25.2.3 因式分解法 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

25.2.3 因式分解法（第1课时）教学设计 课题 因式分解法 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1．掌握用因式分解法解一元二次方程。 2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。 教学重点 用因式分解法解一元二次方程。 教学难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便。 教学方法 启发式教学、类比迁移、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、学案 课后练习 课本P14练习第1-2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾， 引入课题 1. 复习回顾，引入课题 【复习引入】解下列方程： （1）（用配方法）；　（2）（用公式法）。 【师生活动】学生自主完成，老师点评： （1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 　　，　　的一半应为　　，因此应加上(　　，同时减去(　　． （2）直接用公式求解： → ，． 自主用配方法解 （两边同除以2，得 ，配方得 ，故 ，），用公式法解 （得 ，）；交流配方法步骤与公式法应用 复习引入的两个方程 2x²+x=0、3x²+6x=0 与探究中的方程有共同点：常数项为0；只看方程左边，很容易联想到提公因式法因式分解，使本节的学习更为顺畅。 二、探索新知， 归纳知识 2. 探索新知，归纳知识 【探究】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）约为：。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 【师生活动】师生分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即得方程 （学生活动）请同学们口答下面各题。 （老师提问）（1）上面两个方程和问题2的方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面三个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解： ，， 因此，上面三个方程都可以写成： （1）；（2）；（3）。 【思考】解上述方程时，二次方程是如何降为一次的？ 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是 （1）或，所以， （2）或，所以， （3）或，所以， 因此，可以发现，上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 口答：三个方程都没有常数项，左边各项都有公因式（ 或 ）；因式分解得 、、；由积为0得一个因式为0，解得 ，；，；，；归纳因式分解法的概念与降次思想 依据的是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的；通过物理背景（竖直上抛）引出方程 10x−5x²=0，与复习引入的两个方程共同归纳“常数项为0、有公因式”的特点，自然引入因式分解法。 三、学以致用， 应用新知 3. 学以致用，应用新知 【典例精讲】 【例】解下列方程： （1）；　　（2）。 【答案】 解：(1)因式分解，得。 于是得，或，，。 (2)移项、合并同类项，得。 因式分解，得。 于是得，或，，。 【讲评要点】 （1）例（1）中两项都含有因式 x−2，可提公因式 x−2 得 (x−2)(x+1)=0；（2）例（2）先移项、合并同类项化为一般形式 4x²−1=0，再用平方差公式分解为 (2x+1)(2x−1)=0；（3）因式分解法解题的前提：方程一边化为两个一次因式相乘、另一边为0，再分别使各一次因式等于0。 【追问】 （1）用因式分解法解方程时，方程为什么要先化为一边为0的形式？（2）解方程 x(x−2)=0 时，能不能直接得 x=0 或 x−2=0？与解方程 x(x−2)=3 相比，为什么后者不能直接分解？ 独立用因式分解法解两个方程：① → 提公因式 → ，；② 移项、合并得 → 平方差 → ，；尝试用配方法、公式法对照，比较三种解法的异同 例（1）提公因式 x−2，例（2）用平方差公式；除了因式分解法，可以让学生尝试多种方法解这两个方程，通过比较感悟因式分解法使解题简便；配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。 四、随堂训练， 巩固新知 4. 随堂训练，巩固新知 （1）方程 的两根分别为（　　） A．x₁＝2，x₂＝−1　　B．x₁＝1，x₂＝0　　C．x₁＝1，x₂＝−1　　D．x₁＝0，x₂＝−1 答案：D 解析：由 得 或 ，即 ，。 （2）解下列方程：① ；② 。 解：①因式分解，得。于是得，或，，。 ②移项，得，因式分解，得，于是得或，所以，。 （3）若a，b，c为△ABC的三边，且a，b，c满足 ，试判断△ABC的形状。 解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴△ABC为等腰三角形。 （4）在下列各题的横线上填写适当的解法。 ①解方程 ，用　　法较合适； ②解方程 ，用　　法较合适； ③解方程 ，用　　法较合适。 答案：直接开平方法　配方法　公式法 解析：①方程左边为完全平方式，直接用开平方法；②二次项系数为1、一次项系数为偶数，配方较简便；③先化为 ，可用公式法求解。 （5）解下列方程：① ；② ；③ 。 解：①移项，得，配方，得，即，由此可得 即或，，； ②因式分解，得，整理，得，于是得或，，； ③，，。，方程有两个不等的实数根， ∴，。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 逐题独立完成：（1）选D（，）；② 因式分解得 ，，；③ 分解得 ，或，等腰三角形；④ 填“直接开平方法”“配方法”“公式法”；⑤ ①配方得 ，；②分解得 ，；③公式法得 ；同桌互查、集体订正 第（3）题先分解因式，确定 a、b、c 的关系，再判断三角形的形状；第（4）题根据方程的特点，选择恰当的解法解方程，引导学生明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当选择；学生独立完成，教师巡视指导并集中订正。 五、课堂小结， 自我完善 5. 课堂小结，自我完善 （1）用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式法和完全平方公式等解一元二次方程及其应用。 （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别 联系：①降次，即解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次；②公式法是由配方法推导而得到。 区别：①配方法要先配方，再开方求根；②公式法直接利用公式求根；③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘、另一边为0，再分别使各一次因式等于0。 思想方法：降次转化（将二次方程化为一次方程）、类比迁移（配方法、公式法、因式分解法三种方法的联系与区别）、分类讨论（根据方程特点选择恰当解法）。 回顾因式分解法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）解一元二次方程，梳理三种方法的联系（都降次、公式法由配方法推出）与区别，复述“降次”基本思路与选择方法的原则 配方法、公式法和因式分解法是三种基本的解一元二次方程的方法，“降次”是基本思路；引导学生总结，明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当的选择，为后续灵活解题奠定基础。 六、布置作业 6. 布置作业 课本P14练习第1-2题。 要求：用因式分解法解方程时，先看方程一边能否化为两个一次因式相乘、另一边为0；先考虑有无公因式，没有公因式再考虑平方差公式或完全平方公式；注意移项后合并同类项，书写规范，独立完成。 记录作业，明确要求：先看有无公因式，无公因式再考虑公式法（平方差、完全平方），注意将方程化为一边为0的形式后再分解 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率；配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程，应让学生根据方程特点灵活选择解法。 板书设计 25.2.3 因式分解法 ——解一元二次方程 一、复习：已学解法 配方法： → 公式法： 二、因式分解的依据 → 或 三、因式分解法解一元二次方程 → → ， 一边化为两个一次因式相乘、另一边为0 四、三种方法比较 配方法：先配方再降次（适用所有方程） 公式法：直接代公式（适用所有方程） 因式分解法：先分解再降次（适用部分，较简便） 基本思路：降次 板演：例（1）x(x−2)+x−2=0 的完整过程 学生板演区 教学反思 本节课从复习配方法、公式法解 2x²+x=0、3x²+6x=0 入手，两个方程与探究中方程有共同点——常数项为0，只看方程左边很容易联想到提公因式法因式分解，使本节的学习更为顺畅，并借助竖直上抛的物理背景自然引入因式分解法。 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此要熟练掌握因式分解的知识（提公因式法、平方差公式、完全平方公式），提高用分解因式法解方程的能力；因式分解法的依据是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的。 在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。配方法、公式法和因式分解法是三种基本的解一元二次方程的方法，“降次”是基本思路，应引导学生明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当的选择。 学科网（北京）股份有限公司 $