，直接开平方 x=±9/2，即 x1=9/2，x2=−9/2。验算：4×(81/4)−81=0，成立。 (5) 右边 4x+2=2(2x+1)，移项得 3x(2x+1)−2(2x+1)=0，提出公因式 (2x+1)：(2x+1)(3x−2)=0，x1=−1/2，x2=2/3。验算 x2：3×(2/3)×(7/3)，其值为 14/3；右边 4×(2/3)+2=14/3，成立。 (6) 移项得 (x−4)²−(5−2x)²=0，用平方差公式：[(x−4)+(5−2x)][(x−4)−(5−2x)]=(1−x)(3x−9)=0，x1=1，x2=3。验算：x=1 时 (−3)²=9，(3)²=9；x=3 时 (−1)²=(−1)²，均成立。 第2题：设小圆形场地的半径为 r m，则大圆形场地半径为 (r+5) m。由面积比 9∶4 得 π(r+5)²∶πr²=9∶4，即 4(r+5)²=9r²。移项得 4(r+5)²−9r²=0，即 [2(r+5)]²−(3r)²=0，用平方差公式：(2r+10+3r)(2r+10−3r)=0，即 (5r+10)(10−r)=0，得 r=10 或 r=−5/2。半径不能为负数，舍去 r=−5/2，所以小圆形场地的半径为 10 m。验算：大圆与小圆半径之比为 15∶10，面积比为 15²∶10²=225∶100=9∶4，与题设一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $